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Propagación de Daño en el
Modelo ±J de Edwards-Anderson en 3D
M. L. Rubio Puzzo1, F. Romá2, S. Bustingorry3, P. M. Gleiser3
1INIFTA
- Universidad Nacional de La Plata, 2Departamento de Física - Universidad
Nacional de San Luis, 3Centro Atómico Bariloche
Resumen
A partir de la información suministrada por la topología del Estado Fundamental, en el
presente trabajo se muestra que la técnica de Propagación de Daño permite caracterizar el
orden ferromagnético presente en el Modelo ± J Edwards-Anderson tridimensional.
En efecto, utilizando dinámica de Metrópolis (spin-flipping), se observa que el Daño se
propaga para temperaturas mayores que Tg, la temperatura de la transición vítrea;
mientras que si se aplica al sistema la dinámica de Baño Térmico (spin-orienting) y para
temperaturas en el rango de Tg<T<Td, el daño se propaga sobre una región finita del
sistema, formada por clusters finitos de carácter ferromagnético, donde Td es la
temperatura de la transición crítica de daño (con Td ≈Tc, la temperatura crítica del modelo
de Ising). Los resultados obtenidos permiten construir una imagen completa, e intuitiva, del
origen del orden creciente en los vidrios de spin.
8° TREFEMAC, Mar del Plata 5 al 7 de Mayo de 2010
Organización





Modelo de Edwards-Anderson
Propagación de Daño
Propagación de Daño en el EA
Resultados
Conclusiones
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1. Modelo ±J de de Edwards-Anderson (EA)
El Hamiltoniano del Modelo está dado por:
donde la suma se realiza sobre todos los n-n de una red cúbica L3, i=±1, es
la variable de spin y las constantes de acoplamiento Jij=±J (J>0) son
elegidas de una distribución bimodal simétrica.
En 3D, el EA exhibe
una transición vítrea a
una temperatura finita
Tg ≈1.12.
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El origen de las heterogeneidades dinámicas se ha revelado a partir
del estudio de las heterogeneidades espaciales en el Estado
Fundamental (EF) en el EA [1].
En una dada configuración
El EF es degenerado.
El número de configuraciones del EF crece exponencialmente con el
tamaño del sistema
satisfecho frustrado
enlace antiferro
enlace ferro
[1] Romá, F., Risau-Gusman, S., Ramirez-Pastor, A. J., Nieto, F., y Vogel, E. E., (2010) en preparación.
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Comparando todas las configuraciones posibles del EF
Los spines de cada configuración del EF de una muestra pueden
ser separados en dos subgrupos:
 los spines solidarios, que mantienen su orientación relativa en
todas las configuraciones del EF de la muestra.
 los spines no-solidarios, que no cumplen con esta condición.
Red Rígida = enlaces (frustrados o satisfechos) que no
cambian su orientación en todas las configuraciones del EF.
Backbone = Red rígida + spines solidarios
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Transformación de Gauge
Backbone puede mantener
el orden ferromagnético.
○spin down
●spin up
║enlace AF
│enlace F
║Frustrado
│Satisfecho
Spines solidarios
Spines no-solidarios
Dinámica lenta
Dinámica rápida
En 3D, los spines solidarios:
 forman un gran cluster percolante e islas
pequeñas.
 ocupan aproximadamente del 76% de la
muestra.
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2. Propagación de Daño
•Dos réplicas  y  de un modelo estocástico que evolucionan
simultáneamente. Inicialmente  = .
•Se aplica una perturbación a  (se modifica el estado de un número
pequeño de sitios).
• y  evolucionan temporalmente con idénticas realizaciones de
ruido térmico (mismos números aleatorios).
•Para determinar el número de sitios en estados diferentes, se utiliza
la ``distancia de Hamming'' o Daño, definida como:
donde <…> corresponde al promedio sobre historias térmicas y [..]av es el
promedio sobre realizaciones del desorden. La sumatoria se realiza sobre el
número total de sitios N=L3, rotulados por i (1 i  N).
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 Si D(t) valor no nulo, EL DAÑO SE PROPAGA, y el sistema es
sensible a las condiciones iniciales.
 Si D(t) 0, EL DAÑO SE CURA, y la perturbación es irrelevante.
Transición de Fase de Daño en Td: irreversible de Segundo Orden.
