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Villa Macul Academia Depto. De Matemática Prof. Lucy Vera NÚMEROS COMPLEJOS UNIDAD I Un nuevo conjunto…los números complejos Objetivos • Conocer una breve historia sobre el conjunto de los números complejos. • Definir el conjunto de los números complejos. • Simplificar potencias de los números imaginarios puros. • Simplificar radicando negativos. • Sumar, restar y multiplicar números complejos. Breve historia de los números complejos El gran problema 1 ? Por años se trató de resolverlo pero el mismo no tenía solución numérica real hasta que se inventaron un nuevo conjunto de números. Este conjunto se conoce con el nombre de números complejos y se establece finalmente en las matemáticas en el siglo XIX. Veamos un breve resumen de su trayectoria. Breve historia de los números complejos Fecha Aproximada PERSONA EVENTO 50 Herón de Alejandría Primero en encontrar la raíz cuadrada de un número negativo. 850 Mahavira de India Decía que un negativo no tenía raíz cuadrada, ya que no era cuadrado. 1545 Cardano de Italia Las soluciones de las ecuaciones cúbicas implican raíces cuadradas de números negativos. 1637 Descartes de Francia Introdujo los términos real e imaginario. 1748 Euler de Suiza Usó 1832 Gauss de Alemania Introdujo el término número complejo. i para 1 DEFINICIÓN DE NÚMERO COMPLEJO Un número complejo es un número de la forma a bi Forma estándar donde a y b son números reales e llama unidad imaginaria. i i se es un símbolo usado en este nuevo sistema de números complejos CONJUNTO DE NÚMEROS COMPLEJOS 3 2i NÚMEROS COMPLEJOS 4i 7 NÚMEROS REALES (b 0) 0 3 4 2 4i NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS ( a 0) i i 7 2i Nombres de clases particulares de números complejos Unidad imaginaria Número complejo Número imaginario Número imaginario puro Número real Cero Conjugado de a bi i a y b son a bi números reales b≠0 a bi 0 bi bi b ≠ 0 a 0i a 0 0i 0 a bi UNIDAD IMAGINARIA • De ahora en adelante cuando trabajemos con números complejos i 1 i 1 2 a 1 a i a cuando a > 0 Simplificar radicandos negativos La unidad imaginaria i permite simplificar radicandos negativos ¿Qué ocurría antes? 81 No tenía solución real Otro ejemplo: 33 1 33 1 33 ¿Qué ocurre ahora? i 33 81 1 81 1 81 9i i 9 ó i 33 i(5.7) Puedes dejarlo aquí 5.7i Si deseas, puedes hacer una aproximación, pero recuerda cambiar el signo de igualdad. Práctica • Simplifica 1) 16 5) 100 2) 25 6) 0.25 3) 17 7) 90 4) 83 8) 144 Simplificar potencias de los números imaginarios puros Potencias de i Para simplificar potencias de los números imaginarios debemos entender las siguientes relaciones: i 1 i 1 2 i i i 1 i i 3 2 i i i (1)( 1) 1 4 2 2 Observa cómo simplificar potencias de los números imaginarios: Proceso para simplificar potencias de i 1. Divide el exponente de i entre 4. 2. Escribe una nueva potencia de i pero utilizando como exponente al residuo del paso anterior. 3. Compara lo obtenido con uno de los siguientes y eso será su simplificación. i 1 i 1 i i i i 0 1 2 3 Simplifica potencias de i 16 1) i i 1 4 4 16 7 4 29 - 16 - 28 i i 00 11 2) i 29 3) i 254 111 4) i 0 1 i 1 2 i i 3 4 63 254 24 27 4 111 8 14 31 12 28 22 33 Sumamente fácil: Divide entre 4, escribe el residuo como exponente en la i y compáralo con tabla anterior. Práctica • Simplifica cada potencia de los números imaginarios 1) i 8 2) i 3) i 62 540 13 4) i 5) i 51 6) i 227 7) i 285 100 8) i 9) i 337 1126 10) i Suma, Resta y Multiplica con números complejos Definiciones de las operaciones con números complejos Puedes usar lo que sabes de la suma de términos semejantes y la multiplicación de binomios para realizar operaciones con números complejos. SUMA (a bi ) (c di ) Ejemplo (3 2i ) (1 3i ) (a c) (bi di ) (3 1) ( 2i 3i ) (a c) (b d )i 4 5i ( 4) ( 2 3)i Aclaración: La operación de división se discutirá en la próxima presentación. Definiciones de las operaciones con números complejos Hay ocasiones en que debes simplificar el radicando antes de sumar. Observa este caso: (3 32 ) (1 50 ) (3 i 32 ) (1 i 50 ) (3 i 16 2 ) (1 i 25 2 ) (3 i 16 2 ) (1 i 25 2 ) (3 4i 2 ) (1 5i 2 ) (3 1) (4i 2 5i 2 ) (4) (4 5)i 2 4 9i 2 Algunos de estos pasos pueden ser realizados en la mente. Definiciones de las operaciones con números complejos Recuerda que para la operación de resta debes cambiarla a suma y luego buscar el opuesto a lo que se encuentre próximo a la derecha. RESTA Ejemplo (a bi ) (c di ) (3 2i ) (1 3i ) (a bi )( ) (c di ) (3 2i )( ) (1 3i ) (a bi ) (c di ) (a c) (bi di ) (a c) (b d )i (3 2i ) ( 1 3i ) (3 1) (2i 3i ) ( 2) ( 2 3)i 2 i Definiciones de las operaciones con números complejos Hay ocasiones en que debes simplificar el radicando antes de restar. Observa este caso: (2 49 ) (5 81) (2 i 49 )( ) (5 i 81) (2 i 49 ) (5 i 81) (2 7i ) (5 9i ) (2 5) (7i 9i ) (3) (7 9)i 3 2i Definiciones de las operaciones con números complejos Para la multiplicación de números complejos debes aplicar (en los casos que aplique) la propiedad distributiva y las leyes de los exponentes. MULTIPLICACIÓN Ejemplo (a bi ) (c di ) (5 7i )( 4 8i ) a c a di bi c bi di 5 4 5 8i 7i 4 7i 8i ac adi bci bdi 2 20 40i 28i 56i 2 ac (ad bc)i bd (1) 20 68i 56(1) ac (ad bc) bd 20 56 68i (ac bd ) (ad bc)i 36 68i Definiciones de las operaciones con números complejos (1 2i) 3 (1 2i )(1 2i )(1 2i ) (1 1 1 2i 2i 1 2i 2i )(1 2i ) (1 2i 2i 4i 2 )(1 2i ) (1 4i 4 1)(1 2i ) (1 4i 4)(1 2i ) (3 4i )(1 2i ) 3 1 3 2i 4i 1 4i 2i 3 6i 4i 8i 2 3 2i 8(1) 3 8 2i 11 2i Práctica • Simplifica. De ser necesario redondea a la centésima (dos lugares decimales) 1) (8 14i ) (10 5i ) 8) (4i )( 3i )(0.5i ) 2) (2 9i ) (3 i ) 9) 9i (1 8i ) 3) (6 8 ) (4 200 ) 10) 7i (12 3i ) 4) (4 2i ) (9 9i ) 11) (5 4i )(6 12i ) 5) (3 4i ) (7 11.5i ) 12) (2 8i )(1 0.2i ) 6) (2 9 ) (3 4 ) 13) (4 10i )( 4 10i ) 7) (5i )(7i ) 14) (2 5i ) 2
