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1. Electrostática
2. Electrostática con medios materiales
3. Magnetostática
4. Magnetostática con medios materiales
5. Los campos variables en el tiempo y las
ecuaciones de Maxwel
Capítulo 1: Electrostática
Introducción
La carga eléctrica y su conservación
La ley de Coulomb
Los sistemas de unidades
El campo electrostático. El concepto de campo
El campo electrostático de una carga puntual
El principio de superposición
El campo eléctrico de un dipolo
El campo de una distribución general de cargas puntuales
El campo eléctrico de una distribución continua de carga
La fuerza eléctrica
La obtención del campo eléctrico por integración directa
Jueves 1 de marzo del 2007
Dada una distribución de carga eléctrica
estática, determinar el campo eléctrico
que se produce.
Una vez determinado el campo eléctrico, podemos,
mediante la aplicación de la formula
F=qE
encontrar la fuerza y después aplicando las leyes del
movimiento (de Newton, por ejemplo) encontrar la
dinámica del sistema.

 
F (r )
E (r )  lim
cuando Q  0
Q
El campo eléctrico en el punto P es la
fuerza que sentiría en ese lugar una
carga de +1 coulomb
Newton
 E   Coulomb
q1
q4
qi
q2
q3
q5
E r  
1
4 0
N
qi
 r r
i 1
i
2
r  ri
r  ri
qN

E r  
1
4 0
 (r )dl  r  r 
 r  r
2
r  r
E r  
1
4 0


 (r )dS  r  r 
r  r
2
r  r
E r  
1
4 0

 (r )dV  r  r 
r  r
2
r  r

q1
q4
qi
q2
q3
q5
qN
q1
q4

qi
q2
q3
q5
qN
q1
q4

qi
q2

q3
q5
qN
q1
q4

qi
q2


q3
q5
qN
E r  
1
+
4 0

1

4 0
1
4 0
1
4 0
N
qi
 r r
i 1
i
2
r  ri
+
r  ri
 ( r ) dV  r  r 
 r  r r  r
 ( r ) dS  r  r 

 r  r r  r
 ( r ) dl  r  r 
 r  r r  r
2
2
2

E r  
1
+
4 0

1

4 0
1
4 0
1
4 0
N
qi
 r r
i 1
i
2
r  ri
+
r  ri
 ( r ) dV  r  r 
 r  r r  r
 ( r ) dS  r  r 

 r  r r  r
 ( r ) dl  r  r 
 r  r r  r
2

2
2
¡Hay que hacer estas malditas integrales!
r
q
E r  
1
q
4 0 r
2
rˆ
1
q
E (r ) 
rˆ
2
4 0 r
P
q1
r
r1
r2
q2
Q
E
1
q1
4 0 r1  r
2
r1  r
1
q2

r1  r
4 0 r2  r
2
r2  r
r2  r
Dos cargas iguales y
opuestas separadas una
pequeña distancia
l
r  r


1  r  r  l
r  r 
E (r ) 
q

3
3
4 0  r  r   l
r  r 


q
l
r
q
P (r )
2
df
1d f
f  x  f a 
 x  a 
dx x  a
2! dx 2
3
1d f

3
3! dx
1d f
 x  a   ... 
n
n! dx
xa
1 dn f
f  x  
n
n
!
dx
n 1
 x  a
xa
n

xa
n
3

x  a
2
 x  a
xa
n
 ...
sin x  0
cos x  1
 sin x  0
 cos x  1
sin x  0
cos x  1
3
5
7
9
x
x
x
x
sin x  0  x  0   0   0   0   ...
3!
5!
7!
9!
x3 x5 x 7 x9
sin x  x    
3! 5! 7! 9!
 
1
1
3 2 5 3
 1  x  x  x  O x4
2
8
16
1 x
x  0.5,
1
 1.414213562
1 x
1  1,
1  0.25  1.25,
1  0.25  0.09375  1.34375,
1  0.25  0.09375  0.030518  1.37427
Dos cargas iguales y
opuestas separadas una
pequeña distancia
l
r  r


1  r  r  l
r  r 
E (r ) 
q

3
3
4 0  r  r   l
r  r 


q
l
r
q
P (r )


1  r  r  l
r  r 
E (r ) 
q

3
3
4 0  r  r   l
r  r 


r  r  l   r  r  l 
2
2
  r  r    l    r  r    l  
  r  r     r  r    2l   r  r    l  l 
 r  r   2l   r  r    l
2
2
l
r  r
r  r  l
2
 r  r   2l   r  r    l
2
2

