Download x = 1 a 1 + 2 a 2 +…

Algebra Lineal y
Geometría Analítica
Conferencia 4
Espacios Vectoriales
1
Sumario
Definición de espacio vectorial real.
 Definición de subespacio vectorial.
 Sistemas de vectores. Combinación
lineal.
 Producto escalar entre vectores de
n. Ortogonalidad de vectores.
 Norma de un vector de n.

2
Objetivos
Conocer e interpretar los conceptos de:
espacio vectorial sobre , subespacio
vectorial y combinación lineal de
vectores.
 Identificar cuando estamos en
presencia de un sistema de vectores.
 Conocer los conceptos de: producto
escalar, ortogonalidad y norma de un
vector de n.

3
Definición de Espacio Vectorial
Sea E un conjunto no vacío, con las
operaciones adición y multiplicación por
un número real,
tales que cualesquiera sean x, y de E,
la suma x + y E y
para todo  número real, el producto
x  E,
entonces E es un espacio vectorial real
si:
4
Definición de Espacio Vectorial








E1. x+ y= y+ x cualesquiera sean x, y de E
E2. (x+ y)+ z= x+(y+ z) cualesquiera sean x, y, z de E
E3. Existe un elemento 0 en E tal que: x+0=x para
cualquier x  E
E4. Para todo elemento x E existe un elemento x’ E
(opuesto de x) tal que: x + x’=0.
E5. 1 x=x
E6. (x) = ()x para cualesquiera ,  números reales
y x E
E7. (+ )x = x+ x para cualesquiera sean ,  números
reales y x  E
E8. (x+y) = x+ y para cualesquiera sean x, y  E y 
número real.
5
Ejemplo 1
Son espacios vectoriales reales o espacios los conjuntos 2 y 3,
en general,
los conjuntos n de todas las n-nuplas con
las operaciones de suma y de producto de un
número real.
6
Ejemplo 2
Sea Pn[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes
reales en x de grado menor o igual que n.
Si p(x) y q(x) son los polinomios
p(x) = a0+a1x+a2x2+…+ anxn
q(x) = b0+b1x+b2x2+…+ bnxn
El polinomio suma es,
p(x)+ q(x) = (a0+ b0 ) + (a1 + b1 )x+ (a2 + b2 ) x2+…+ (an + bn ) xn
Y el producto de un número real α por un polinomio p(x) es,
α p(x) = α a0+ (α a1 )x+(α a2 )x2+…+ (α an )xn
Ejercicio Propuesto: Comprobar que se cumplen los
axiomas E1, E2, .., E8 de la definición 1.1
7
Ejemplo 3
Sea F ([a, b]) el conjunto de funciones reales definidas
en el intervalo [a, b]. Si f(x) y g(x) son dos funciones
de F ([a, b]) y α es un número real,
(f+ g)(x) = f(x) + g(x), para todo x que pertenece a
[a, b],
(αf)(x) = αf(x), para todo x que pertenece a [a, b].
Con estas operaciones F ([a, b]) es un espacio vectorial
real, cuyo vector nulo es la función idénticamente nula:
 O(x)= 0, para todo x que pertenece a [a, b].
El vector opuesto de f es la función –f definida como:
 (-f)(x) = -f(x), para todo x que pertenece a [a, b].
8
Propiedades
en los Espacios Vectoriales
El elemento nulo de un espacio vectorial es único
 Para cada elemento de un espacio vectorial existe un
opuesto.
(Reglas de productos nulos)
Para cualquier x elemento de un espacio vectorial real y α
un escalar se cumple que:
a)0. x = 0; b) α. O= O; c) Si α.x =0  α=0 ó x=0
(Reglas de simplificación)
Para cualquier x, y elemento de un espacio vectorial real
y a y b dos escalares, se cumple que:
Si ax = bx y x≠ O, se cumple que a = b.
Si ax = ay y a≠ 0, se cumple que x = y
9

