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Estructura de la Materia
Sexta Sesión
Principio de Incertidumbre
Principio de Incertidumbre
• Werner
Heisenberg
(1901-1976).
• Premio Nóbel
en 1932.
Principio de Incertidumbre (2)
• Imaginemos el siguiente experimento:
• Queremos medir la posición de un
electrón (al menos su coordenada “x”)
con un microscopio hipotético
superpoderoso (o sea con ondas).
Principio de Incertidumbre (3)
• Existe un límite en la exactitud con la
que se puede determinar la posición de
un objeto al interaccionar con una
onda:
λ ~ tamaño del objeto
Principio de Incertidumbre (4)
• Si el objeto es menor a una λ de la luz
usada, no hay cambio en la luz usada si
el objeto es movido una distancia
menor a una longitud de onda.
• Por lo tanto, si queremos observar la
posición de un electrón muy
exactamente, debemos usar longitudes
de onda muy cortas.
Principio de Incertidumbre (5)
• Pero cada fotón tiene un momento
p = h/λ
• Una parte de este momento es
comunicado al electrón después de la
colisión.
Principio de Incertidumbre (6)
• O sea, para poder medir la coordenada
x con una precisión de Δx  λ, hemos
dado al electrón un momento adicional
en la dirección “x” que oscila entre 0 y
h/λ:
Δpx  h/λ
Principio de Incertidumbre (7)
Principio de Incertidumbre (8)
• Por lo tanto, el producto de las
incertidumbres en la posición y el
momento es:
Δpx·Δx  (h/λ)(λ)
• Relación de Incertidumbre de
Heisenberg
Δpx·Δx  h
Principio de Incertidumbre (9)
• "The more precisely
the POSITION is determined,
the less precisely
the MOMENTUM is known"
Principio de Incertidumbre (10)
• La Mecánica Clásica se basa en la
presunción de que es posible
determinar x y p simultáneamente.
• El momento es necesario para el cálculo
de la trayectoria del objeto (su posición
en los tiempos futuros)
• La relación de incertidumbre dice que
esto no es posible.
Principio de Incertidumbre (11)
• ¿Es grave esta limitación?
• Supongamos que nos satisficiéramos con
conocer la posición de un electrón en
un átomo de 1 Ǻ de diámetro con un
50% de error, o sea 0.5 Ǻ de exactitud.
Principio de Incertidumbre (12)
• Entonces requeriremos un fotón que
produzca un cambio mínimo en el
momento de:
Δpx = h/Δx
Δpx = 6.610-27 erg·seg/510-9 cm
Δpx = 1.310-18 g·cm/seg
Principio de Incertidumbre (13)
• Dado que la masa del electrón es:
me- = 9.110-28 g
• Y p = mv:
Δv = Δp/m
Δv = 1.310-18 g·cm·seg-1/ 9.110-28 g
Δv = 1.4109 cm/seg
Principio de Incertidumbre (14)
• Que es una velocidad increíblemente
grande, de tal manera que el electrón
tiene suficiente energía para salirse del
átomo.
• No podemos conocer las trayectorias de
los electrones.
Principio de Incertidumbre
(15)
• Mas preciso
• Existe un principio
de incertidumbre
para cualesquiera
dos variables
“conjugadas
canónicas”
Tarea 18
La incertidumbre en la posición de un
neutrón que se mueve en línea recta es
de 10 Ǻ. Calcular la incertidumbre en:
a) Su momento.
b) Su velocidad.
Tarea 19
En un experimento se determinó la
posición de un electrón con una
incertidumbre de 10-7 cm ¿Cuál es la
incertidumbre en su velocidad?
Tarea 20
¿Cuál es la longitud de onda asociada a
una bola de nieve de 8.8 g de peso
lanzada a una velocidad de 5105 cm/seg?
Tarea 21
En un experimento solo se pudo
determinar que la velocidad de un
electrón se encontraba entre 100 y 1100
cm/seg ¿Cuál es el orden de magnitud de
la incertidumbre en su posición?
Tarea 22
¿Por qué no se pueden describir
trayectorias para los electrones en un
átomo?
Tarea 23
Calcular la longitud de onda de un protón
que se mueve a una velocidad de 3x103
ms-1.
Tarea 24
Calcular la incertidumbre en la posición
de un electrón cuya velocidad se conoce
con una incertidumbre de 104 ms-1.
Tarea 25
Describa un experimento que confirme la
hipótesis de De Broglie.
Tarea 26
Calcular la frecuencia de un electrón que
se mueve a 5x106 ms-1.
Chiste Científico
Si sabes a que velocidad estás
conduciendo, entonces estás perdido
Mecánica Cuántica
Mecánica Cuántica
• Tres formulaciones independientes,
pero equivalentes.
– Heisenberg – Matrices.
– Schrödinger – Operadores.
– Dirac – Números “q”.
• Hilbert demostró que las 3
formulaciones eran equivalentes.
La formulación más fácil
• Erwin
Schrödinger
(1887-1961)
• Premio Nóbel
1933
• Alrededor de
1925:
Postulados de la
Mecánica Cuántica
Postulado 1
• “Para cada estado de un sistema
dinámico de N partículas existe
una función de onda Ψ que
depende de las coordenadas de las
N partículas y del tiempo. Dicha
función de onda describe al
sistema tan completamente como
es posible”
Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t)
Comentario
• Ψ es una función de 3N+1 variables
• Todas la información acerca de las
propiedades de un estado de un sistema
está contenida en la función de onda Ψ
correspondiente a dicho estado.
Corolario
• “Si las propiedades del sistema que se
desea estudiar no dependen del tiempo,
la función de onda no depende del
tiempo
Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN)
y se llama función de onda de estado
estacionario” (3N variables).
Comentario
• Es el caso de la energía en un átomo.
• Los átomos no están irradiando energía,
de tal manera que no depende del
tiempo.
Postulado 2
• “Para cada observable del sistema
existe un operador que reproduce el
valor de la propiedad si se aplica a la
función de onda”
Observables
• Observable es toda propiedad del
sistema que se pueda medir, por
ejemplo: la energía, el momento, la
energía cinética; etc.
Operadores
• Transformaciones
• Si A números y B
números: Función.
• Si A funciones y B
números:
A
B
Funcional.
• Si A funciones y B
• Regla de asociación funciones:
entre A y B
Operador.
Operadores: Ejemplos
d
, ,
dx
dx, x, c
Operadores: Ejemplos
f (x)
Operadores: Ejemplos
f (x)
• Extráigase la raíz cuadrada de la
función f(x).
Operadores: Ejemplos
d
, ,
dx
dx, x, c
Operadores: Ejemplos
d
f ( x)
dx
Operadores: Ejemplos
d
f ( x)
dx
• Derívese la función f(x) con
respecto a la variable x.
Operadores: Ejemplos
d
, ,
dx
dx, x, c
Operadores: Ejemplos

