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Combinatoria.
1. Reglas de la suma y del producto
2. Número factorial
3. Variaciones
4. Variaciones con repetición
5. Permutaciones
6. Permutaciones con repetición
7. Numero combinatorio
8. Combinaciones
9. Combinaciones con repetición
10. Teorema del binomio
Regla de suma y producto
 Si de varios posibles conjuntos A, B, …, C, de sucesos, actividades, eventos,
etc., que no se puedan realizar simultáneamente. Y tenemos que realizar
una actividad, evento, etc., . Si m es el número de elementos de A, n el de B,
.. , p el de C, entonces, para realizar una actividad, evento, etc., pueden
utilizarse m + n + … + p formas.
 Ejemplos.1.- Si en una estantería hay 15 libros de literatura, 10 de historia y 5 de
geografía, puede elegir un libro de 15 + 10 + 5 = 30 maneras.
2.- Si en un coloquio están presentes 7 periodistas 6 políticos y 17
ciudadanos. Se puede elegir un moderador de 7 + 6 + 17 = 30 maneras.
Regla de suma y producto
 Si de varios posibles conjuntos A, B, …, C, de sucesos, actividades, eventos,
etc., que tenemos que realizar simultáneamente o una a continuación de la
otra. Si m es el número de elementos de A, n el de B, .. , p el de C, entonces,
pueden utilizarse m . n . … . p formas.
 Ejemplos.1.- Si tenemos 2 chaquetas, 3 camisas y 4 corbatas. Podemos combinar
las tres prendas de 2 .3 . 4 = 24 formas.
2.- Si el menú del día de un restaurante, se compone de 3 primero platos, 4
segundos y 4 postres. Existen 3 . 4 . 4 = 48 elecciones de menús
diferentes.
Número factorial
 Dado un número natural n (n>0), denominamos n factorial y escribimos
como n! al producto de los n primeros números naturales consecutivos.
Es decir
n ! = n. (n-1) . (n-2) . (n-3) . … . 1
Si n = 0, definimos 0! = 1.
 Ejemplos.5 ! = 5.4.3.2.1 = 120
1!=1
7 ! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
Variaciones
Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural (rn).
Una VARIACIÓN SIN REPETICIÓN u ORDINARIA DE ORDEN r DE A, es
una lista ordenada de elementos distintos de A (a 1, a 2, . . . , a r ).
Dos variaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en la
otra, o si las dos listas contienen los mismos elementos (a 1,a 2,... ,a r ) en distinto orden.
 Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles conjuntos de dos elementos sin
repetición que podemos formar son: {a,b};{a,c};{b,a};{b,c};{c,a};{c,b}.
Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural (rn). El número
de variaciones ordinarias de orden r que podemos obtener de A es
V n , r = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) . … . (n-r+1)
 Ejemplo.- De una clase de 40 alumnos. ¿De cuántas formas posibles se
pueden elegir Delegado y subdelegado?.
Como, escoger Delegado y subdelegado, son variaciones ordinarias de
orden 2, el número de posibles elecciones será V 40, 2 = 40 .39 = 1560
Variaciones con repetición
Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural. Una
VARIACIÓN CON REPETICIÓN DE ORDEN r DE A, es una lista ordenada de
elementos (a 1, a 2, . . . , a r ) (pudiendo ser iguales) de A.
Dos variaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en la
otra, o si las dos listas contienen los mismos elementos (a 1,a 2,... ,a r ) en distinto orden.
 Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles conjuntos de dos elementos con
repetición de A son: {a,a};{a,b};{a,c};{b,a};{b,b};{b,c};{c,a};{c,b};{c,c}.
Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural. El número de
variaciones con repetición de orden r que podemos obtener de A es
VR n , r = n r .
 Ejemplo.- con los cinco primeros números impares { 1, 3, 5, 7, 9}. ¿Cuantos
números distintos con repetición de tres cifras se pueden formar.
VR 5, 3 = 5 3 = 125
Permutaciones
Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0). Una PERMUTACIÓN DE A es
una variación sin ordinaria de todos sus elementos (r=n) (a 1, a 2, . . . , a n ).
Dos variaciones son distintas, si los elementos de una lista están en distinto orden.
 Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles permutaciones de A son:
{a,b,c};{a,c,b};{b,a,c};{b,c,a};{c,a,b};{c,b,a}.
Si A es un conjunto con n elementos. El número de permutaciones que
podemos obtener de A es
P n = V n , n = n . (n-1) . … . (n-n+1) = n . (n-1) . … . 2 .1 = n!
 Ejemplo.- De una clase de 20 alumnos. ¿De cuántas formas posibles se
pueden colocar en una fila?.
Como cada fila es una permutación de 20 elementos será
P 20 = 20 . 19 .18 . …. 3 . 2 . 1 = 20 !  2,43 . 1018
Permutaciones con repetición
Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0), supongamos que n1 son de 1º
tipo, n2 son de 1º tipo, … , y n r son del tipo r-ésimo. Una PERMUTACIÓN
CON REPETICIÓN DE A, es una lista ordenada de elementos de A, de los
cuales hay n 1 repetidos, n 2 repetidos, ... , y n r repetidos.
Dos permutaciones con repetición son distintas, si están en distinto orden.
 Ejemplo.- Sea A = {a,b,c,c}. Las posibles permutaciones con repetición que
podemos formar son: {a,b,c,c};{a,c,b,c};{a,c,c,b};{b,a,c,c,};{b,c,a,c};{b,c,c,a};
{c,a,b,c};{c,a,c,b};{c,b,a,c};{c,b,c,a};{c,c,a,b} };{c,c,b,a}.
Si A es un conjunto con n elementos , de los cuales hay n1 repetidos, n2
repetidos, ... , y nr repetidos El número de permutaciones con repetición que
podemos obtener de A es
n ,n , ,n
PRn
1
2
r
n!

