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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Jorge A. Maidana - Norah S. Giacosa
Silvia R. Beck - Walter von der Heyde
DEPARTAMENTO DE FISICA
Cátedras: Física General - Física II
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Estáticos
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
ESTATICOS
Flujo de un Campo Vectorial
El flujo de un campo vectorial se define de manera análoga al flujo de masa.
El flujo de masa a través de una superficie S es la cantidad de masa que atraviesa la superficie por
unidad de tiempo, y un campo vectorial V representado por líneas imaginarias denominadas líneas de
campo, puede calcularse como el número de líneas de campo que atraviesan una superficie.
Flujo de un campo vectorial a
través de una superficie S.
Movimiento de partículas a través
de una sección transversal S.
S
v
uN
uN
S
uN
V
uN
θ
S
S
θ
V
S
V
uN V
Observar que en el caso del campo vectorial, no hay nada material que pase a través de la superficie
y que el número de líneas de campo que la atraviesan depende de su orientación con respecto a la
misma debiendo el flujo tener en
 cuenta este hecho. Si una superficie diferencial puede ser
representada mediante un vector u N dS de dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera
de la curvatura, el flujo es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar:
 
   V cos dS   V . uN dS
S
S
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
ESTATICOS
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Flujo de un Campo Vectorial
Flujo de un campo vectorial a
través de una superficie arbitraria
uN
  V1dS1 cos 1  V2dS2 cos 2  ........
 
 

   V cos  dS   V . uN dS
  V 1u1 dS1  V2u2 dS2  ........
S
S
 
   V cos dS   V . uN dS
Flujo de un campo vectorial a
través de una superficie cerrada
S
S
dS
S

uN
θ
v
vt
Flujo de partículas a través de
una superficie
V
Flujo a través de una superficie
arbitraria
Flujo de partículas cargadas moviéndose a
través de una superficie S
dS
θ
   nv. uN dS
S
Si fueran partículas c arg adas :
 
 
   nqv. uN dS  j . uN S
S
I  j. S cos 
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
ESTATICOS
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Ley de Gauss para el campo E
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)

E
E
ur
  
S
r
dS
 
S
40
S
q
4r   q
40r
2
0
S2
S3
q
0
q
cos  dS
40 S
r2
40
q
uN
4 
q
0
S1
2
Flujo eléctrico de una carga puntual a
través de una superficie cerrada arbitraria
    E .dS cos  
 d 
S
 
Flujo eléctrico de una carga
puntual a través de una esfera
 
40r
E.dS cos pero   0
S
q

u
r
2
    E .dS  E  dS  E .S
q
 
q
El flujo eléctrico a través de una
superficie cerrada es igual a q/ε0
dΩ
q
q’
uN2
r
E
dS
E2
uN1
E1
DEPARTAMENTO
DE FISICA
Ley de Gauss
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Aplicaciones
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Campo eléctrico creado por una
distribución esférica de carga.
Campo de un cuerpo cargado en su superficie
A
E
E
S
B
r
Q
    E .dS  E  dS  E .S
 
r C
a
S
q
40r
4r   q
2
2
Q
r a
E
ra
E 0
40r 2
0
Campo de un cuerpo cargado en todo su volumen
S
La superficie total gausiana
es = a la lateral (2πrL) ya que
por las bases el flujo es = 0
Q
Q' 
40r 3 / 3
3
40 a / 3
Qr 3
Q' 
a3
Si λ = q/L (carga /longitud)
E
S’
0
Q


2rL 0 2r 0
Qr
40 a 2
a
Campo eléctrico creado por un
cuerpo cilíndrico cargado
  2rLE  q
E
r
S
L
E
Q
E
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Comportamiento de
Materiales Dieléctricos
frente a un Campo Eléctrico
En los materiales dieléctricos (aislantes) los electrones no son
libres y al aplicar un campo eléctrico el material se polariza dando
lugar a que los dipolos se reorienten en la dirección del campo.
-+- +
- +-+
+
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
-
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
-
-
-
+
S
A diferencia de lo que ocurre en con los conductores, en
los materiales aislantes (dieléctrico ) los electrones no
son libres y al aplicar un campo eléctrico éste se polariza
dando lugar a que los dipolos se reorienten en la
dirección del campo. La polarización P será:
N
P
+
+
+
Polarización de la materia
+
P = np
P = χeε0E
-
E
- k
l
P
+
+
S
+
+
+
+
+
E
Donde:
χe= susceptibilidad eléctrica
Porción de material polarizado
Se induce un campo eléctrico Ek en sentido
contrario al campo E que hace que el campo
neto ET = E - Ek sea menor a E.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
E
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
P
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Polarización de la materia
Dieléctrico colocado entre dos
placas con cargas opuestas.
Según Gauss
ES 
q
0
E 
q


