Download Longitudes con trigonometría básica en el plano.

U. D. 8 * 4º ESO E. AP.
MEDIDA DE
LONGITUDES
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
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U. D. 8.4 * 4º ESO E. AP.
LONGITUDES CON
TRIGONOMETRÍA
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
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Cálculo de longitudes con las
razones trigonométricas
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En un triángulo rectángulo veíamos que, con
independencia del valor de catetos e hipotenusa,
se cumplían las llamadas razones trigonométricas.
El valor de las razones trigonométricas sólo
depende del ángulo.
Así pues, si en un triángulo rectángulo nos dan el
valor de alguno de los ángulos agudos, ya no es
necesario conocer dos lados para hallar el tercero.
Con un ángulo agudo y un lado, podemos deducir
el valor de los otros dos lados.
Si conocemos la hipotenusa, a, y el ángulo α:
b = a·sen α ; c = a·cos α
Si conocemos un cateto, por ejemplo c:
a = c / cos α ; b = c / tag α
Si conocemos el otro cateto, el b:
a = b / sen α ; c = b / tag α
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Sen α = b / a
Cos α = c / a
Tag α = b / c
a
b
α
c
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Problemas
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Ejemplo_1
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Al construir un marco para una ventana
rectangular, un carpintero mide el largo,
que vale 80 cm, y el ángulo que forma la
diagonal con la base, que es de 60º.
¿Qué tiene que medir el alto para que el
marco esté bien hecho?.
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α=60º
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Como la ventana ha de ser un rectángulo,
se debe cumplir el Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2  a2 = 82 + h2 
Al conocer un ángulo agudo, podemos
poner que:
Tg α = h / 80  h = 80. tg 60º
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h=80.√3 = 80.1,732 = 138´56 cm
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h
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80 cm
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Problemas
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Ejemplo_2
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Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos
inclinada sobre una pared, de modo que el
ángulo que forma con el suelo es de 75º.
¿Qué altura alcanza la escalera en estas
condiciones?.
¿Cuánto está separada de la pared?
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Por definición de seno de un ángulo:
Sen 75º = h / 13
De donde h = 13. sen 75º =
= 13.0,9659 = 12,5570 m
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + h2  132 = b2 + 12,55702
169 = b2 + 157,6782
b2 = 169 – 157,6782 = 11,3218
b = √11,3218 = 3,3648 m hasta la pared
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13 m
h
75º
b
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Problemas
l
8 cm
l
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Ejemplo_3
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Un romboide presenta una base que
mide 12 cm, una altura de 8 cm y un
ángulo agudo de 45º. Hallar el
perímetro y el área del romboide.
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Por la definición del seno de un
ángulo:
Sen 45º = 8 / I
De donde l = 8 / (√2/2)
I = 11,3137 cm
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Siendo I el lado oblicuo.
P=2b+2l = 2.12+2.11,3137 = 46,33
A = b.h = 12.8 = 96 cm2
45º
12 cm
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Problemas
l
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Ejemplo_4
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Los lados de un rombo forman un ángulo
obtuso de 120º y la diagonal mayor mide
30 cm.
Hallar el perímetro.
l
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D=30 cm
d
• Resolución:
120º
l
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l
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En el triángulo rectángulo resaltado, en
rojo, por el Teorema de Pitágoras:
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l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]
Por definición de seno de un ángulo:
Sen 120º/2 = (30 / 2) / I
Donde I = 15 / sen 60º = 17,32 cm
Luego P = 4.I = 4.17,32 = 69,28 cm
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Problemas
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Ejemplo_5
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Las bases de un trapecio isósceles
miden 13 y 5 cm; y el ángulo agudo
mide 60º. Hallar el perímetro y el
Área.
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Resolución:
(B – b) / 2 = (13 – 5)/2 = 4 cm, que
es el cateto menor del triángulo
rectángulo señalado en rojo.
Por trigonometría:
Tg 60º = h / 4  h = 4.tg 60º =
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= 6,9282 cm
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Por Pitágoras, el lado oblicuo será:
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l = √ (6,92822 + 42) = √ 64 = 8 cm
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b=5
l
l
h
60º
B = 13
Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h
El perímetro es P = B+b+ 2.l
A = [(13+5)/2].6,9282 = 62,35 cm2
P = 13+5+2.8 = 18+16 = 34 cm
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Problemas
D
h
75º
3 cm
d
4 cm
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Ejemplo_6
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Un prisma rectangular tiene de base un rectángulo
de 3 x 4 cm, y el ángulo que forma la diagonal de la
base con la diagonal del prisma es de 75º.
Hallar el volumen del prisma.
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La diagonal de la base:
d= √(l2 + a2) = √(16 + 9) = √ 25 = 5 cm
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Por Trigonometría:
Tag 75º = h / d
3,72 = h / 5  h = 3,72.5 = 18,60 cm
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Volumen:
V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3
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Problemas
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Ejemplo_7
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Una pirámide regular tiene de base un
cuadrado de 4 cm de lado, y el ángulo que
forma la base con la cara lateral es de 75º.
Hallar el área y el volumen del prisma.
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La altura de la pirámide, h:
Tg 75º = h / (l/2)  h = (4/2).3,732 = 7,46 cm
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Por Trigonometría:
Cos 75º = 2 / Apo  Apo = 2/0,26 = 7,73 cm
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Area: A = l2 + p.Apo/2 = 4 + 62 = 66 cm2
V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3
h
h
75º
4 cm
4 cm
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