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Clase
Propiedades de los números
complejos
PPTC3M054M311-A17V1
Contenidos y Objetivos
Para esta sesión es necesario que sepas acerca de:
Operatoria de
potencias
Vectores
Raíces
Actividades
Las respuestas a las preguntas son
¿Qué valores puede tomar n?
1
Cualquier valor entero positivo
mayor que 1.
Si n es un número par positivo,
¿qué valores puede tomar a?
2
Para
que
la
expresión
corresponda a un número real, a
solo puede tomar valores reales
positivos y el cero.
3
Si n es un número impar mayor que
1, ¿qué valores puede tomar a?
a puede tomar cualquier valor
real.
5
¿Cuál es la solución de la ecuación
x2 + 1 = 0?
Al despejar, son dos soluciones: - 1
y – - 1 , sin embargo no
corresponden a números reales.
¿Qué ocurre en el caso de que n
sea un número par positivo y a
un número real negativo?
La expresión n a no existe dentro
del conjunto de los números
reales.
4
Actividades
6
¿Qué se evidencia de las potencias obtenidas de i?
Se observa una regularidad en los resultados y
que ellos siempre son i, – 1, – i y 1.
7
¿Existirá algún patrón para encontrar el resultado de
cualquier potencia de i?
Sí, se puede dividir el exponente por 4 y si el resto es:
0, el resultado de la potencia es 1.
1, el resultado de la potencia es i.
2, el resultado de la potencia es – 1.
3, el resultado de la potencia es – i.
8
¿Cuál es el valor de
i21?
¿Y el de
i21 = i20 ∙ i = 1 ∙ i = i
i54 = i52 ∙ i2 = 1 ∙ (– 1) = – 1
i54?
Actividades
Ubicando los números en
el plano complejo
z1 = 3 – 4i
z4
z2
z3
z2 = 3 + 4i
z3 = – 3 + 4i
z1
z4 = – 5 + 3i
z5 = 1 – 4i
z5
Actividades
Si graficas las potencias de i en el plano complejo, ¿qué es
posible concluir?
Se puede concluir que multiplicar un número complejo por i
es equivalente a realizar una rotación antihoraria de
90°,con centro en el origen, al número complejo
Actividades
1
3
En los números reales, ¿cómo se
determina el opuesto de un número?
Corresponde al mismo número, pero
con el signo contrario. Por ejemplo el
opuesto de 3 es – 3.
2
¿Cómo se aplica lo anterior en los
números complejos?
En los números complejos, por contener
a los reales, el opuesto o inverso de un
número se determina cambiando el
signo tanto de la parte real como de la
imaginaria. Por ejemplo, el opuesto de
4 – 7i es – 4 + 7i.
Sea z = a + bi un número complejo, con a y b números reales positivos. Se define el conjugado de z
como el número simétrico a z, respecto al eje real en el plano complejo. Entonces, el conjugado de z es
Im
b
–b
z1
z2
a Re
Una simetría con respecto al eje real siempre mantendrá la
parte real del número y cambiará el signo de la parte
imaginaria. En el plano de la figura adjunta, el conjugado de
z1 = a + bi es z2 = a – bi.
Actividades
4
¿Qué se puede concluir al graficar en el plano un número complejo y su opuesto?
Im
En el plano de la figura adjunta, el opuesto de z1 = a + bi es
z2 = – a – bi. Se puede concluir que:
b
z1
–a
a
z2
Re
–b
5
(1) z2 es el simétrico de z1 respecto al origen.
(2) Las representaciones de z1 y z2 forman un ángulo extendido.
¿Cómo se puede determinar el módulo
de un vector de la forma (x, y)?
6
¿Cómo se aplica lo anterior en los
números complejos?
Para un vector de la forma (x, y), su
Al ser una analogía del plano
módulo se puede calcular de la
cartesiano se aplica de la misma
forma
7
x2  y 2 .
forma, es decir, Re 2  Im 2.
conjugado de z1; por
Según el plano complejo de la sección 2, se tiene que z2 es el _________
opuesto de z1.
otra parte, z3 es el ________
Actividades
Im
b
z1
–a
a
z2
–b
Re
En los números complejos NO es posible establecer orden. Por
ejemplo, ¿cómo podría establecerse un orden entre los números
complejos de la figura adjunta? La parte real ni la parte
imaginaria podrían compararse en este pues están en un plano.
