Download presentación t0. fundamentos de mecánica

TEMA 0. FUNDAMENTOS DE
MECÁNICA
1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

MAGNITUD ESCALAR: DEFINIDA POR NÚMERO Y
UNIDAD


MASA, TIEMPO, VOLUMEN, ENERGÍA, … (4 kg, 67 s, 5 L,
900 J)
MAGNITUD VECTORIAL: DEFINIDA POR VECTORES
MÓDULO: Longitud del vector
 DIRECCIÓN: Recta sobre la que se apoya el vector
 SENTIDO: Hacia donde señala la flecha
 PUNTO DE APLICACIÓN: Origen de la flecha

OPERACIONES CON VECTORES
SUMA: se suman las componentes x, y y z por
separado.
 A = Axi + Ayj + Azk
 B = Bxi + Byj + Bzk
 El vector resultante es
 R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k

OPERACIONES CON VECTORES
RESTA: se restan las componentes x, y y z por
separado.
 A = Axi + Ayj + Azk
 B = Bxi + Byj + Bzk
 El vector resultante es
 R = A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k

OPERACIONES CON VECTORES
OPUESTO: El opuesto a un vector A es otro vector (-A)
de igual módulo y dirección y de sentido opuesto
 A = Axi + Ayj + Azk
 (-A)= (-Ax)i + (-Ay)j + (-Az)k


PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR:

n·(A)= n(Ax)i + n(Ay)j + n(Az)k
COMPONENTES CARTESIANAS

TODO VECTOR “A” ES SUMA DE SUS
COMPONENTES. CASO MÁS IMPORTANTE: LAS
COMPONENTES
SON
PERPENDICULARES
FORMANDO
UN
SISTEMA
DE
EJES
CARTESIANOS x ,y y z
A

DE UN VECTOR
= Axi + Ayj + Azk
CUALQUIER
VECTOR
DEL
ESPACIO
EN
COORDENADAS
CARTESIANAS
PUEDE
ESCRIBIRSE COMO COMBINACIÓN LINEAL DE
LOS VECTORES UNITARIOS i, j Y k.
COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR
MÓDULO DE UN VECTOR
A  2 Ax2  Ay 2  Az 2

A = Axi + Ayj + Azk

VECTOR UNITARIO  SU MÓDULO ES LA UNIDAD:

A  Aup
A
up
A

COMPONENETES CARTESIANAS DE UN VECTOR
UNITARIO:
A
Axi  Ayj  Azk
ur 

A 2 Ax 2  Ay 2  Az 2
2. PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO DEL MÓDULO DE UN VECTOR POR
LA PROYECCIÓN DEL OTRO SOBRE ÉL
 SE DEFINE COMO PRODUCTO DE LOS MÓDULOS
POR EL COSENO DEL ÁNGULO MENOR QUE
FORMAN SUS DIRECCIONES

  
p·q  p  q  cos 
2. PRODUCTO ESCALAR
   
 ES CONMUTATIVO:
pq  q  p

PODEMOS EXPRESARLO EN FUNCIÓN DE SUS
COORDENADAS CARTESIANAS:






 
p  q  ( px i  p y j  pz k )  (qx i  q y j  qz k )  px ·qx  p y ·q y  pz ·qz
    
ya que se cumple que i ·i  j· j  k ·k  1
 PRODUCTO ESCALAR DE UN VECTOR CONSIGO
MISMO: p· p  p · p ·cos   p 2  p x 2  p y 2  p z 2

PERMITE CALCULAR EL ÁNGULO QUE FORMAN
DOS
VECTORES
A
PARTIR
DE
SUS
COORDENADAS CARTESIANAS:
   
r  s  r · s ·cos 

rx ·s x  ry ·s y  rz ·s z
r ·s
cos     
r · s 2 r 2  r 2  r 2 ·2 s 2  s 2  s
x
y
z
x
y
2
z
PROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO ESCALAR

 
1. Si a·b  0  a  b
  
2. a·b  b·a  Es conmutativ o
    
3. i · i  j · j  k·k  1
    
4. i · j  j ·k  i ·k  0  son ejes 
PRODUCTO VECTORIAL

PRODUCTO
DE
DOS
VECTORES
CUYO
RESULTADO ES OTRO VECTOR CON LAS
SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS:

