Download PAREJA DE ÁNGULOS Ángulos adyacentes Son ángulos que

PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos
adyacentes
Ángulos
consecutivos
Son ángulos que tienen un lado
común y los otros dos pertenecen
a la misma recta.
Son ángulos que tienen un lado
común y el mismo vértice.
<BAC es adyacente con <DAC
- Dos líneas que se intersectan
generan ángulos opuestos por el
vértice. - Son ángulos no
Ángulos opuestos adyacentes. <1, <2, <3 y <4
por el vértice
- Son ángulos congruentes:
<1 = < 2 y <3 = <4
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad es que
Ángulos
complementarios
suman 90°.
El <BAC es adyacente al <DAC y
viceversa.
- Es un tipo especial de ángulo
adyacente cuya particularidad es que
Ángulos
suplementarios
suman 180°.
El <BAC es adyacente al <DAC y
viceversa.
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
Tipos de ángulos formados
1=5
2=6
Ángulos correspondientes entre paralelas.
3=7
4=8
Ángulos alternos entre paralelas.
1=7
2=8
3=5
4=6
Ángulos contrarios o conjugados.
Son
suplementarios
Ángulos colaterales.
1
6
2
5
3
8
4
7
1
8
2
7
3
6
4
5
Los ángulos
Si tienes un compás abierto sobre la mesa,
¿qué ángulo forman sus dos brazos? ¿Sabes
lo que es un ángulo? Llamamos ángulo a la
región comprendida entre dos semirrectas
que tienen el punto de origen en común. A
ese punto se le llama vértice y a cada
semirrecta se le llama lado.
¿CÓMO SE NOMBRAN LOS ÁNGULOS?
Podemos nombrar un ángulo de dos maneras:
a) con la letra mayúscula que representa su
vértice y el símbolo encima, o
b) con tres letras mayúsculas y el símbolo
encima: las dos letras de los extremos
representan a los lados y la de en medio al
vértice.
Se representa como
o
.
¿CÓMO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?
Para expresar lo que mide un ángulo, es decir, su
amplitud, usamos las unidades: grado (°),
minuto (′) y segundo (′′), cuyas equivalencias
son 1° = 60′ = 60 × 60′′ = 3.600′′
Para medir físicamente o dibujar un ángulo
usamos el transportador, que es una plantilla
semicircular graduada de 0° a 180°,
generalmente de material plástico.
Para medir un ángulo con el transportador, se
siguen los pasos siguientes:
1. Se coloca el transportador de forma que
coincida el punto de su base, su centro, con el
vértice del ángulo, y que uno de los lados del
ángulo pase por 0°, es decir, por la base del
transportador.
2. Se lee sobre la semicircunferencia del
transportador la medida por la que pasa el otro
lado del ángulo.
Si en vez de medir queremos dibujar un ángulo,
se procede al revés. Por ejemplo, para dibujar un
ángulo de 70º se siguen estos pasos:
1. Con una regla se traza un lado del ángulo.
2. Se coloca la base del transportador sobre ese
lado, y con su centro sobre el que será el vértice
del ángulo.
3. Se marca con ayuda de la escala graduada el
punto correspondiente a los grados del ángulo
que queremos representar, en nuestro caso 70°.
4. Con ayuda de la regla, se une el vértice con
dicho punto.
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
Según su amplitud, un ángulo puede ser:



Agudo: si es menor de 90°.
Recto: si es igual a 90°.
Obtuso: si es mayor de 90°.
Vamos a definir ahora ángulo nulo, ángulo recto,
ángulo llano y ángulo completo, y para
representarlos nos valemos de un paipay o
abanico chino, que se puede abrir por completo,
y formar todos los ángulos posibles entre 0° y
360°.
Un ángulo nulo (amplitud 0°) es aquel en el que
sus dos lados coinciden.
Un ángulo recto (90° de amplitud) tiene sus dos
lados perpendiculares.
Un ángulo llano (180° de amplitud) es el que
tiene sus lados opuestos.
Un ángulo completo (amplitud 360°) tiene sus
lados coincidentes; es, por tanto, equivalente al
nulo.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
ÁNGULOS
Según las posiciones que presenten dos ángulos
entre sí, estos pueden ser:
1. Ángulos externos: si no tienen nada en común.
y
son ángulos externos.
2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un
lado y el vértice
y
son ángulos consecutivos.
3. Ángulos adyacentes: si además de ser
consecutivos, tienen el lado no común sobre la
misma recta.
y
son ángulos adyacentes.