 0S  0
σ = carga/unidad de superficie
σlibre= cargas móviles/m2 [C.m2
]
Balance de cargas superficiales
Aplicando Gauss al lado izquierdo del sistema
la densidad de carga superficial neta es:


   libre  P


E . 0   libre 


 libre  E . 0 
P
P
Desplazami ento

D  E . 0  P
Desplazami ento



D   0 E   0  e E  1   e  0 E

D  E
D
    1   e  0
E

r 
 1   e   K
0
ε0 = permitividad de vacio
ε = permitividad del medio
εr = permitividad relativa
K= constante dielétrica
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Capacitancia - Capacitores
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Siendo el potencial eléctrico en la superficie de una esfera
rodeada por un dieléctrico de constante ε igual a:
V 
Se denomina capacitancia C a la relación constante de Q/V:
4R 
El concepto de capacitancia puede extenderse a un sistema
formados por dos conductores con cargas +Q y-Q
C
Q
4R
E
Q
C
V
+Q
-Q
V1
V2
Q
(1)
V1  V2
Capacitor de placas planas paralelas
Aplicando Gauss y reemplazando en (1) se tiene la ecuación (2) de un
condensador de placas planas. En (3) con un dieléctrico de constante ε.
V1
+
+
+
+
+
+
E
d
V2
-
ES 
Q
0
E
Q
 0S
V1  V2  Ed 
C0 
 0S
d
Qd
S 0
( 2)
E
V1  V2 
d
Cd 
 0 KS
d

S
d
Relación entre condensadores
S
 KS
con y sin dieléctricos
C0  0
Cd  0
Cd  KC0
d
d
(3)
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Capacitancia - Capacitores
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Consideremos un capacitor con una capacidad C, con una carga +q en una placa y -q en la
otra. Para mover una pequeña cantidad de carga dq desde una placa hacia la otra en sentido
contrario a la diferencia de potencial se debe realizar un trabajo dW es decir, para cargar un
condensador hay que realizar un trabajo y parte de este trabajo queda almacenado en forma
de energía potencial electrostática Eε.
Moviendo cargas en un capacitor descargado (q = 0) desde una de las placas
hacia la otra hasta que adquieran cargas +Q y -Q respectivamente, se puede
calcular la energía almacenada en un capacitor integrando la ecuación:
dW  V dq
Wc arg a
W: trabajo realizado, [ julios];
q: carga, [coulombios];
C: capacitancia, [faradios]
1 Q
Q 2 CV 2
 E   qdq 

 Walmacenada
0
C
2C
2
Walmacenada 
2
2
Q
CV

 E
2C
2
Eε: energía almacenada, [ julios];
C: capacidad, [faradios]
V: diferencia de potencial, [voltios];
Q: carga almacenada, [coulombios].
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Capacitores
Capacitores
Electrolíticos
Corte de un Capacitor
Electrolítico
Capacitores
Cerámicos
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAPACITORES Conexiones
en serie y paralelo
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Capacitores en serie conectados uno a continuación del otro por
quienes circula una sola corriente eléctrica (carga), Estos capacitores
se pueden reemplazar por un único capacitor de valor equivalente de
los que están conectados en serie Ceq.= CT
QT
CT 
C1
V1
C2
V2
Q
VT
Ceq
Q
VT
C1 
Q1
V1
VT  V1  V2
QT Q1 Q2


CT
C1 C2
QT  Q1  Q2
VT
1
1
1


CT C1 C2
Para cualquier número de capacitores que se conecten en serie se tiene:
1/CT = 1/C1 + 1/C2 + ....+ 1/CN
donde: N es el número de capacitores que están conectados en serie.
C2 
Q2
V2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAPACITORES Conexiones
en serie y paralelo
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Capacitores en paralelo conectados a la misma diferencia de potencial.
Estos capacitores se pueden reemplazar por un único capacitor de valor
equivalente de los que están conectados en serie Ceq.= CT
Q1
C1
Q2
C2
CT 
Ceq
C1 
Q1
V1
C2 
Q2
V2
QT  Q1  Q2
CT VT  C1V1  C2V2
Q
Q
QT
VT
VT
VT
VT  V1  V2
CT  C1  C2
Para cualquier número de capacitores que se conecten en paralelo se tiene:
CT = C1 + C2 + ....+ CN
donde: N es el número de capacitores que están conectados en paralelo.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Comportamiento de
Materiales Conductores
frente a un Campo Eléctrico
En los materiales conductores se observan electrones libres o de
conducción, y al aplicar un campo eléctrico los electrones se movilizan
a través de la red cristalina del material por efecto de una fuerza F=qE
dando lugar a una corriente eléctrica I
La mayor o menor dificultad de desplazamiento de las cargas es una
propiedad de los materiales (resistencia eléctrica)
DEPARTAMENTO
DE FISICA
DIELECTRICOS Y
CONDUCTORES
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
DIELECTRICOS
-
-
CONDUCTORES
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
DEPARTAMENTO
DE FISICA
LEY DE OHM
Conductividad eléctrica
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Movimiento de cargas libres (electrones)
dentro de la estructura del material
Ley de OHM: En un conductor metálico
a temperatura constante la razón entre
la diferencia de potencial V entre dos
puntos y la corriente electrica I que
circula por los mismos es una constante
llamada resistencia eléctrica R.
V/I= R
Resistencia eléctrica: Es una medida de la
oposición que ejerce un material al flujo de
carga a través de él.
Conductor cilíndrico de longitud l
y sección transversal S.
l
E
j
S
V
I
La corriente puede expresarse como I=jS y
el campo eléctrico como E=V/l por lo tanto:
 l 
j
E  E
 RS 
l