SU MÓDULO ES EL PRODUCTO DE LOS DOS
MÓDULOS POR EL SENO DEL ÁNGULO QUE FORMAN
   
p  q  p  q  sen

SU DIRECCIÓN ES PERPENDICULAR AL PLANO
FORMADO POR LOS DOS VECTORES

SU SENTIDO DE AVANCE ES EL DE UN
SACACORCHOS QUE GIRE DE p A q POR EL CAMINO
MÁS CORTO
3. PRODUCTO VECTORIAL
PROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO VECTORIAL

 

1. Si a  b  0  a paralelo a b
 
 
2. a  b  - b  a  Es anticonmut ativo
     
3. i  i  j  j  k  k  0
   
4. i  j  - j  i
PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS
CARTESIANAS
PRODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS
CARTESIANAS
Ejemplo
El producto vectorial de los vectores
se calcula del siguiente modo:
y
Expandiendo el determinante:
Puede verificarse fácilmente que
es ortogonal a los
vectores a y b efectuando el producto escalar y comprobando
que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores)
MAGNITUDES QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL
PRODUCTO VECTORIAL
MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA SOBRE
UN PUNTO P  M = r x F
 MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA DE
MASA m QUE SE MUEVE CON VELOCIDAD v :

L0 = r x mv = r x p
DONDE r ES EL VECTOR
POSICIÓN QUE VA DESDE EL ORIGEN HASTA EL
COMIENZO DEL OTRO VECTOR
4. CÁLCULO DIFERENCIAL
VELOCIDAD MEDIA:
VELOCIDAD INSTANTÁNEA:
CONCEPTO DE DERIVADA: Desarrollado por Leibniz y Newton
DEFINICIÓN: La derivada de una función y respecto de la variable x
es el límite de esta razón cuando Dx0. Se representa como y’ ,f’(x)
o dy/dx
¡¡¡DAR TABLA DE DERIVADAS!!!
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: y = f(x). A cada
valor de x le corresponde un valor de y = f(x), que se
asocia al punto P (x,y). Al aumentar la variable x en Dx,
la función también se ve incrementada en
y+Dy=f(x+Dx).
A estos nuevos valores les corresponde en la curva el
punto B (x+Dx, y+Dy)
EJERCICIOS

LLEGADOS A ESTE PUNTO SE PUEDEN
HACER LOS EJERCICIOS DEL 1 AL 7 DEL
TEMA 0 (excepto el 4)
5. CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL
CINEMÁTICA DESCRIBE EL MOVIMIENTO DE
LOS CUERPOS SIN BUSCAR SU ORIGEN
 CONCEPTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA: LA
FÍSICA MODERNA NO ACEPTA EL ESPACIO Y
TIEMPO
ABSOLUTOS
TODOS
LOS
MOVIMIENTOS SON RELATIVOS. ASÍ, PARA
DESCRIBIR UN MOVIMIENTO, NECESITO UN
SISTEMA DE REFERENCIA, QUE SUELE SER UN
SISTEMA DE EJES CARTESIANOS EN CUYO
ORIGEN ESTÁ EL OBSERVADOR

MAGNITUDES CINEMÁTICAS
1. TRAYECTORIA: Línea formada por las sucesivas
posiciones de un móvil. Tipos de movimiento:
1. RECTILÍNEO TRAYECTORIA = LÍNEA RECTA
2. CURVILÍNEO  TRAYECTORIA = CURVA
(CIRCULARES, PARABÓLICOS, ELÍPTICOS,…)
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS:
Relaciones
matemáticas que relacionan las coordenadas
espaciales con el tiempo  x = x(t); y = y(t); z = z(t)
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
2. VECTOR POSICIÓN: Vector cuyo punto de aplicación
es el origen de coordenadas y cuyo extremo es la
posición del móvil en cada instante
r= OP = x i + y j + z k
r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k
La distancia al origen de coordenadas es el módulo de
2
2
2
x

