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Unidad 4: La antiderivada
Funciones de densidad
de probablidad
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Funciones de densidad de probabilidad
En estadística, una función de densidad (de
probabilidad) f de una variable aleatoria
continua x, donde x toma valores en todos los
reales, es una funciòn que cumple las siguientes
condiciones:
1. f (x)  0 , para todo x real
2. El área total bajo la gráfica f(x) es 1
2
Determinación de la probabilidad
La probabilidad de que la variable x, con función
de densidad f, tome valores en el intervalo axb
está dada por:
b
P(a  x  b)   f ( x) dx
a
Y
y=f(x)
P(a≤x≤b)
0
a
b
X
3
Ejemplo 1
3
2
(
4
x
x
) , si 0 ≤ x ≤4

Dada la función: f ( x)   32

0
, en otro caso

a. Demuestre que es una función de densidad
de la variable x.
b. Hallar la probabilidad de que x esté en [0; 3]
4
Función de Densidad Uniforme
Una función f es de densidad uniforme para x en
[a, b] si está definida por:
si a  x  b
1 /(b  a);
f ( x)  
; en los demás casos
 0
y
y  1 /(b  a)
a
b
x
5
Ejemplo 2
Cierto semáforo permanece en rojo durante 40
segundos. Ud. llega (aleatoriamente) al semáforo y lo
encuentra en rojo. Utilice la función de densidad
uniforme apropiada para hallar:
a. La probabilidad de que tenga que esperar por lo
menos 15 segundos para que el semáforo cambie a
verde.
b. La probabilidad de que el semáforo cambie a verde
entre 5 y 10 segundos después de que UD. llega.
6
Función de Densidad Exponencial
Una función f es de densidad exponencial para la
variable x si está definida por:
ke kx si x  0
f ( x)  
si x  0
 0
donde k es una constante positiva.
y
k
y=f(x)
0
x
7
Ejemplo 4
Sea x una variable que mide la duración en minutos de
las llamadas telefónicas en cierta ciudad y cuya función
de densidad de probabilidad para x es:
0,5e 0,5 x
f ( x)  
 0
si x  0
si x  0
donde x es la duración de una llamada seleccionada
aleatoriamente.
a. Halle la probabilidad de que una llamada
seleccionada aleatoriamente dure entre 2 y 3 min.
b. Halle la probabilidad de que una llamada
seleccionada aleatoriamente dure al menos 2 min. 8
Ejemplo 5
La vida de un electrodoméstico se mide mediante una
variable aleatoria x cuya función de densidad de
probabilidad es :
f ( x)  0,025e 0,025x
donde x denota la duración (en meses) de un
electrodoméstico seleccionado al azar
¿Cuál es la probabilidad de que un electrodoméstico
seleccionado aleatoriamente dure más de 12 meses?
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Ejemplo 6
La vida útil de un electrodoméstico se mide mediante
una variable aleatoria x cuya función de densidad de
probabilidad es:
5  2m  0 , 2 x
f ( x) 
e
5
donde x denota la vida (en años) de un electrodoméstico
seleccionado al azar.
a. Determine m para que sea f una función de
densidad
b. Determine la probabilidad que un electrodoméstico
seleccionado aleatoriamente dure al menos 5 años. 10