 conductividad eléctrica
RS
Unidad: Ohmio
l
R
1 = 1 V/A
S
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Conductividad eléctrica
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Resistencias en serie conectadas una a continuación de la otra
por donde circula una sola corriente eléctrica. Estas resistencias
se pueden reemplazar por una única de valor equivalente a las
que están conectadas en serie Req.= RT
RT 
R1
V1
R2
Req
V1
I1
R2 
VT  V1  V2
I T  I1  I 2
I
VT
R1 
RT I T  R1 I1  R2 I 2
V2
I
VT
IT
VT
RT  R1  R2
Para cualquier número de resistores que se conecten en serie se tiene:
RT = R1 + R2 + ....+ RN
donde: N es el número de resistores que están conectados en serie.
V2
I2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Conductividad eléctrica
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Resistencias en paralelo conectadas una misma
diferencia de potencial, Estas resistencias se pueden
reemplazar por una única de valor equivalente a las
que están conectadas en paralelo Req= RT
RT 
VT
IT
R1 
V1
I1
I T  I1  I 2
I1
R1
I2
R2
Req
VT  V1  V2
I
I
VT
V
V
 1  2
RT
R1 R2
VT
1
1
1


RT
R1 R2
VT
Para cualquier número de resistores que se conecten en paralelo se tiene:
1/RT = 1/R1 + 1/R2 + ....+ 1/RN
donde: N es el número de resistores que están conectados en paralelo.
R2 
V2
I2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Circulación de un campo vectorial
Si una partícula se mueve de A a B bajo la acción de una fuerza F
siguiendo una trayectoria L, el trabajo será:
 
W   F .dl
L
Si la fuerza F es conservativa el trabajo W es
independiente de la trayectoria:
F   grad E p
W  E pA  E pB
Se define integral curvilínea de un campo vectorial a:
 
V   V .dl
Si la trayectoria a lo largo de la cual se calcula la
integral es cerrada ésta se llama circulación vectorial
 
V   V .dl
L
L
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FUERZA ELECTROMOTRIZ
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Circulación del campo E
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Aplicando estos conceptos al campo eléctrico se
tiene que para mover una carga a lo largo de una
trayectoria L el trabajo será:
 
V   E.dl
L
Y
dl
E
dl
siendo E   gradV
E
E
Y si la trayectoria es cerrada la integral se convierte
en la circulación del campo E y se denomina:
fuerza electromotríz (fem).
Z
dl
 
  fem  V   E.dl
L
La fuerza electromotríz (fem) aplicada a una trayectoria cerrada es igual al
trabajo hecho al mover una unidad de carga alrededor de la misma.
X
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FUERZA ELECTROMOTRIZ
Circulación del campo E
Si el campo eléctrico E es estacionario se puede relacionar con el
potencial electrico V mediante el gradiente de la función:
E   grad V
La integral curvilinea de un campo E estacionario a lo largo de la
trayectoria L será igual al trabajo W que se corresponde con la
diferencia de potencial entre los puntos A y B inicio y final del
camino recorrido.
 E.dl  VA  VB
L
Si la trayectoria a lo largo de la cual se calcula la integral curvilinea
es cerrada (circulación vectorial) la fem será nula ya que coinciden  

el potencial final con el inicial.
V  E.dl  0

L
La fem o circulación de un campo eléctrico estacionario
alrededor de un camino arbitrario cerrado es nula
Si el campo eléctrico se aplica a un conductor se puede relacionar  
su circulacción (fem) con la ley de Ohm
E.dl  RI

L
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CIRCUITOS RESISTIVOS
Potencia Eléctrica
En un conductor, el flujo de carga positiva se hace de potenciales altos a potenciales
bajos, mientras que los electrones lo hacen en sentido contrario. Esto se traduce en que
la carga pierde energía potencial y gana energía cinética que se transforma de
inmediato en energía térmica.
En A1
E1 = V1 Q
En A2
E2 = V2 Q
E  QV2  V1  siV2  0
E  Q V1   Q V 
 E  QV
Potencia disipada
Energía perdida por
unidad de tiempo
 E Q

V  IV
t
t
P  IV  I 2 R
P=[ W ] vatios
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CIRCUITOS RESISTIVOS
Tensión en bornes
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Fuente de Fuerza Electromotriz
El dispositivo que suministra la energía eléctrica suficiente para que se produzca una
corriente estacionaria en un conductor se llama Fuente de Fuerza Electromotriz.
Fuente ideal: Mantiene constante la diferencia de
potencial entre sus bornes.
Vε
Fuente real: La diferencia de potencial entre sus bornes
disminuye con el aumento de la corriente.
I
Vε
R
Tensión en Bornes: Es la diferencia de potencial
medida entre los bornes de una fuente. Es igual a la
tensión nominal menos la caída de tensión de la
resistencia interna r.
V  RI  V  Ir
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CIRCUITOS RESISTIVOS
Ley de Joule
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
1.- Energía disipada en una resistencia
P  I 2R
Ley de Joule
2.- Energía absorbida o cedida por una batería
Potencia de salida: Rapidez con la que los
portadores ganan energía eléctrica.
2
P  V I  I r
Potencia de entrada: Rapidez con la que los
portadores pierden energía eléctrica a su
paso por la batería.
P  V I  I 2r
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CIRCUITOS RESISTIVOS
Abiertos y en cortocircuitos
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
R
I=0
Circuito abierto: Es una rama de un circuito por la
que no circula corriente.
L
r
A
VAB  V  Ir
Vε
B
como I  0
VAB  V
Cortocircuito: Es un recorrido de muy baja
resistencia (idealmente R=0) entre dos
puntos de un circuito.
R
I
A
CORTOCIRCUITO
r
VAB  0
Vε
B
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Ley de Ampere
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Campo magnético para una
corriente rectilínea
I
O
r
dl
A uθ
L
β
L1
L2
L3
L
β1
β2
β3
 