y

z
este vector: OP = r = │r│=
2
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
3. VECTOR DESPLAZAMIENTO: Es la diferencia entre
dos vectores posición
Dr= P1P2 = r2 – r1 = (x2-x1)i + (y2 –y1)j + (z2-z1)k
El desplazamiento espacial es el módulo del vector Dr
P1P2 =
 2
Dr  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
4. ESPACIO RECORRIDO: LONGITUD DEL TRAMO DE
TRAYECTORIA
DESCRITO
EN
UN
TIEMPO
DETERMINADO. NO SUELE COINCIDIR CON EL
DESPLAZAMIENTO ESPACIAL (QUE ES UN
SEGMENTO RECTO) A NO SER QUE TENGAMOS UN
MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
DE
SENTIDO
CONSTANTE
s = s(t)
Ds = s2 – s1
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
ESPACIO RECORRIDO (--)
vS
VECTOR DESPLAZAMIENTO (--)
 
VECTOR POSICIÓN r1 , r2
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
5. VELOCIDAD: MIDE EL RITMO TEMPORAL AL QUE
SE PRODUCEN LOS CAMBIOS DE POSICIÓN.
AL DERIVAR EL VECTOR POSICIÓN RESPECTO
DEL TIEMPO OBTENEMOS LA VELOCIDAD:

P1 P2
Dr

vm 

t 2  t1 Dt

 dr
vi 
dt
6. CELERIDAD: MAGNITUD ESCALAR QUE MIDE LA
RAPIDEZ CON QUE SE DESPLAZA EL MÓVIL
SOBRE LA TRAYECTORIA. EN MOVIMIENTOS
CURVOS cm ≠ vm
Ds
cm 
Dt
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
7.
ACELERACIÓN: MIDE LOS CAMBIOS DE
VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO.
AL DERIVAR EL VECTOR VELOCIDAD RESPECTO
DEL TIEMPO OBTENEMOS LA ACELERACIÓN:

v2  v1 Dv

am 

t 2  t1 Dt

 dv
ai 
dt
COMPONENTES
INTRÍNSECAS
ACELERACIÓN: a = at +an
DE
LA
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
a)
ACELERACIÓN TANGENCIAL (cambia el módulo de
v mientras que la dirección ut se mantiene constante):

dv
 dv d 
a
 v·ut   at 
dt dt
dt
b)
ACELERACIÓN NORMAL (cambia la dirección de v
mientras que el módulo se mantiene constante):

dut
 d 
 v2
a  (v·ut )  v
 an 
dt
dt
R
6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES

MRU  DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA
CON
VELOCIDAD
CONSTANTE.
CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Línea recta con sentido constante
2. Velocidad: Constante en valor, dirección y sentido
3. Aceleración: Nula
ECUACIONES
6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES

MRUA  DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA
CON VELOCIDAD VARIABLE Y ACELERACIÓN
CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Línea recta
2. Velocidad: Constante en dirección pero variable en
sentido y módulo
3. Aceleración: an=0; at = cte en valor, dirección y sentido
ECUACIONES
6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES

CAÍDA LIBRE  MRUA CON LAS SIGUIENTES
CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Línea recta vertical descendente
2. Velocidad: Constante en dirección y sentido. Su
módulo aumenta desde v0.
3. Aceleración: an=0; at = -g
ECUACIONES
6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES

CAÍDA DE CUERPOS LANZADOS
ECUACIONES
6.CINEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES

MCU
EL
RECORRIDO
ES
UNA
CIRCUNFERENCIA PERO LA CELERIDAD ES
CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS:
1. Trayectoria: Circunferencia recorrida siempre en igual
sentido
2. Velocidad: Cambia continuamente de dirección pero es
constante en su módulo
3. Aceleración: an=cte; at = 0
ECUACIONES
7. CÁLCULO INTEGRAL
Si F(x) es una función primitiva de f(x), la expresión
F(x)+C se llama integral definida de f(x) y se designa
como ∫f(x)dx
 ∫f(x)dx = F(x)+C
 Este caso es el inverso del cálculo de una derivada: f(x)
= dF(x)/dx.
 TABLA DE INTEGRALES:
∫dx = x+ C
∫kdx = kx + C
x n 1
n
 x dx  n  1  C