El Diagrama de Fase depende de las reglas dinámica (Metrópolis,
Baño Térmico, etc.)
magnetización
1
Fase
paramagnética
1
Spin-orienting
(Baño Térmico)
Spin-flipping
(Metrópolis)
Daño
Modelo de Ising 3D
Fase
ferromagnética
temperatura Tc
0
Td ≈ Tc
temperatura
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3. Propagación de Daño en el EA
En 1987, Derrida y Weisbuch [2] estudiaron la propagación de Daño con
dinámica de Baño Térmico en el EA en 3D. Encontraron tres regímenes
de temperatura:
(i) un régimen de alta temperatura T>T1≈ 4.1,donde el daño es cero.
(ii) un régimen intermedio T2≈1.8<T<T1, donde D≠0 e independiente de la
condición inicial.
(iii) un régimen de baja temperatura T<T2 donde el daño depende de la
condición inicial.
■ L=12
□ L=8
Asociaron T1=Tc y T2=Tg, sin
razón a priori para esperar un
orden ferromagnético en las
propiedades dinámicas de
este modelo.
▲D(0)=1
■ D(0)=1/2
♦ D(0)=1/N
[2] Derrida, B. and Weisbuch, G. Europhys. Lett. 4, 657 (1987).
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Escenario esperado I:
Metrópolis (spin-fliping)
Cuando T<Tg (<Td)
Spines solidarios → orden ferromagnético
D →0
Spines no-solidarios → orden
paramagnético
D ≠ 0 en una región finita del sistema
Cuando T>Tg
Isla mayor de SS → orden paramagnético
D ≠ 0 en el sistema
Escenario esperado II:
Baño Térmico (spin-orienting)
Cuando T>Tc
Cuando Tg < T < Tc
Daño
1
0
Spin-orienting
(Baño Térmico)
Spin-flipping
(Metrópolis)
Todo el sistema es paramagnético
D →0
Isla mayor de SS → orden
paramagnético pero existen islas
SS con orden ferro
Daño sólo se propaga en las islas
de spines solidarios
Distribución islas, según power-law
Td ≈ Tc
temperatura
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4. Resultados
Se realizaron simulaciones MC en redes
L3,
con L=8
Separación S – NS
sobre 1000 muestras
Se compararon los resultados con redes de tamaños mayores (L=20).
En todos los casos D(t=0)=1/L3.
Se midió el daño total D, y el daño restringido a las spines solidarios Ds y no
solidarios Dns (cambia la normalización por Ns y Nns)
D(0) un spin random.
Se mide Daño en spines S
D(0) un spin S.
Se mide Daño en spines S
D(0) un spin random
Se mide Daño en spines NS
D(0) un spin NS.
Se mide Daño en spines NS
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spin-fliping, T=0.6<Tg
spin-orienting, T=2.5<Td
Daño en función de la Temperatura
■ L=12 ▲D(0)=1
□ L=8 ■ D(0)=1/2
♦ D(0)=1/N
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Se puede cuantificar este comportamiento, definiendo las distancias
normalizadas:
dso≠0, para T<Td
dsf≠0, para T<Tg
Relación entre el
Daño y el carácter
ferromagnético de los
spines solidarios
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5. Conclusiones
La temperatura crítica de la Transición de Daño depende de las reglas
dinámicas, a diferencia de lo que ocurre en el Modelo de Ising.
 Con dinámica SF se tiene que dsf≠0 (DnsNS>D), para T<Tg→ orden
ferromagnético en el backbone.
 Con dinámica SO se tiene que dso≠0 (DnsNS<D), para T<Td → diferencia en el
carácter de los spines solidarios y no solidarios.
La técnica de Propagación de Daño aporta una nueva prueba a la idea de
que existe un orden ferromagnético creciente en la fase vítrea del modelo 3D
±J EA de vidrios de spin, en acuerdo con los estudios topológicos.
T<Tg: existe un orden ferromagnético sostenido por los spines
solidarios.
Tg<T<Tc: la isla mayor de los SS se hace paramagnética, pero
existen islas de spines solidarios con orden ferromagnético (frustrado).
T>Tc: todo el sistema es paramagnético.
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Muchas Gracias
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Dependencia del Daño con las reglas dinámicas SO vs SF
A T=∞
Spin orienting
Spin fliping
Sean dos réplicas S y S´
Un daño inicial (0)=-(0)´
Con SO se cura
Con SF se mantiene