Download Resolución de triángulos rectángulos.

TRIGONOMETRÍA
U. D. 7 *
@ Angel Prieto Benito
4º ESO E. AC.
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
U.D. 7.6 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
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Todo polígono se puede
descomponer en triángulos.
Si además estos triángulos son
rectángulos podemos aplicar el
Teorema de Pitágoras para hallar
distancias: a2 = b2 + c2 .
Y además, gracias a la
Trigonometría, no será necesario
conocer dos lados para hallar el
tercero si conocemos algún ángulo
interior agudo.
Sabemos que:
sen C = c / a  c = a. sen C
cos C = b / a  b = a. cos C
tag C = c / b  c = b. tan C
@ Angel Prieto Benito
B
Hipotenusa
B
c
a
A=90º
A
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C
b
C
Igualmente tenemos:
sen B = b / a  b = a. sen B
cos B = c / a  c = a. cos B
tag B = b / c  b = c. tag B
Matemáticas 4º ESO Opción B
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Ejemplo 1
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Hallar los lados y los ángulos del
siguiente triángulo rectángulo
donde la hipotenusa mide 5 metros
y un ángulo agudo 30º.
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Resolución
No podemos emplear el Teorema
de Pitágoras.
Sea el ángulo C =30º
Como: sen C = c / a
Despejamos c: c = a. sen C
c = 5. sen 30º = 5.0,5 = 2,50 m
Ahora podemos ya emplear el
Teorema de Pitágoras para hallar
el lado b.
a2 = b2 + c2  b = √(52 – 2,502)
b = 4,33 m
Ángulo B = 90 – C = 90 – 30 = 60º
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@ Angel Prieto Benito
B
c
B
Hipotenusa
a=5m
A=90º
A
Matemáticas 4º ESO Opción B
30º
b
C
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Ejemplo 2
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Hallar los lados y los ángulos del siguiente
triángulo rectángulo donde un cateto mide
3 metros y el ángulo adyacente al mismo
mide 30º.
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B
Resolución
No podemos emplear el Teorema de
Pitágoras.
c
Sea el ángulo C =30º
Como: cos C = b / a
Despejamos a: a = b / cos C
a = 3 / cos 30º = 3 / 0,866 = 3,46 m
A
Ahora podemos ya emplear el Teorema
de Pitágoras para hallar el lado c.
a2 = b2 + c2  c = √(3,462 – 32)
c = 1,73 m
Ángulo B: B = 90 – C = 90 – 30 = 60º
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@ Angel Prieto Benito
B
A=90º
Matemáticas 4º ESO Opción B
Hipotenusa
a
30º
b=3m
C
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Problema 1
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Problema 1
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Al construir un marco para una ventana
rectangular, un carpintero mide el largo,
que vale 80 cm, y el ángulo que forma la
diagonal con la base, que es de 60º.
¿Qué tiene que medir el alto para que el
marco esté bien hecho?.
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α=60º
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Como la ventana ha de ser un rectángulo,
se debe cumplir el Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2  a2 = 82 + h2 
Al conocer un ángulo agudo, podemos
poner que:
Tg α = h / 80  h = 80. tg 60º
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h=80.√3 = 80.1,732 = 138´56 cm
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h
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO Opción B
80 cm
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Problema 2
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Problema 2
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Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos
inclinada sobre una pared, de modo que el
ángulo que forma con el suelo es de 75º.
¿Qué altura alcanza la escalera en estas
condiciones?.
¿Cuánto está separada de la pared?
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Por definición de seno de un ángulo:
Sen 75º = h / 13
De donde h = 13. sen 75º =
= 13.0,9659 = 12,5570 m
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + h2  132 = b2 + 12,55702
169 = b2 + 157,6782
b2 = 169 – 157,6782 = 11,3218
b = √11,3218 = 3,3648 m hasta la pared
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@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO Opción B
13 m
h
75º
b
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Problema 3
l
8 cm
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Problema 3
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Un romboide presenta una base que
mide 12 cm, una altura de 8 cm y un
ángulo agudo de 45º. Hallar el
perímetro y el área del romboide.
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Por la definición del seno de un
ángulo:
Sen 45º = 8 / I
De donde l = 8 / (√2/2)
I = 11,3137 cm
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Siendo I el lado oblicuo.
P=2b+2l = 2.12+2.11,3137 = 46,33
A = b.h = 12.8 = 96 cm2
l
45º
12 cm
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO Opción B
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Problema 4
l
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Problema 4
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Los lados de un rombo forman un ángulo
obtuso de 120º y la diagonal mayor mide
30 cm.
Hallar el perímetro.
l
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D=30 cm
• Resolución:
d
120º
l
@ Angel Prieto Benito
l
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En el triángulo rectángulo resaltado, en
rojo, por el Teorema de Pitágoras:
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l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ]
Por definición de seno de un ángulo:
Sen 120º/2 = (30 / 2) / I
Donde I = 15 / sen 60º = 17,32 cm
Luego P = 4.I = 4.17,32 = 69,28 cm
Matemáticas 4º ESO Opción B
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Problema 5
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Problema_5
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Las bases de un trapecio isósceles
miden 13 y 5 cm; y el ángulo agudo
mide 60º. Hallar el perímetro y el
Área.
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Resolución:
(B – b) / 2 = (13 – 5)/2 = 4 cm, que
es el cateto menor del triángulo
rectángulo señalado en rojo.
Por trigonometría:
Tg 60º = h / 4  h = 4.tg 60º =
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= 6,9282 cm
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Por Pitágoras, el lado oblicuo será:
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l = √ (6,92822 + 42) = √ 64 = 8 cm
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@ Angel Prieto Benito
b=5
l
l
h
60º
B = 13
Sabemos que: A = [(B+b) / 2].h
El perímetro es P = B+b+ 2.l
A = [(13+5)/2].6,9282 = 62,35 cm2
P = 13+5+2.8 = 18+16 = 34 cm
Matemáticas 4º ESO Opción B
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Problema 6
D
h
75º
3 cm
d
4 cm
@ Angel Prieto Benito
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Problema _6
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Un prisma rectangular tiene de base un rectángulo
de 3 x 4 cm, y el ángulo que forma la diagonal de la
base con la diagonal del prisma es de 75º.
Hallar el volumen del prisma.
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La diagonal de la base:
d= √(l2 + a2) = √(16 + 9) = √ 25 = 5 cm
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Por Trigonometría:
Tg 75º = h / d
3,72 = h / 5  h = 3,72.5 = 18,60 cm
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Volumen:
V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3
Matemáticas 4º ESO Opción B
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Problema 7
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Problema 7
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Una pirámide regular tiene de base un
cuadrado de 4 cm de lado, y el ángulo que
forma la base con la cara lateral es de 75º.
Hallar el área y el volumen del prisma.
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La altura de la pirámide, h:
Tg 75º = h / (l/2)  h = (4/2).3,732 = 7,46 cm
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Por Trigonometría:
Cos 75º = 2 / Apo  Apo = 2/0,26 = 7,73 cm
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Area: A = l2 + p.Apo/2 = 4 + 62 = 66 cm2
V = l.a.h = 3.4.18,60 = 223,20 cm3
h
h
75º
4 cm
4 cm
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO Opción B
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