7. CÁLCULO INTEGRAL
INTEGRAL DEFINIDA: ES EL ÁREA LIMITADA
POR UNA CURVA.
 Dividimos el área en pequeños rectángulos. El cálculo
será más aproximado cuanto más pequeña sea la base.
 La relación entre el área y el cálculo integral viene
dada por la regla de Barrow:

8. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL
LA DINÁMICA SE ENCARGA DE BUSCAR EL ORIGEN
DE LOS MOVIMIENTOS.
 LEYES DE NEWTON:


PRIMERA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO DE INERCIA
Todo cuerpo mantiene su estado de movimiento a no ser que
actúe una fuerza sobre él

SEGUNDA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO FUNDAMENTAL
La aceleración que experimenta un cuerpo es proporcional a las
fuerzas a las que está sometido. La constante de proporcionalidad
es la masa del cuerpo


F1 F2
    .... 
a1 a2


F

  m  F  m·a
a
8. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

TERCERA LEY DE LA DINÁMICA: PRINCIPIO DE
ACCIÓN Y REACCIÓN
Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo
realiza simultáneamente otra fuerza sobre el primero, de igual
módulo y dirección, pero de sentido contrario.


F1, 2   F2,1

A TENER EN CUENTA
Acción y reacción son dos procesos simultáneos (no consecutivos)
 Las dos fuerzas no se anulan entre sí porque actúan sobre cuerpos ≠
 Fuerzas iguales no implican efectos iguales. Las consecuencias de
cada una dependen de su masa

8.1. ESTUDIO DINÁMICO DE ALGUNOS
MOVIMIENTOS SIMPLES
MRU  NO TIENE ACELERACIÓN, POR LO QUE
Fresultante = 0
 MRUA  an = 0 y at = cte  a = cte. ASÍ, COMO
a = cte ; m = cte  Fresultante = cte
 MCU  at = 0 y an = cte  ACELERACIÓN
CONSTANTE SÓLO EN MÓDULO, PERO NO EN
DIRECCIÓN.
LA FUERZA QUE PRODUCE UN MCU ES UNA
FUERZA CENTRÍPETA PERPENDICULAR AL
VECTOR VELOCIDAD Y DIRIGIDA AL CENTRO
DE LA CIRCUNFERENCIA
2

v
Fc  m·ac  m
R
DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL:
ES EL PRODUCTO DE LA MASA DE UN CUERPO POR


SU VELOCIDAD
p  m·v



TIENE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO QUE v
EN EL S.I. SE EXPRESA EN kg·m/s
EXPRESIÓN DE LA 2ª LEY DE LA DINÁMICA EN FUNCIÓN
DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:

 dp d
dv


F
 (m·v )  m
 m·a
dt dt
dt

Así, si la fuerza F total es nula, eso quiere decir que dp/dt =0, por
tanto, p = cte  EN TODO CUERPO AISLADO, LA
CANTIDAD DE MOVIMIENTO SE CONSERVA
DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

IMPULSO MECÁNICO: INDICA QUE EL EFECTO DE
UNA FUERZA SOBRE EL ESTADO DE MOVIMIENTO DE
UN CUERPO DEPENDE DEL TIEMPO DURANTE EL
QUE ACTÚA
 


t2 
I  F·t  SI F VARIABLE : I   Fdt
t1

 dp d
dv


F
 (m·v )  m
 m·a
dt dt
dt
DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

TEOREMA DEL IMPULSO: RELACIONA EL IMPULSO
COMUNICADO A UN CUERPO CON LA VARIACIÓN DE
LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO QUE EXPERIMENTA:


t2 
t 2 dp
t2 


I   Fdt  
dt   dp  p2  p1 Dp
t1
t1 dt
t1

SI LA FUERZA ES CONSTANTE Y PARALELA A LA
ACELERACIÓN:
I  Dp  F·t  Dp  m(v2  v1 )
DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

TRABAJO: RELACIONA EL MOVIMIENTO CON LA
ENERGÍA
 
W  F ·Dr  F ·Dr·COS



ES EL PRODUCTO ESCALAR DE LA FUERZA Y EL
DESPLAZAMIENTO
EN EL S.I. SE MIDE EN J
SI TENEMOS UN MOVIMIENTO NO RECTILÍNEO Y/O UNA
FUERZA VARIABLE:
 