0 I 
u
2r
Eligiendo una trayectoria circular de radio r,
coincidente con una línea de campo hace que éste
sea constante a lo largo de la misma y el producto
escalar de la ecuación se convierta en el producto de
los módulos βdl.
  
I

 
 .dl    .dl    dl
L
L
 I 
   .L   0 2r  0 I
 2r 
  0 I
La circulación magnética a lo largo de todas las
trayectorias circulares concéntricas alrededor de
una corriente rectilinea es la misma e igual μ0I.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Ley de Ampere
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Circulación magnética a lo largo de
cualquier camino cerrado.
I
L
β
dθ
dl1
uθ
r
dl2 dl
3
a
dl
rdθ
b
Eligiendo una trayectoria L, no coincidente con una
línea de campo hace que este no sea constante a lo
largo de la misma y debamos calcular el producto
escalar de la ecuación.
 
 I u .dl
    .dl  0  
L
2 L r
 

Como u .dl es la componente de dl en la dirección del vector u
I1
I3
L
I2
igual a rd la circulació n será :
 
0 I
0 I
2   0 I
d



L
2
2
“La circulación de un campo β a lo largo de una línea
cerrada que enlaza las corrientes I1,I2,I3,….es igual a μ0I
donde I = I1+I2+I3+…. representa la corriente total
concatenada por la trayectoria L ”
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
Dependientes del Tiempo
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción Electromagnética
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
β
V  
Vε
d 
dt
El fenómeno de inducción ocurre cuando en las
inmediaciones de un campo magnético se coloca un
conductor cerrado observándose una corriente en el
circuito mientras el flujo magnético a través del
conductor esté variando con el tiempo.
L
Al aproximar o alejar un imán a un
conductor cerrado, se induce una
fem en el mismo siendo su valor
absoluto función de la rapidez del
movimiento dΦβ/dt
Vε
El campo β aumenta
Vε
El campo β disminuye
Cuando el flujo magnético aumenta, la fem inducida
actúa en sentido negativo, mientras que cuando el flujo
disminuye Vε lo hace en sentido positivo.
“En un campo magnético variable se induce una fem en cualquier circuito cerrado, la cual es igual a
menos la deriva con respecto al tiempo del flujo magnético a través del circuito”
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
DEPARTAMENTO
DE FISICA
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Cambios del flujo del campo
magnético
I
I
v
Fem inducida por
movimiento del conductor
I
v
I
v
v
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por
movimiento de un imán
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
LEY DE FARADAY – HENRY
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Si dividimos la superficie delimitada por L en elementos infinitesimales
dS, el flujo a través de L es

     .uN dS
S
La fem Vε implica la existencia de un campo E tal
 
que su circulación es
V   E.dl
L
Remplazando en la ecuación
Ley de Faraday-Henry
V  
d 
dt
uN
L
β
dS
dl
E
 

d
LE.dl   dt S  .uN dS
“Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un
campo eléctrico tal que su circulación a lo largo de un camino arbitrario cerrado
es igual a menos la derivada con respecto al tiempo del flujo magnético a
través de una superficie limitada por el camino”
FEM INDUCIDA
DEPARTAMENTO
DE FISICA
por el movimiento relativo de un
conductor y un campo magnético
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Un conductor PQ se mueve en un campo β uniforme cerrando un circuito PQRS.
Cada carga del conductor PQ está sujeta a una fuerza v x β que actúa de Q a P.
Y
Recordando que v y β son perpendiculares, la
misma fuerza podría suponerse que es
debida a un campo eléctrico Eeq

 
q.Eeq  qv  

 
Eeq  v    v sen
β
Eeq  v
Si PQ es igual a l hay una diferencia de
potencial entre P y Q
R
Z
Q
Vε
V  Eeq .l   vl
La circulación de Eeq a lo largo del circuito


PQRS será:
E
L
eq
  
PQRS

 .uN dS  lx
d 
dt
S
.dl  vl
El flujo de β a través de PQRS y su derivada
con respecto al tiempo es:

X
d
lx   l dx  lv
dt
dt
l
x
v
P
Comparando se observa el
cumplimiento de la Ley de
Faraday- Henry


d 
L Eeq .dl  vl  dt
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por el
movimiento de un conductor
FEM INDUCIDA
DEPARTAMENTO
DE FISICA
por el movimiento relativo de un
conductor y un campo magnético
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Se dispone de un circuito rectangular rotando con velocidad angular ω en un campo β
uniforme observándose que las cargas presentes en los tramos PQ y RS se mueven
con velocidad v tal que su campo Eeq será:

