Download Medidas de dispersión

ESTADÍSTICA
UNIDIMENSIONAL
U.D. 14 * 1º BCT
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 1º BCT
1
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
U.D. 14.7 *
@ Angel Prieto Benito
1º BCS
Apuntes Matemáticas 1º BCT
2
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
•
Nos dan una idea clara, aunque comprimida, de la desviación de los
valores en una serie estadística respecto de la media.
•
RECORRIDO
variable.
•
DESVIACIÓN Es la diferencia entre un valor y la media aritmética de la
serie. Pueden ser valores negativos o positivos.
La suma aritmética de todas las desviaciones de una serie es cero.
•
Es la diferencia entre los valores mayor y menor de la
•
DESVIACIÓN MEDIA Es la MEDIA aritmética de la suma de valores
absolutos de todas las desviaciones de una serie.
•
•
•
•
∑ | xi - x |.fi
Dm = -----------------, que da siempre un valor positivo.
∑ fi
Se emplea para comparar dos series semejantes.
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3
•
VARIANZA
•
Es la MEDIA ARITMÉTICA de los cuadrados de las desviaciones respecto de la
media.
•
•
•
•
∑ [ (xi - x )2 . fi ]
∑ xi2. fi
V = ------------------------ = ----------- -- x2
∑ fi
∑ fi
•
DESVIACIÓN TÍPICA
•
•
•
Es la raíz cuadrada de la varianza.
s = √V
Junto con la media, es la medida que más se emplea en estadística
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•
Es el cociente de la desviación típica por la media aritmética.
•
•
CV = s / x , que suele darse en porcentajes.
Si el resultado es mayor del 30%, en lugar de la media emplearemos la
mediana o la moda para tomar todo tipo de decisiones.
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Apuntes Matemáticas 1º BCT
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@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 1º BCT
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Frecuencias relativas
Desviación Típica (σ)
El 68% de todos los valores que puede tomar x se encuentran entre (x – σ) y
(x + σ), en distribuciones de una sola moda y bastante simetría.
68 %
x-σ
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x
x+σ
Modalidades ( valor de x )
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Frecuencias relativas
x-3σ
68 %
x-2σ
x-σ
x
95 %
x+σ
x+2σ
x+3σ
99 %
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Ejemplo_1
Tamaño (en mm) de tornillos fabricados en una máquina.
clases
xi = m.c. fi
xi fi
|xi-x|.fi
fi xi 2
[9,7 , 9,8]
9,75
54
526,50
13,3974
5133,375
(9,8 , 9,9]
9,85
65
640,25
9,6265
6306,4625
(9,9 , 10]
9,95
406 4039,70
19,5286
40195,015
[10 , 10,1]
10,05
342 3437,10
17,7498
34542,855
(10,1, 10,2]
10,15
87
883,05
13,2153
8962,9575
(10,2 , 10,3]
10,25
46
471,50
11,5874
4832,875
1000 9998,10
85,1050
99973,54
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•
RESOLUCIÓN EJEMPLO_3
•
•
•
•
•
MEDIA
•
DESVIACIÓN MEDIA
∑ xi.fi
9998,10
x = ---------- = ----------- = 9,9981
∑ fi
1000
•
•
•
∑ |xi-x|. fi
85,1050
Dm = -------------- = ------------ = 0,0851
∑ fi
1000
•
VARIANZA
•
•
•
∑ xi2. fi
99973,54
V = -------------- -- x2 = -------------- -- 9,99812 = 99,9735 – 99,9620 = 0,0115
∑ fi
1000
•
DESVIACIÓN TÍPICA
•
S=√ 0,0115 = 0,1072
•
El 68% de los tornillos fabricados miden entre 9,89 y 10,10 mm
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•
CV = s / x = 0,1072 / 9,9981 = 0,01075  1,07 %
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 x – s = 9,8909
,, x + s = 10,1053
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Ejemplo_2
Cantidad, en ml, de soluto en un litro de agua.