2  
2
dW  F·dr  W12   F·dr   F cos dr
1
1
DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL

TRABAJO DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS:
UNA FUERZA CONSERVATIVA ES AQUELLA CUYO
TRABAJO SOBRE UN OBJETO EN MOVIMIENTO
ENTRE DOS PUNTOS ES INDEPENDIENTE DE LA
TRAYECTORIA QUE EL OBJETO TOME ENTRE ESOS
DOS PUNTOS
W12  
2
1
 

F·dr  U 2  U1  Wciclo   Fdr  0

LA FUNCIÓN U ES CARACTERÍSTICA DE CADA FUERZA
CONSERVATIVA. A PARTIR DE ELLA SE DEFINE LA
ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA A UN TIPO CONCRETO
DE FUERZA

PARA UNA FUERZA NO CONSERVATIVA EL TRABAJO
DEPENDE DE LA TRAYECTORIA DEL OBJETO
9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL


TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS: “El trabajo
realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un
punto material es igual a la variación de su energía
cinética”
1
1
2
2
W12  mv2  mv1
2
2
TEOREMA DEL TRABAJO O DE LA ENERGÍA
POTENCIAL: “El trabajo realizado por una fuerza
conservativa que actúa sobre un punto es independiente
del camino y coincide con el opuesto de la variación de la
energía potencial asociada a dicha fuerza (DU=DEp)
W12  
2
1
2
 
F·dr   U   U1  U 2
1
9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
MECÁNICA: Em = Ec + Ep

SI TODAS LAS FUERZAS SON CONSERVATIVAS:
W12  DEc
W12  DEp
W12  DEc  DE p  DEm  DEc  DE p  0

CUANDO TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚAN
SOBRE
UN
PUNTO
MATERIAL
SON
CONSERVATIVAS: DEm = 0. SI EXISTEN FUERZAS
NO CONSERVATIVAS (p.e. rozamiento),
W = DEc +DEp = DEm
10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

CUERPO FORMADO POR CONJUNTO DE PUNTOS
MATERIALES CUYAS DISTANCIAS PERMANECEN
CONSTANTES AÚN BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS
EXTERIORES

SÓLIDO RÍGIDO DISCRETO: FORMADO POR UN
NÚMERO FINITO DE PARTÍCULAS DISTINGUIBLES
QUE OCUPAN POSICIONES NO CONTIGUAS (p.e., 4
n
piedrecitas pequeñas)
m   mi
i 1

SÓLIDO RÍGIDO CONTINUO: FORMADO POR UN
NÚMERO INFINITO DE PARTÍCULAS ELEMENTALES
NO DISTINGUIBLES. DISTRIBUCIÓN DE MASAS
CONTINUA DENTRO DEL SÓLIDO (p.e., una piedra
grande)
m   dm
10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

CENTRO DE MASAS: CENTRO DE SIMETRÍA DE LA
DISTRIBUCIÓN DE MASAS DE UN SISTEMA.

PARA UN SISTEMA DISCRETO:
xcm

m ·x


i
m
i
; ycm
m ·y


i
m
i
; zcm
PARA UN SISTEMA CONTINUO:
REEMPLAZAN POR INTEGRALES
m ·z


i
i
m
LAS
SUMAS
SE
10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RÍGIDO: CONSERVA
SU FORMA DURANTE EL MOVIMIENTO
TRASLACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN
TRAYECTORIAS PARALELAS
 ROTACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN
CIRCUNFERENCIAS ALREDEDOR DE UN EJE DE
ROTACIÓN

PARA PRODUCIR ROTACIÓN NECESITO PAR DE FUERZAS:
Sistema formado por dos fuerzas paralelas de igual valor que
actúan sobre un cuerpo en sentido contrario y sobre líneas de
acción distintas
 CUANDO UN PAR DE FUERZAS ACTÚA SOBRE UN SÓLIDO
RÍGIDO EN REPOSO, PROVOCA MOVIMIENTO DE ROTACIÓN
PURO. LA INFLUENCIA DEL PAR DE FUERZAS DEPENDE DE.
 EL VALOR DE LAS FUERZAS
Cuantificable con el Momento
 LA SEPARACIÓN ENTRE ELLAS