 
ω
Eeq  v    v sen PQ  SR  l   t
P
x
La circulación de Eeq a lo largo del circuito
S
vxβ


PQRS será:
V   Edl  Eeq PQ  SR  2lv sen
L
Si el radio de la circunferencia descrita por las cargas es
r=½ x; su velocidad v = ω½ x; el área del circuito S= lx y el
ángulo θ = ωt reemplazando:
v
l
vxβ
V  2l12 x  sent   lx sent  S sent
V  S sent
El flujo de β a través de PQRS y su
derivada con respecto al tiempo es:

    .uN S  S cos  S cos t
θ
β
uN
v
Q
R
(1)
d
 S sent (2)
dt
Comparando (1) y (2) se
comprueba la Ley de
Faraday- Henry
FEM INDUCIDA
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
β
l
v
-
Movimiento de una varilla aislada en un
campo magnético
La fem se induce en una barra o en un alambre
conductor que se mueve en el seno de un campo
magnético incluso cuando el circuito está abierto
y no existe corriente. Alli se puede establecer que
las cargas se mueven por la acción de un campo E o
de un campo β.
F  Fm
F  qE Fm  qv
E  v
F
La diferencia de potencial a
través de la barra será:
El  V  vl
“La ley de inducción electromagnética Vε = - dΦβ/dt se puede aplicar, bien cuando la
variación de flujo magnético Φβ se debe a una variación del campo magnético β, bien
cuando se debe al movimiento o deformación del circuito a lo largo del cual se calcula la
fem, o cuando se deba a ambos”
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por el
movimiento de un electroimán
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
Fenómeno de Inducción
Electromagnética
Fem inducida por una fuente
de corriente alterna
Cambios de la dirección
de la corriente inducida
DEPARTAMENTO
DE FISICA
AUTOINDUCCION
Flujo propio de una espira
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
De acuerdo a la Ley de Ampere la corriente
produce un campo magnético que es
proporcional a I. Se puede calcular el flujo
magnético a través del circuito debido a su
propio campo, es decir su
Flujo Propio:
 I  LI
VL  
dLI 
dt
I
L es un parámetro constante del circuito
Si la corriente I varía con el tiempo el flujo
ΦI también varía y de acuerdo con la ley de
inducción se induce una fem en el circuito.
Este caso de inducción se llama:
Auto inducción :
d
VL  
β
I
dt
VL   L
dependiente de la geometría del conductor
medido en Henrio [H]
VL
I
I en aumento
dI
dt
I
VL
I en disminución
El signo negativo indica que VL se opone a
la variación de I.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
AUTOINDUCCION
Flujo propio de una bobina
Al cerrar el interruptor S, aparece un campo β1
debido a la corriente I1 que circula por el
bobinado.
El cambio de flujo genera una corriente
inducida I2 que a su vez origina un campo β2
para oponerse a ese cambio.
Este hecho es conocido como fenómeno
autoinducción.
A
R
β1
I1
β2
I2
S
La fem puede determinarse aplicando el
segundo termino de la Ley de Faraday-Henry:
Vε = - dΦβ/dt para lo que habrá que definir el
flujo propio del dispositivo magnético.
 I  LI
VL  
d I
dI
 L
dt
dt
Donde I=I1 es la corriente que desencadena el
fenómeno y L el coeficiente de inductancia o
autoinducción.
L es un parámetro constante y activo de un
circuito que depende de las características
geometricas del conductor. Su unidad es el
Henrio [H]
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
DEPENDIENTES DEL TIEMPO
FENOMENOS DEPENDIENTES
DEL TIEMPO
FENOMENOS TRANSITORIOS
FENOMENOS CICLICOS
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RL
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Circuito RL
Caídas de Tensiones
R
I
L
I
Vε
S1
VR  RI
I
R
dI
dt
RI  V  VL
S2
VR
VL   L
VL
L
 dI 
RI  V  L 
 dt 
dI
RI  V   L
dt
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
RI  V  VL
RI  V  LdI / dt 
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RL Circuito de Carga
Conexión a la pila cerrando S1
RI  V  LdI / dt 
RI  V / R  LdI / dt 
I
V
R
Separando variables e integrando
para t=0 I=0.
dI
R
  dt
I  V / R
L

I
0
V

ln  I  
R


 V
  ln   

 R
 I  V / R 
R
   t
ln 
L
  V / R 
I  V / R
 Rt
e L
 V / R
RI  V  LdI / dt 
I
dI
R t
   dt
I  V / R
L 0
R

 t
L

I
e
t
I
O
V
R
1  e  t t 




L
t
R
t
Constante de Tiempo Inductiva: t =L/R [s]
Tiempo para alcanzar I el 63% del valor
final de equilibrio
V
V  Rt
V V  Rt
I    e L I     e L
R
R
R R
V 
 Rt 
I  1  e L 

R
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RL Circuito de Descarga
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
V  0
RI  VL
Desconexión a la pila cerrando S2
RI  LdI / dt
I
RI  LdI / dt 
I  I0
Separando variables e integrando
para t=0 I=I0=Vε/R
dI
RI   L
dt