2


l
2l   r  r  
2

 r  r 1 

2
2

r  r
r  r 


2




l
r  r

l
2
 
 r  r 1  2



r  r r  r  r  r  

 

r  r  l
2
2




l
r  r

l
2
 
 r  r 1  2



r  r r  r  r  r  

 

l
es de orden uno
r  r
2
 l 

 es de orden cuadrático y por tanto se desprecia
 r  r 


r  r  l
2
r  r  l
2
2




l
r  r

l
2
 
 r  r 1  2



r  r r  r  r  r  

 


r  r 

l
 r  r  1  2


r  r r  r 

2
1
r  r  l
3

1
1
r  r 
r  r 

l

1  2

r  r r  r 

3

r  r 

l

1  2



r r r r 

1  x 
3 / 2
3 / 2
?
3
15 2
 1  x  x  O  x3 
2
8
3/ 2
1
r  r  l
3

1
1
r  r 
r  r 

l

1  2

r  r r  r 

3

r  r 

l

1  2



r r r r 

3/ 2
3 / 2

r  r   15 
r  r 


3
l
l
1 2

 2

 
2 r  r r  r
8  r  r r  r 
r  r

l
1 3

r  r r  r
2
1
r  r  l
3

1
r  r
3
3
l
r  r
4
r  r


r  r


1  r  r  l
r  r 
E (r ) 
q

3
3


4 0

r

r

 r  r  l

l
r  r
r  r

1  r  r  l
l
r  r 
E (r ) 
q
3

r  r  l 
3
4
3
4 0  r  r 
r  r
r  r
r  r  

r  r

1 
l
l

q 
3

r  r  l
3
4
4 0  r  r 
r  r
r  r






r  r
r  r 


1 
l
l
l

q 
3

r  r  3

l

3
4
4
4 0  r  r 
r  r
r  r  
r  r
r  r

r  r

1 
l
l

q 
3

r  r

3
4
4 0  r  r 
r  r
r  r

 3 r  r  l

l
E (r ) 
q
 r  r 
5
3
4 0  r  r 
r  r  
1
p  ql
Momento dipolar eléctrico
 3 r  r  p
p 
E (r ) 

 r  r 
5
3
4 0  r  r 
r  r  
1
q
l
p  ql
q
l
r  r
Momento dipolar eléctrico
 3 r  r  p
p 
E (r )  
 r  r 
5
3
r  r  
 r  r 
E r  
1
+
4 0

1

4 0
1
4 0
1
4 0
N
qi
 r r
i 1
i
2
r  ri
+
r  ri
 ( r ) dV  r  r 
 r  r r  r
 ( r ) dS  r  r 

 r  r r  r
 ( r ) dl  r  r 
 r  r r  r
2
2
2


 r,0,0
 1
E (r ) 
rˆ
2 0 r
 1
E (r ) 
rˆ
2 0 r
E r  
1
4 0

 (r )dS  r  r 
r  r
2
r  r
0,0,  
 x, y,0
E r  
1
4 0

 (r )dS  r  r 
r  r
2
r  r
  r   0
r   0, 0, 

r    x, y , 0  ; x   ,   , y   ,  
dS   dxdy
0
E   
4 0
 

 
  x,  y ,  
 x 2  y 2   2 
3/ 2
dxdy
 

  x,  y ,  
2
2
2


x

y


 




3/ 2
x
 x 2  y 2   2 
x
y2  
x2  y 2  

 y2  
2
2
tan 

2

3/ 2

dxdy
dx
y 2   2 sec 2  d
dx 
y2  
2

2
 
1  tan 2   y 2  
Si x   entonces  =   / 2
Si x   entonces  = / 2

tan 2   y 2  
2

sec 2 
2


 x


x
2
2 3/ 2
 y 2   
dx
x  y 2   2 tan 
dx  y 2   2 sec2  d


x 2  y 2   2  y 2   2 sec2 
Si x   entonces  =   / 2
 /2

 /2

y 2   2 tan 
y
2

2

1
y2   2
3/ 2
sec 
3
 /2
Si x   entonces  = / 2
y   sec  d 
2
cos  / 2  
2
2
1
y2  
1
y2   2
0  0  0