Recuerda el orden es exclusivo de los números reales y sus
subconjuntos.
Modelamiento
1
La expresión compleja (i532 – i325) es equivalente a
A) 1 – i
B) 0
C) – 2i
D) 1 + i
E) – 1 + i
A
¿Cuál es la alternativa
correcta?
Habilidad: Comprensión
Modelamiento
2
¿En cuál de los siguientes planos está representado el número complejo
3 + 5i?
A)
B)
Im
C)
Im
Im
5
3
3
5
D)
Re
E)
Im
5
Re
–3
Re
–5
Re
3
Im
–5
Re
–3
B
¿Cuál es la alternativa
correcta?
Habilidad: Comprensión
Modelamiento
3
Dado el número complejo z = a + bi, es FALSO afirmar que
A) si a es igual a cero y b es un número real distinto de cero, entonces
z es un número imaginario puro.
B) si a es un número real distinto de cero y b es igual a cero, entonces
z es un número real.
C) si a y b son números reales distintos de cero, entonces z nunca se
ubicará sobre los ejes coordenados en el plano complejo.
D) si a y b son números reales iguales y distintos de cero, entonces z
nunca se ubicará en el segundo ni en el cuarto cuadrante del plano
complejo.
E) si a y b son números reales distintos de cero y de distinto signo
entre sí, entonces z nunca se ubicará ni el segundo ni en el cuarto
cuadrante del plano complejo.
E
¿Cuál es la alternativa
correcta?
Habilidad: ASE
Modelamiento
4
Respecto a los números complejos z1, z2 y z3, representados en el plano
complejo de la figura adjunta, es correcto afirmar que
I) z1 y z2 son inversos aditivos entre sí.
II) z1 y z3 son conjugados entre sí.
III) z2 y z3 tienen el mismo módulo.
Es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo I.
solo II.
solo I y III.
solo II y III.
I, II y III.
Im
4
z1
–4
z3
z2
6
Re
–4
–6
D
¿Cuál es la alternativa
correcta?
Habilidad: Comprensión
Modelamiento
5
Sea z un número complejo tal que |z| = 13 . Se puede conocer el valor de z, si:
(1) La parte real de z es 2.
(2) En el plano complejo, z se encuentra en el cuarto cuadrante.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
C
¿Cuál es la alternativa
correcta?
Habilidad: ASE
Cierre de la clase
¿Qué valores pueden
tomar los resultados de las
potencias de i?
Compruebo lo aprendido
¿De que formas se puede
representar a un número
complejo?
Comprendo el significado de la unidad imaginaria
y la regularidad
de sus potencias.
formaformas
se calcula
Reconozco los números complejos ¿De
y lasqué
distintas
en que
el módulo de un vector?
se representan.
En el plano complejo, un número y
forman
un…
Comprendo y determino el módulo su
de inverso
un número
complejo.
La suma entre un complejo y su
conjugado resulta siempre un…
Comprendo y determino el inverso aditivo de un número complejo.
Comprendo y determino el conjugado de un número complejo.
Tabla de Corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Dificultad
1
A
Comprensión
Media
2
3
B
E
Comprensión
ASE
Fácil
Fácil
4
D
Comprensión
Media
5
C
ASE
Difícil
6
C
Comprensión
Fácil
7
D
Comprensión
Fácil
8
A
Aplicación
Fácil
9
E
Comprensión
Fácil
10
D
ASE
Fácil
Tabla de Corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Dificultad
11
D
Aplicación
Media
12
D
Aplicación
Media
13
C
ASE
Media
14
E
Comprensión
Media
15
E
ASE
Media
16
D
ASE
Difícil
17
D
ASE
Difícil
18
A
Comprensión
Difícil
19
B
Comprensión
Difícil
20
C
ASE
Difícil
Equipo Editorial
Matemática
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