10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
MOMENTO DE UNA FUERZA:CUANDO SE EJERCE
UNA FUERZA SOBRE UN SÓLIDO RÍGIDO QUE
PUEDE GIRAR ALREDEDOR DE UN EJE, EL
SÓLIDO ROTA PORQUE EN EL EJE SE CREA UNA
FUERZA DE REACCIÓN DE IGUAL VALOR Y
DIRECCIÓN QUE LA FUERZA EXTERNA APLICADA
PERO DE SENTIDO CONTRARIO. SE GENERA ASÍ
UN PAR DE FUERZAS
 EL MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA EN
UN PUNTO P RESPECTO DE O ES EL PRODUCTO
VECTORIAL DE r = OP Y F


 
M 0  r xF
10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS: MAGNITUD
VECTORIAL
QUE
TIENE
POR
MÓDULO
CUALQUIERA DE LAS FUERZAS POR LA
DISTANCIA (PERPENDICULAR) ENTRE ELLAS



M par  d·F1  d·F2
10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE UN PAR:

MAGNITUD VECTORIAL INTRÍNSECA DEL PAR,
INDEPENDIENTE DEL PUNTO ELEGIDO COMO ORIGEN
DE COORDENADAS

MÓDULO IGUAL AL PRODUCTO DE CUALQUIERA DE
LAS FUERZAS POR EL BRAZO DEL PAR (DISTANCIA
ENTRE LAS LÍNEAS DE ACCIÓN DE LAS DOS FUERZAS)

DIRECCIÓN PERPENDICULAR AL PLANO DEFINIDO
POR EL PAR DE FUERZAS. SU SENTIDO SE OBTIENE DE
LA REGLA DEL SACACORCHOS



M par  Dr·F·sen  d·F1  d·F2
10. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA
DE ROTACIÓN: Cuando se ejerce un par de
fuerzas sobre un sólido rígido o se aplica una
fuerza a un cuerpo con eje de giro, todos los
puntos (a excepción de los del propio eje) realizan
movimientos circulares a velocidad angular 


M  I·

MOMENTO DE INERCIA (I): Oposición que
presenta el cuerpo a modificar su estado de
rotación (similar al papel de la masa en la
traslación)
Masa puntual: I = m·r2
2
I

m
·
r
 Sistema de partículas:
 i i  r 2 dm

11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN

EL MOMENTO ANGULAR ES EL MOMENTO DE LA
CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA MASA
RESPECTO DE UN PUNTO O.
  
L  r xp
DEPENDE DEL SISTEMA DE REFERENCIA ESCOGIDO
 SE MIDE EN kg·m2·s-1


IMPORTANTE PARA EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO
PLANETARIO
11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN

TEOREMA DEL MOMENTO ANGULAR O
CINÉTICO:
OBTENIDO
AL
DERIVAR
EL
MOMENTO ANGULAR RESPECTO DEL TIEMPO


dL  dp   
 rx
 r xF  M
dt
dt

MOMENTO ANGULAR DEL SÓLIDO RÍGIDO:
GIRO DE UN DISCO PLANO RESPECTO DEL EJE.
MOMENTO ANGULAR DE CADA PARTÍCULA:
Li  mi ·ri ·w  L   Li  I ·w  L  I ·w
2
11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR:
CUANDO M=0, dL/dt=0, lo que supone que L=cte. Así,
SI LA SUMA DE LOS MOMENTOS DE FUERZA
EXTERIORES QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO
ES NULA, EL PRODUCTO DEL MOMENTO DE
INERCIA POR LA VELOCIDAD ANGULAR SE
MANTIENE CONSTANTE:



dL
M 0
 0  L  cte  I ·w  cte
dt
I1·w1  I 2·w2
11. MOMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN

ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN: EN UN
SÓLIDO RÍGIDO, PODEMOS DESCOMPONER EL
MOVIMIENTO EN DOS COMPONENTES:
Ec sólidorígido  E c traslación  E c rotación
1
2
Ec traslación  m·vCM
2
1
Ec rotación  I ·w2
2