4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el
vértice común, y los lados de uno son
prolongación de los lados del otro. Los ángulos
opuestos por el vértice tienen la misma amplitud,
son iguales.
y
son ángulos opuestos por el vértice.
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y
SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si su suma es
igual a 90°:
y
son complementarios: + = 90°.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es
igual a 180°:
y
son suplementarios: + = 180°.
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Las rectas
Una cuerda fina clavada muy tensa en la
pared o un rayo de luz representan lo que es
una recta. Es una línea continua en una
dirección que se mantiene fija, sin saltos o
interrupciones, que no tiene principio ni tiene
fin, ya que está formada por infinitos puntos.
PUNTOS Y RECTAS
Para nombrar las rectas se suelen usar las letras
r, s, t, u..., siempre minúsculas.
Si marcamos un punto P sobre una recta r, esta
queda dividida en dos partes o semirrectas, que
llamamos, por ejemplo, s y t. Una semirrecta sí
tiene principio, pero no tiene fin. Al punto P se le
llama origen de ambas semirrectas.
Si marcamos dos puntos, P y Q, sobre una recta,
esta queda dividida en tres partes: las
semirrectas s y t, y el segmento PQ. Un
segmento es un trozo de recta que queda
limitado por dos puntos, en este caso P y Q. Por
tanto, un segmento sí tiene principio y fin. A los
puntos P y Q se les llama extremos del
segmento.
Cuando pintamos un punto y nos ponemos a
dibujar rectas que pasen por él, vemos que
podemos dibujar cuantas queramos: por un
punto pasan infinitas rectas.
Cuando pintamos dos puntos y tratamos de
dibujar rectas que pasen por ellos, vemos que
solo una pasa por los dos: por dos puntos solo
pasa una línea recta.
Si pintamos tres puntos no alineados y tratamos
de dibujar una recta que pase por los tres, vemos
que no es posible. En cambio, si los tres están
alineados, solo pasa una recta por ellos.
POSICIONES DE DOS RECTAS SOBRE
UNA SUPERFICIE PLANA
Si en un papel dibujamos dos rectas, estas
pueden ser:
Paralelas, si no se cortan nunca, por mucho que
las prolonguemos; no tienen ningún punto en
común. Dos rectas paralelas tienen la misma
dirección.
Secantes, si se cortan en un punto. Dos rectas
secantes tienen diferentes direcciones.
Perpendiculares, si además de ser secantes, se
cortan formando cuatro ángulos rectos (de 90°).
Dos rectas perpendiculares tienen diferentes
direcciones.
Coincidentes, si además de ser paralelas tienen
todos sus puntos en común; se trata de la misma
recta.
Como ejemplo de rectas paralelas piensa en las
dos vías de un tren, en las huellas que dejan los
neumáticos de un coche sobre una carretera
mojada o en dos atletas corriendo una prueba de
100 metros por calles contiguas.
Como ejemplo de rectas secantes, que pueden
ser perpendiculares, piensa en un cruce de
carreteras o en un cruce de dos calles.
Para dibujar rectas paralelas y perpendiculares
sobre un papel utilizamos dos instrumentos de
dibujo: la escuadra y el cartabón. La escuadra
tiene forma de triángulo isósceles, pues dos de
sus lados, los que forman un ángulo recto, y se
llaman catetos, son iguales. El cartabón es un
triángulo escaleno, sus tres lados tienen
longitudes diferentes, y dos de ellos (los catetos)
forman también un ángulo recto. Ambos están
hechos, generalmente, de un material plástico
transparente.
Para dibujar una paralela a una recta se siguen
estos pasos:
1. Se alinea la hipotenusa de la escuadra con la
recta.
2. Se apoya el cateto de la escuadra sobre el
cartabón, que se mantiene así fijo.
3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta
que llegue a la posición en la que deseamos
dibujar la recta paralela.
Para dibujar ahora perpendiculares a las rectas
anteriores se siguen estos pasos:
1. Sin mover el cartabón de su posición, se
levanta la escuadra.
2. Se gira la escuadra de forma que sea su otro
cateto el que se apoye sobre el cartabón.
3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta
que su hipotenusa llegue a la posición en la que
deseamos dibujar la recta perpendicular.
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
PERÍMETRO
Suma de sus lados
P= b + c + d
ÁREA
El área de un triángulo es el producto de uno de sus
lados por la altura sobre él dividido entre dos.
A
b·a
2