I
dI
R t
   dt
I
L 0
R
V 
ln I  ln     t
L
R
I
V
e
R
Rt

L
I
t
dI
R
  dt
I
L
V
R
IR  L
I0
e
O
t
L
R
Constante de Tiempo:t =L/R [s]
Tiempo para alcanzar el 63% del valor final de equilibrio
dI
0
dt
V  t t
e
R
t
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
ENERGIA DEL CAMPO β
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Energía del campo magnético Eβ
Para mantener una corriente hay que suministrar
energía. La energía que se necesita por unidad de
tiempo es decir potencia es VεI
V  RI  L
dI
dt
V .I  RI 2  LI
dI
dt
Donde:
RI2 = energía / tiempo para mover las cargas.
LIdI/dt = energía / tiempo para establecer la
corriente o su campo magnético asociado.
La rapidez de aumento de Eβ es:
dE
dt
 LI
E  
E
0
dI
dt
I
dE   LIdI 
0
1
LI 2
2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Circuito RC
Caídas de Tensiones
R
q
C
q
Vε
S1
VR  RI
q
RI  V  VC
S2
VR
R
VC  
VC
dq
q
 V 
dt
C
dq
q
R
 V  
dt
C
R
C
q
C
I
dq
dt
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
RI  V  VC
I
dq
dt
R
dq
q
 V 
dt
C
V C q
dq V
q


 
dt
R RC
RC
Conexión a la pila cerrando S1
q

q
0
dq
1 t

dt
q  V C
RC 0
t
dq
dt

q  V C  RC
t
q  V C 1  e t 


t  RC
O
1
lnq  V C   ln V C   
t
RC
t
Constante de Tiempo capacitiva: t =RC [s]
Tiempo para alcanzar q el 63% del valor
final de equilibrio
 q  V C 
1
  
ln
t

V
C
RC



q  V C
t
 e RC
 V C
dq
q
 V 
dt
C
q  V C
Cambiando de signo, separando
variables e integrando para t=0
q=0.
R
t
q  V C  V Ce
RC
t
q  V C  V Ce
RC
t

q  V C 1  e RC 


DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS TRANSITORIOS
Circuitos RC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
V  0
R
RI  VC
I
dq
q

dt
C
Desconexión a la pila cerrando S2
dq
dt
q
R
q  q0
dq
q

dt
RC
dq
q

dt
C
q  V Ce
t
t
t
Separando variables e integrando
para t=0 q=q0=VεCdq
dt
q
ln q  ln V C  
1
t
RC

RC
dq
1


dt
V C q
RC 0
q
t
O
t  RC
Constante de Tiempo capacitiva: t =RC [s]
Tiempo para alcanzar q el 63% del valor
final de equilibrio
 q 
1
  
ln
t
V
C
RC
  
t
q
 e RC
V C
t
q  V Ce
t
RC
q  q0 e
t
RC
V  t RC
dq
I
 e
dt
R
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos oscilantes
OSCILACIONES ELECTRICAS
OSCILACIONES LIBRES
OSCILACIONES FORZADAS
OSCILACIONES AMORTIGUADAS
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FENOMENOS CICLICOS
Sistemas oscilantes
Sistema
Sistema
Masa-resorte
(M - K)
Inductor-capacitor)
(L - C)
Energías de
MyK
Energías de
ε yβ
1
Em  mv 2
2
1 q2
E 
2 C
EK
1
 kx 2
2
E 
1
LI 2
2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LC
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Energías de
ε yβ
Eβ Eε
(3)
Eβ Eε
Eβ Eε
(2)
(4)
1 q2
E 
2C
E 
E β Eε
Eβ Eε
(1)
(5)
1 2
LI
2
Sistema
Masa-resorte
Eβ Eε
Eβ Eε
(8)
(6)
E β Eε
(7)
Em 
1
mv 2
2
ER 
1 2
kx
2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LC Oscilaciones Libres
La energía total disponible según el principio
de conservación es:
1
E   LI 2
2
1 q2
E 
2C
1 2 1 q2
ET  LI 
2
2C
Como no hay perdidas la
variación de energía total
con el tiempo será
dET
dI q dq

0

LI

dET/dt=0
dt
dt C dt
2
dq
dI
d
q
dET
dq d 2q q dq
I
 2
0L

dt
dt dt
dt
dt dt 2 C dt
d 2q q
L 2  0
dt
C
Ecuación diferencial que describe la carga en
un circuito LC (ec. de 2 orden con coeficientes
ctes) cuya solución propuesta es: q  q cos( t   )
0
ET  E   E
L
C
Eβ
Eε
La energía total es igual a la
energía que el capacitor
almacenó según su capacidad
y es la que compartirá con la
inductancia al momento de su
descarga.
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LC Oscilaciones Libres
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
ET  E   E
Establecimiento de la carga y de la intensidad
de corriente en un circuito LC :
q  q0 cos( t   )
dq
  q0 sen ( t   )
dt
q0
q
t
I   I 0 sen ( t   )
Cálculo de la frecuencia “ω”
dq
  q0 sen ( t   )
dt
I0
I
d 2q
  cos( t   ) q0 2
2
dt
t
0
T/2
T
3T/2
Reemplazando en la ecuación diferencial y
despejando ω:
2
L

