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LOS NÚMEROS
REALES
Ver también:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/indice.htm
LOS NÚMEROS RACIONALES
RECUERDA: Los números racionales, son aquellos que
se pueden expresar en forma de fracción. Además, cada
fracción puede venir expresado por un número decimal,
y viceversa.
Ejemplos:
100
10 =
;
10
6
0, 6 =
;
10
42
7
=
= 1, 4;
30
5
)
16
1, 53 =
;
30
45313
є
4, 5770 =
;
9900
Ver también: OPERACIONES CON NÚMEROS
COMO CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN UN NÚMERO DECIMAL
Para convertir una fracción en un número decimal, basta
con que efectuemos la división entre el numerador y el
denominador.
Ejemplos:
42
 "efectuando al división 42 : 30 obtenemos"  1, 4
30
2
 "efectuando al división 2 : 3 obtenemos"  0, 666...  0, 6
3
COMO CONVERTIR UNA FRACCIÓN EN UN NÚMERO DECIMAL
Los números que se obtienen al convertir una fracción en
decimal, pueden ser:
DECIMAL EXACTO.- Si tiene un número finito o nulo de cifras decimales o
infinitos 9
Ejemplos: 3  0, 75; 1050  42; 999999999  9,99999999  10
4
25
100000000
PERIÓDICO PURO.- Cuando tiene infinitas cifras repetidas (periodo) a partir
de la coma decimal.
) 1
) 17304
4
»
Ejemplos:
= 1, 3; = 0,1;
= 17, 321
3
9
999
PERIÓDICO MIXTO.- Cuando tiene infinitas cifras repetidas (periodo),
pero a partir alguna posición posterior a la coma decimal.
) 45313
Ejemplos: 16 = 1, 53;
є
= 4, 5770
30
9900
CONVERSIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN
Para convertir un DECIMAL EXACTO D, en fracción. Si
tiene n cifras decimales, se efectúan las operaciones:
D 10
n
10
n
Ejemplo:
0, 27 100 27
12,3 10 123
0, 27 

;12,3 

100
100
10
10
CONVERSIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN
Para convertir un DECIMAL PERIÓDICO PURO D, en
fracción. Si el periodo tiene n cifras decimales, se efectúan
las operaciones:
D 10  D
n
10 1
n
Ejemplo:
є Ч100 - 17, 67
є
17,
67
1750
є =
17, 67
=
100 - 1
99
CONVERSIÓN DE NÚMERO DECIMAL A FRACCIÓN
Para convertir un DECIMAL PERIÓDICO MIXTO D,
en fracción. Si periodo tiene n cifras decimales, a partir
de la posición m decimal, se efectúan las operaciones:
 D 10  D  10
10  1 10
n
n
m
m
Ejemplo:
» Ч1000 1, 23456
(
» =
1, 23456
» Ч100
1, 23456
(1000 - 1) Ч100
)
» - 123, 456
»
123456, 456
123333
=
=
99900
99900
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
¿Existen números que no se puedan poner como fracción?
Si que existen, pues por ejemplo pensemos en 2, si
suponemos que existe una fracción a/b, con a y b primos
entre sí, tal que:
2 = a/b
=>
2 = a² / b ²
Pero a² / b ²  2, ya que a² b ² son primos entre sí, por
serlo a y b.
Por tanto 2, no se puede poner en forma de fracción.
LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Los números IRRACIONALES, son aquellos que no se
pueden poner en forma de fracción, o si vienen expresados en
forma decimal, son no periódicos y tienen infinitas cifras
decimales, como por ejemplo:
0,10100100010000100000 …;
3,141592635 …
Algunos números irracionales son muy utilizados, como por
ejemplo:
,  ó e
Ver también:
ttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros0.htm
APROXIMACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES A RACIONALES
Para poder operar con números irracionales, solemos
utilizar números racionales aproximados, y el número de
decimales que utilizamos dependerá del grado de
aproximación que queramos obtener.