xi
fi
hi
hi(%)
Fi
Hi(%)
fi.xi
fi.xi2
0,10
2
0,08
8
2
8
0,20
0,02
0,30
6
0,24
24
8
32
1,80
0,54
0,50
9
0,36
36
17
68
4,50
2,25
0,70
5
0,20
20
22
88
3,50
2,45
0,90
3
0,12
12
25
100
2,70
2,43
25
1
100
12,70
7,69
•DESVIACIÓN TIPICA
•Media : 0,5
•VARIANZA
•S = √V =√0,0576 = 0,24
•
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
7,69
•V = --------- – 0,5 2
•
25
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= 0,0576
•CV = s / x = 0,24 / 0,50 = 0,48
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Ejemplo_3
Calificaciones de 200 alumnos de una clase en Matemáticas
Clases
m.c.
ni
fi
fi(%)
Ni
Fi(%)
ni.xi
ni.xi2
[0 , 2]
1
15
0,075
7,50
15
7,50
15
15
(2 , 4]
3
50
0,250
25
65
32,50
150
450
(4 , 6]
5
75
0,375
37,50 140
70
375
1875
(6 , 8]
7
40
0,20
20
180
90
280
1960
(8 , 10]
9
20
0,10
10
200
100
180
1620
200
1
1000
5920
•
•
•
•
•
•
¿Cuántos alumnos han obtenido una nota entre 6 y 8 puntos?  40
¿Cuántos alumnos han obtenido una nota de hasta 6 puntos?  140
¿Qué porcentaje de alumnos han obtenido entre 8 y 10 puntos?  10 %
¿A cuantos alumnos corresponde una frec. acumulada del 70 %?  75
¿Cuál es la frec. relativa correspondiente a un peso de 150 puntos? 
 0,25
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Ejemplo_4
Valoración de un político en una encuesta.
hi %
xi fi
fi.xi2
xi = m.c.
[0,0 , 2,5]
1,25
160
20
200
560
250
(2,5 , 5,0]
3,75
240
30
900
240
3375
(5,0 , 7,5]
6,25
320
40
2000
480
12500
(7,5 , 10,0] 8,75
80
10
700
320
6125
800
100
3800
1600
22250
•
•
•
•
•
•
•
fi
fi.|xi – x|
clases
¿Cuántas personas lo han valorado desfavorablemente?  20+30
¿Cuántas personas lo han valorado de 7,5 a 10 puntos  80
¿Qué porcentaje de personas lo han valorado 2,5 y 5 puntos?  30 %
¿A cuantos votantes corresponde una frecuencia del 40 %?  320
¿A qué frecuencia relativa corresponde un peso de 900 puntos?  30 %
¿Cuántos votantes presentan la máxima desviación respecto a la media?
 160, que son aquellos cuya desviación es de 560 puntos.
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•
RESOLUCIÓN EJEMPLO_4
•
MODA
MEDIANA
•
•
•
•
•
MEDIA
•
Mo = 6,25
Md = 5
∑ xi.fi
3800
x = ---------- = ------- = 4,75
∑ fi
800
•
DESVIACIÓN MEDIA
•
VARIANZA
•
•
•
∑ |xi-x|. fi
1600
Dm = -------------- = -------- = 2
∑ fi
800
•
•
•
∑ xi2. fi
22250
V = -------------- -- x2 = ----------- -- 4,752 = 27,8125 – 22,5625 = 5,25
∑ fi
800
•
DESVIACIÓN TÍPICA
•
S=√ 5,25 = 2,29
•
El 68% de los encuestados lo han valorado entre 2,46 y 7,04 puntos
•
COEFICIENTE DE VARIACIÓN
•
CV = s / x = 2,29 / 4,75 = 0,48  48 %
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 x – s = 2,46
,, x + s = 7,04
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