dq q
 0
dt 2 C

q
L  cos( t   ) q0  0 cos( t   )  0
C
2
1
L 
C
2

1
LC
2T
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Oscilaciones Amortiguadas
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
La energía total disponible según el Principio
de Conservación es:
1
E   LI 2
2
1 q2
E 
2C
ET  E   E
1 2 1 q2
ET  LI 
2
2C
L
R
Como hay perdidas debido a la presencia
de R la variación de energía total con el
tiempo será dET/dt=-I2R
dET
dI q dq
  I 2 R  LI

dt
dt C dt
Simplificando I, derivando y ordenando
dET
d 2q q
  IR  L 2 
dt
dt
C
d 2q
dq q
L 2 R
 0
dt
dt C
Ecuación diferencial que describe la carga en un
circuito LRC (ec. de 2 orden con coeficientes
ctes) cuya solución propuesta es:
Rt

q  q0 e
2L
C
Eβ
Eε
La energía total es igual a la
energía que el capacitor
almacenó según su capacidad
y es la que compartirá con la
inductancia al momento de su
descarga.
cost   
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Oscilaciones Amortiguadas
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Establecimiento de la carga y de la intensidad
de corriente en un circuito LRC :
q  q0 e

Rt
2L
cost   
I
I
ET  E   E
dq
dt
t
Rt


d 
2L


I
q
e
cos

t


 0

dt 

I  I 0e

Rt
2L
sent   
Frecuencia amortiguada “ωa”
a 
1
R2
 2
LC 4L
1  R 
a 


2C  2L 
I
R2 
4L
C
t
2
1
a 
 2
2C
R2 
4L
C
DEPARTAMENTO
DE FISICA
FENOMENOS CICLICOS
Circuitos LRC
Oscilaciones Forzadas
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Se dispone de un circuito RLC alimentado
por una fuente oscilante del tipo: V  V sen t

0
f
La energía total será:
L
1 2 1 q2
ET  LI 
2
2C
Como las perdidas debido a la presencia de R
son compensadas por la fuente Vε el balance
de tensiones será:
dI
q
L
dt
 RI 
C
Derivando y reemplazando I=dq/dt se tiene la
ecuación
2
L
d I
dI I

R
   f V0 cos  f t
2
dt
dt C
que describe la corriente en un circuito LRC
cuya solución es:
I  I sen 
0
V  V0 sen f t
I  I 0 sen f t   
 V0 sen f t
d 2q
dq q
L 2 R
  V0 sen f t
dt
dt C

ft   
C
R
Amplitud máxima
I0 
V 0
Z
V 0

R2  x2
Impedancia: Z  R 2  X 2
Reactancia:
X  f L 
Angulo de fase: tg 
X
R
1
f C
  tg 1 ( X / R )
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
INDUCCION MUTUA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Consideremos dos circuitos. Si por el primero circula
una intensidad I1 se genera un campo magnético que
es proporcional a I1, observándose en el segundo
circuito un flujo magnético Φ2 . M= coeficiente de
inductancia mutua.
Φ2  MI1
Análogamente, si por el segundo circuito circula una
corriente I2 se genera un campo magnético
proporcional a I2 que produce en el primero un flujo
magnético Φ1.
Φ  MI
1
2
Si I1 es variable, Φ2 también lo es, induciéndose una
fem en el segundo circuito. El fenómeno se repite para
el primero.
VM 2   M dI1 dt
Aplicando la Ley de Ohm, operando y
ordenando se tiene:
VM1   M dI 2 dt
RI 1  VL1  VC1  VM1
d 2 I1
dI1 1
Md 2 I 2
L1 2  R1

I1  
dt
dt C1
dt 2
VL1   L1 dI1 dt VC1   q1 C1 I1  dq1 dt
d 2 I2
dI 2
1
Md 2 I1
L2 2  R2