n1 ! n2 !  nr !
 Ejemplo.- Con las cifras del número 21 312, se pueden formar
5! . ( 1!.2!.2!)-1 = 5.3.2 = 30 números distintos de cinco cifras
Número combinatorio
 Si m y n son dos números enteros con 0  n  m, el símbolo 
m
 
n
m
m!
Se llama número combinatorio y se lee “m sobre n”. Además   
 n  n !  m  n  !
 Ejemplo.-
7
7!
7!
7  6  5  4  3  2 1


 7  5  35
 
 3  3!  7  3! 3! 4!  3  2 1   4  3  2 1!
 Tres propiedades se deducen (operando) de los números combinatorios
m
m
m!
m!
1)   

   ; ya que 0! = 1
 0  0!  m  0  ! m !  m  m !  m 
m
 m 
m!
m!
2)   



n
m

n
n
!

m

n
!
m

n
!

m

m

n
!








 


m  m 
 m  1
m!
m!
3)    



n
n

1
n
!

m

n
!
n

1
!

m

n

1
!

        n  1 
  

Número combinatorio
 Utilizando las propiedades de los números combinatorios, podemos
construir el TRIÁNGULO DE PASCAL
 Ejemplo.-
 5   5  5   5  5   5  6  6  6
5









6

20

6

2
                 
 0   1   2   3  4   5  1   3  5
Combinaciones
Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural (rn).
Una COMBINACIÓN DE ORDEN r DE A, es una lista (a 1, a 2, . . . , a r ) no
ordenada de elementos distintos de A
Dos combinaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en
la otra.
 Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles combinaciones de dos elementos
que podemos formar son: (a,b),(a,c),(b,c)
Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural (rn). El número
de combinaciones de orden r que podemos obtener de A es
Cn,r 
Vn,r
Pr

n !  n  1!
  n   r  1 !
r!
n
n!

 
r !  n  r !  r 
 Ejemplo.- De una clase de 20 alumnos, si se quiere hacer un trabajo en
grupos de 4 alumnos ¿Cuántos grupos posibles se pueden formar?.
C 20, 4 = 20! .(4!.16!)-1 = 4845
Combinaciones
Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural (rn).
Una COMBINACIÓN CON REPETICIÓN DE ORDEN r DE A, es una
combinación de r elementos de A, pudiéndose repetir los elementos.
Dos combinaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en
la otra.
 Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles combinaciones con repetición de
dos elementos que podemos formar son: (a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)
Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural (rn). El número
de combinaciones con repetición de orden r que podemos obtener de A es
CRn,r  Cn  r 1,r
 n  r  1


r


 Ejemplo.- Si tenemos tres botes de pintura {rojo, azul y verde} y queremos
pintar una puerta y una ventana ¿De cuántos formas posibles las podemos
pintar?. CR 3, 2 = C 3+2-1, 2 = 4! .(2!.2!)-1 = 6
Teorema del binomio
 Si x, y son variables y n es un número natural se cumple
 n  n 0  n  n 1 1  n  n  2 2
 x  y    x  y    x  y    x  y 
0
1
 2
 n  1 n 1  n  0 n

 x  y    x  y
 n  1
n
n
 Ejemplo.- Calcular el desarrollo de (x+y)4
 x  y
4

 4 4 0  4 3 1  4 2 2  4 1 3  4 0 4
   x  y    x  y    x  y    x  y    x  y 
0
1
 2
 3
 4
 x 4  4  x3  y1  6  x 2  y 2  4  x1  y 3  y 4
Mas ayuda del tema de la página
Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Mas ayuda del tema de la página
lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/ma
tematicas.htm)
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