Ejemplo:
Para calcular el área aproximada en cm ² de un círculo de
radio r = 1 cm. tomando  = 3,14, obtenemos:
ÁREA = .r² = 3,14 cm ²
APROXIMACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES A RACIONALES
TRUNCAR un número a n cifras decimales (“puede ser
cero”), consiste en elliminar las cifras decimales a partir
del lugar decimal n.
REDONDEAR un número a n cifras decimales (“puede
ser cero”), consiste en sustituirlo por el número más
próximo de n cifras decimales (“por arriba o por abajo”).
Ejemplo: El número a = 12,32678 TRUNCADO a 3 cifras
decimales, será a = 12,326, mientras que redondeado a tres
cifras será a = 12,327
LOS NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales (), está formado por
los racionales (), y los irracionales (), .
Además,  (naturales)   (enteros)      
( significa inclusión).
Construcción del número de oro.
Construcción del número PI.
LOS NÚMEROS REALES
En ocasiones utilizamos un número aproximado a, en vez
del número exacto A. Produciendose los siguientes errores:
ERROR ABSOLUTO:  = | A – a |;
ERROR RELATIVO:  =  / A
Como estos errores pueden tener muchas o infinitas cifras
decimales, solemos utilizar cotas de error a y a tales que
a >  y a > .
Ejemplo: Si utilizamos 3,14 en vez de  = 3,141592… , se
cumplirá:  = |  – 3,14 | = 0,001592… < 0,01 =  a .
 =  / A = 0,001592… /  = 0,0005069…< 0,001 =  a
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.
Para representar en la recta los números reales, lee el
documento: “Representación de los números reales”
Ejemplo:
REPRESENTA UNA FRACCIÓN EN LA RECTA REAL
Ver también:
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros1.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros2.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros3.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros4.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros5.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros6.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros7.htm
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros8.htm
INTERVALOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
Un INTERVALO de números reales y extremos a y b, es
un conjunto formado por todos los números reales,
comprendidos entre los números a y b.
INTERVALO ABIERTO (a,b) = { x   : a < x < b }
INTERVALO CERRADO [a,b] = {x   : a  x  b}
INTERVALOS SEMIABIERTO O SEMICERRADO:
[a,b) = {x   : a  x < b}
o
(a,b] = {x   : a < x  b}
INTERVALOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
Ejemplos:
Hoja de cálculo de construcción de intervalos.
REPRESENTA EL ENTORNO DE UN PUNTO
OPERACIONES CON INTERVALOS.
La UNIÓN de los intervalos I y J es un conjunto que
contiene todos los elementos de I o todos los elementos de J.
La intersección de los intervalos I y J es un conjunto que
contiene todos los elementos comunes de I y de J.
OPERACIONES CON INTERVALOS.
Dados los siguientes intervalos:
Observa, que por ejemplo:
R  S = [-3,0];
Q  R = [-7,3];
( P  I )  T = (2,2’5)
REPRESENTA UNIÓN E INTERSECCIÓN
DE INTERVALOS
ORDENACIÓN. VALOR ABSOLUTO Y DISTANCIA EN R.
Dados dos números reales a y b, decimos:
a es MAYOR que b (a>b), cuando, b – a > 0.
a es MENOR que b (a<b), cuando, b – a < 0.
Ejemplo: el número  = 3,1415 … es menor 3,14, ya
que  – 3,14 > 0.
El valor ABSOLUTO “| |” de un
número real a es:
 a
a 
 a
si a < 0
si a  0
Ejemplo: |-9| = 9; |7,1| = 7,1; |-101| = 101; |0| = 0.
Dados dos números reales a y b, denominamos distancia
entre a y b a:
d(a,b) = |b-a|
Ejemplo: d( -1’2 , 2 ) = | 2 – (-1’2) | = 3’2.
ENLACES RELACIONADOS CON EL TEMA.
Hoja de cálculo de construcción de intervalos.
Construcción del número de oro.
Construcción del número PI.
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de GAUSS del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
En la siguiente diapósitiva
Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
En la siguiente diapósitiva