f (x)dx
Operadores: Ejemplos

f (x)dx
• Intégrese la función f(x) con
respecto a la variable x.
Por cierto
e
dx

e

x
x
Operadores: Ejemplos
d
, ,
dx
dx, xˆ, cˆ
Operadores: Ejemplos
xˆf ( x)
Operadores: Ejemplos
xˆf ( x)
• Multiplíquese la función f(x) por la
variable x.
Operadores: Ejemplos
d
, ,
dx
dx, xˆ, cˆ
Operadores: Ejemplos
cˆf ( x)
Operadores: Ejemplos
cˆf ( x)
• Multiplíquese la función f(x) por la
constante c.
Operadores (3)
• El operador es una orden o una receta a
seguir.
• Esta orden se aplica a las funciones y lo
que se obtiene es una nueva función.
Operadores (4)
• A los operadores se les pone
sombrero.
• Si queremos saber el valor de la
propiedad A
ÂΨ=aΨ
• Ecuación de valores propios o
eigenvalores: Â es un operador, Ψ
es una función y a es un número.
¿Cómo se contruyen los
operadores en mecánica
cuántica?
1. Se escribe la expresión clásica para el
observable de interés en términos de
coordenadas, momentos y tiempo.
2. Las coordenadas y el tiempo se dejan
igual.
¿Cómo construir los
operadores? (2)
3. Para coordenadas cartesianas las
componentes del momento (pq)
se reemplazan por el operador
diferencial:
  

 i 
 q 
i  -1
Ejemplo
• Energía cinética (T). Una partícula
en coordenadas cartesianas.
• Expresión clásica:
1
2
T  mv
2
2
2 2
p  mv; p  m v
2
p
T
2m
Ejemplo (cont.)
• Poniendo p en términos de sus
componentes:

1 2
2
2
T
px  p y  pz
2m

Ejemplo (cont.)
• Substituyendo las componentes de
acuerdo al paso (3), se obtiene el
operador de energía cinética:
1 
 
  
 
  
 
 
T̂ 
  i   i     i   i     i   i 
2m 
x 
x  
y 
y  
z 
z 
2  2
2
2 
 2  2  2 
T̂  
2m  x
y z 
2 2
T̂  

2m
El Hamiltoniano
• El operador más importante en
mecánica cuántica es el operador de
energía total y se conoce como
operador de Hamilton o Hamiltoniano:
Ĥ  T̂  V̂
El Hamiltoniano (2)
• El operador de energía potencial
es un operador multiplicativo y
solo depende de las coordenadas
de la partícula:
2

2
Ĥ    V̂q i 
2m
Ecuación de Schrödinger
Ĥ  E
• Como el Hamiltoniano es distinto
para cada sistema, existe una
ecuación de Schrödinger diferente
para cada sistema.
Ecuación de Schrödinger (2)
• La ecuación de Schrödinger es una
ecuación de valores propios
(eigenvalores) y debe resolverse
para Ψ y para E.
• El problema de la “Química
Cuántica” es resolver la ecuación de
Schrödinger para sistemas de interés
químico.
Postulado 3
• También se
conoce como
postulado de
Born.
• Max Born
(1882-1970).
• Premio Nóbel
en 1954.
Postulado 3
• “El cuadrado de la función de onda está
relacionado con la probabilidad de
encontrar a las partículas en una cierta
región del espacio”.
Comentario
• Funciones discretas y funciones
continuas.
• Diferencia entre contar y medir.
• ¿Qué es contar?
Comentario
• Funciones discretas y funciones
continuas.
• Diferencia entre contar y medir.
• ¿Qué es contar?
Contar es hacer una biyección con los
naturales.