2
 /2

 /2
sin  d
  x,  y ,  
 

 
 x  y   
2
2



2
3/ 2
y
 x  y   
2
2
2
3/ 2
dxdy
dy  0
  x,  y ,  
 

2
2
2


x

y


 




3/ 2
dxdy
dx
 x  y   
2
x
2
2
y2  
x2  y 2  

 y2  
2
2
tan 

2

3/ 2

y 2   2 sec 2  d
dx 
y2  
2

2
 
1  tan 2   y 2  
Si x   entonces  =   / 2
Si x   entonces  = / 2

tan 2   y 2  
2

sec 2 
2


 x


dx
2
2 3/ 2
 y   
2
x  y 2   2 tan 
dx  y 2   2 sec2  d


x 2  y 2   2  y 2   2 sec2 
Si x   entonces  =   / 2
 /2

 /2
y 2   2 sec2  d

Si x   entonces  = / 2
 /2
1
 2
cos d
3/ 2
2

2
2
3
y 
sec  y    / 2

1
1
2
 /2
 1  1   2
 2
sin   / 2  2
2
2   
2
y 
y 
y 
  x,  y ,  
 

 



 x  y   
2
2
dy
y2  
2
3/ 2



2
y2  
2

dy 

2
y   tan 
y2  
2

dxdy   0, 0, 

dy   sec 2  d
  2 tan 2   
2

2
Caso  >0
Si y   entonces  =   / 2
Si y   entonces  = / 2
1  tan    
2
2
sec 2 
 

 



  x,  y , 

 x  y   
2
dy
y2  
2
2
3/ 2

dxdy   0, 0, 




2
y2  
2
y   tan 
dy   sec 2  d
y2  
2
  2 sec 2 
Caso  >0
Si y   entonces  =   / 2
Si y   entonces  = / 2



dy
y2  
2

dy 

 /2
2
 sec 2  d
1
 

2
2
 sec 

 / 2
 /2

d 


 / 2
 

  x,  y ,  
2
2
2


x

y


 

0
E   
4 0
 

3/ 2
dxdy   0, 0, 2 
  x,  y ,  
2
2
2

  x  y   


0
0 ˆ
ˆ
E   
2 k 
k
4 0
2 0
3/ 2
dxdy
  x,  y ,  
 

 



 x  y   
2
2
dy
y2  
2
3/ 2



2
y2  
2

dy 

2
y   tan 
y2  
2

dxdy   0, 0, 

dy   sec 2  d
  2 tan 2   
2

Caso  <0
Si y   entonces  = / 2
Si y   entonces  =   / 2
2
1  tan    
2
2
sec 2 
 

 



  x,  y , 

 x  y   
2
dy
y2  
2
2
3/ 2

dxdy   0, 0, 




2
y2  
2
2
y   tan 
dy   sec 2  d
y2  
2
  2 sec 2 
Caso  <0
Si y   entonces  = / 2
Si y   entonces    / 2



dy
y2  

dy 

 / 2
2



/2
 sec 2  d
1

2
2
 sec 

 /2

d  


 / 2
 

  x,  y ,  
2
2
2


x

y


 

0
E   
4 0
 

3/ 2
dxdy    0, 0, 2 
  x,  y ,  
2
2
2

  x  y   


0
0 ˆ
ˆ
E    
2 k  
k
4 0
2 0
3/ 2
dxdy
0  ˆ
E (r ) 
k
2 0 

 (r )  
0
R
si r  R
si r  R
E
 Q
r rˆ

3
1  R
E (r ) 

4 0  Q
rˆ
2

 r
0r R
Rr
4 R 3
Q

3
R
r
1
q
E (r ) 
rˆ
2
4 0 r

 (r )  
0
R
si r  R
si r  R
0
R 
E( z) 
rˆ  1
0  2
r
2
rR
rR
( r , , z )

a

E( z) 

2 az
1
4 0
1
4 0
a
Q
2
z
3
2 2

kˆ 
z
a
2
z
3
2 2

kˆ
E( z) 
1
4 0
Q
z

a2  z
3
2 2

kˆ
a

1 Q
Ez 

2 0 z 2 4 0 z 2
(0,0, z )

a

ˆ
 z
z
E z 
  2 2 k
2 0  z
a z 

El campo eléctrico en todo el espacio




0
0


0
El campo eléctrico en todo el espacio

0



0
0