I2  
dt
dt C2
dt 2
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Al cerrar el interruptor S, aparece un
campo β1 debido a la corriente I1 que
circula por el bobinado.
El cambio de flujo genera una corriente
inducida I2 que a su vez origina un campo
β2 para oponerse a ese cambio.
Este hecho es conocido como fenómeno de
inducción mutua.
INDUCCION MUTUA
A
R
2  MI1 1  MI 2
VM1
dI
dI
  M 2 VM 2   M 1
dt
dt
β1
β1
I1
La fem puede determinarse aplicando el
segundo termino de la Ley de FaradayHenry: Vε = - dΦβ/dt para lo que habrá
que definir el flujo mutuo del dispositivo
magnético.
B
I2
β2
S
Donde I1 es la corriente que
desencadena el fenómeno I2 la
de inducción y M el coeficiente
de inductancia mutua.
M medido en Henrio [H] es un coeficiente que
depende de las formas de ambos circuitos y de
sus orientaciones relativas
DEPARTAMENTO
DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
INDUCCION MUTUA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
Universidad Nacional de Misiones (UNaM)
Ejemplo: Un solenoide largo y estrecho, de espiras apretadas, está
dentro de otro solenoide de igual longitud y espiras apretadas, pero de
mayor radio. Calcula la inducción mutua de los dos solenoides.
l
r2
r1
N1
N2
M 12  M 21  M  0n1n2l r12
Para calcular la inducción mutua entre dos conductores, basta con suponer que por
uno de ellos circula una corriente I y calcular el flujo de campo magnético a través
del otro conductor. El cociente entre el flujo y la corriente es la inducción mutua.
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DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
INDUCCION MUTUA
FACULTAD DE CS. EX. QCAS. Y NATURALES
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Un transformador es un dispositivo utilizado para
aumentar o disminuir el voltaje en un circuito sin
pérdida apreciable de potencia. Consta de dos
bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro.
El flujo que atraviesa cada espira en ambos
arrollamientos es el mismo, luego las tensiones
que aparecen serán:
d
V1  N1
dt
V2  N 2
N1
V1
d
dt
Transformador
Elevador
Comparando las
dos ecuaciones
V2 
N2
V1
N1
N2
Transformador
Reductor
Primario
Secundario
N2  N1
 V2 V1
N2  N1
 V2 V1
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CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
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Principio de Conservación de la carga
Consideremos una superficie cerrada S con una carga q neta dentro de ella. Como las cargas libres
se están moviendo atravesando la superficie, pueden haber mas cargas salientes que entrantes
originando una disminución de carga neta encerrada en S o bien en otro momento ocurrir todo lo
contrario. Si los flujos de cargas entrantes y salientes son iguales, la carga neta dentro de la
superficie permanece constante. El Principio de Conservación exige que:
uN
S
q
Pérdida de carga = flujo de carga saliente - flujo de carga entrante
Pérdida de carga = flujo neto de carga saliente.
j
La pérdida de carga dentro de
la superficie S es:
dq

dS
dt
(1)
La carga neta saliente por unidad
de tiempo es:

I   j .uN dS (2)
S
Igualando (1) y (2) se obtiene el Principio de Conservación

dq

 j .uN dS
dt S
Aplicando Gauss, derivando y operando:


q   0  E.uN dS dq   0 d E.uN dS

S
dt
dt
S

d 
  0  E .uN dS   j .uN dS
S
dt S

d 
j
.
u
dS


E.uN dS  0
0
S N

S
dt

d 
Conservación en
E  f t    E.u dS  0
j
.
u
dS

0
 N
dt
Conservación en
campos variables.
campos estacionarios.
S
S
N
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CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
LEY DE AMPERE-MAXWELL
La Ley de Faraday-Henry establece una relación entre β y E en una región del
espacio. Ello sugiere que debiera existir una relación análoga que vincule la
circulación de β con la derivada con respecto al tiempo del flujo de E en el
mismo lugar.

  d
 E.dl
L

 .u

dt
S
N
dS
(1)
La Ley de Ampere vincula la circulación de β con el flujo de la densidad de
corriente j es decir I, pero no aparece ninguna derivada con respecto al
 

tiempo en la ecuacción:
  .dl   
L
0
S
j .uN dS
( 2)
Es de esperarse que la Ley de Ampere no contenga ninguna derivada con
respecto al tiempo precisamente porque se la obtuvo en condiciones
estacionarias.
Tal como se expresa en el segundo termino de la Ley de Ampere de la
ecuación (2) el flujo se evalúa a través una superficie abierta S limitada por
una curva L, siendo la superficie totalmente arbitraria.
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DE FISICA
CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
LEY DE AMPERE-MAXWELL
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S
S
L
S
En la figura se tiene una superficie abierta limitada por una curva. Si la curva L se
encoge, la circulación de β disminuye, y se anula cuando L se convierte en un
punto, justamente cuando la superficie S se transforma en cerrada. La ley de

Ampere exige que si la superficie es cerrada el flujo será:

S
j .uN dS  0
Esto concuerda con el principio de conservación para
campos estacionarios pero para campos dependientes del
tiempo la ecuación correcta será:

d 
S j .uN dS   0 dt S E.uN dS  0
(3)
S
Reemplazando
(3) en la ecuación (2) se tiene la Ecuación de Apere-Maxwell:
 
 

d 
d 
L  .dl  0 S j .uN dS  0 0 dt S E.uN dS
L  .dl  0 I  0 0 dt S E.uN dS
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CAMPOS ELECTROMAGNETICOS
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ECUACIONES DE MAXWELL
LEY
Ley de Gauss para el
Campo Eléctrico
Ley de Gauss para el
Campo Magnético
Ley de Faraday-Henry
FORMA INTEGRAL


q
E .uN dS 


 .uN dS  0
S
S
0
 

d
LE.dl   dt S  .uN dS
 
d 
Ley de Ampere-Maxwell L  .dl  0 I  0 0 dt S E.uN dS
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
QUÍMICAS Y NATURALES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES
CAMPOS
ELECTROMAGNETICOS
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
[1] SEARS, W.; ZEMANKY, M.; YUONG, H y FREEDMAN, R. (2004) Física
Universitaria. Volumen 2.. México.
[2] SEARS, F. (1972) Electricidad y magnetismo. Fundamentos de Física II.
Editorial Aguilar. Madrid.
[3] ALONSO, M. y FINN, E. (1970) Física. Vol II: Campos y ondas. Fondo
Educativo Interamericano. U.S.A.
[4]SERWAY,R.FAUGHN,J. (2001) Física. Pearson Educación. Mexico.
[5] FISICA II. Apuntes de cátedra. FCEQyN. UNaM.