Subespacio Vectorial
Un subconjunto F no vacío de un
espacio vectorial E
es un subespacio vectorial de E
si F es un espacio vectorial con las
operaciones de adición de vectores y
producto de un vector por un número
real definidas en E y restringidas a F
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Caracterización 1
Subespacio vectorial
Sea F un subconjunto de un espacio
vectorial E. Entonces F es un subespacio
vectorial de E si, y sólo si, se cumplen las
condiciones siguientes:
 F contiene al vector nulo de E
 Si x e y están en F, entonces x + y está
en F
 Si x está en F y a es un escalar, entonces
ax está en F
11
Ejemplo
En 3 se considera el subconjunto
F = {(x1, x2, x3)  3: x3= 0}.
Comprobar que es un subespacio
vectorial
12
Caracterización 2
Subespacio vectorial
Una condición necesaria y suficiente
para que un subconjunto F no vacío
de un espacio vectorial E sea un
subespacio vectorial de E es que
cualesquiera sean x e y vectores de F,
1 y 2 números reales se cumpla
que:
1x + 2y  F
13
Ejemplo
Probar que T es un subespacio
vectorial de P2[x],
T= {a+bx+cx2  P2[x] : a +2b –c = 0}
14
Sistema de vectores
Es todo conjunto ordenado de vectores de un
mismo espacio vectorial.
Ejemplos:
Son sistemas de vectores los siguientes:
A= {(1,-1) ;(2,3); (4,-2)} 2 y
B = {(1,0) ;(0, 1)} 2
No es un sistema de vectores,
D = {(1, 0, 0) ;(1, -1)}
15
Sistema de vectores
Todo sistema de vectores que contenga solo
un vector se llama sistema unitario.
Ejemplo: C = {(1, 0, 2, 4,5)} 5
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Combinación lineal
Un vector x de un espacio vectorial
E es combinación lineal de un
sistema de vectores
A ={a1, a2 , … , an} si existen
números reales 1, 2, …, n tales
que:
x = 1a1 + 2a2 +… + nan
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Ejemplo
El vector (1, 8) de 2 es combinación lineal
de los vectores {(1,2) ;(1,-1)} 2, pues
existen números reales 1, 2 tales que:
(1, 8)= 1(1,2)+ 2(1, -1)
1+ 2=1
2 1- 2=8
de donde 2= -2 y 1= 3
Se verifica entonces que:
(1, 8)= 1(1,2)+ 2(1, -1)
= 3 (1,2)+ (-2)(1, -1)
= (3,6)+ (-2, 2)
18
Ejemplo
Comprobar si los vectores
u = (4, -2, 5) y v = (1, -1, -1) de
combinación lineal de los vectores
x1 = (1, -1, 2) y x2 = (2, 0, 1)
3
son
19
Ejemplo
Comprobemos primero si u es combinación lineal
de los vectores dados, se debe analizar si existen
números reales 1, 2 tales que:
u= 1 x1 + 2 x2, o sea, (4, -2, 5)= 1 (1, -1, 2)+
2 (2, 0, 1)
Entonces
Este sistema tiene como solución 1 = 2 y 2=1,
por tanto u es combinación lineal de los vectores
x1 = (1, -1, 2) y x2 = (2, 0, 1)
20
Ejemplo
Si v es combinación lineal de los vectores dados, se
debe analizar si existen números reales 1, 2 tales
que: v= 1 x1 + 2 x2, o sea,
(1, -1, -1) = 1 (1, -1, 2) + 2 (2, 0, 1)
Entonces,
Este sistema no tiene solución, es incompatible, por
tanto v no es combinación lineal de los vectores
x1 = (1, -1, 2) y x2 = (2, 0, 1)
21
Vectores canónicos
El sistema de los vectores canónicos
de 2 es {(1,0), (0,1)}
Cualquier vector (a; b) se puede
expresar como combinación lineal de
los vectores canónicos de 2, pues,
(a, b) = 1(1,0)+ 2(0, 1),
1 = a, 2 = b
Se observa que los coeficientes de la
combinación lineal coinciden con las
22
mismas componentes del vector.
Definición producto escalar
Se llama producto escalar a una
función real, definida en EE, tal que
si x, y, z son vectores de E y  es un
número real, verifica:
P1. x. y = y. x
P2 (x). y = (x. y)
P3 (x+ y). z = x. z + y. z
P4 x. x 0; x. x = 0 si y solo si, x=0
23
Espacio vectorial euclídeo
Un espacio vectorial euclídeo es
un par (E, b)
E es un -espacio vectorial
y b un producto escalar sobre E.
24
Producto escalar
en los espacios vectoriales n
El producto escalar de dos vectores
x= (x1, x2,…, xn) e y = (y1, y2,…, yn) es
por definición:
x. y = x1 y1 + x2y2 +…+ xn yn
Ejemplo:
x= (-1, 1,3, -5);y = (-2,-1,-1, 0) de
4
x. y=-1(-2) +1(-1)+3.(-1)+(-5)0= -2
25
Vectores ortogonales
Dado un espacio E con producto
escalar, se dice que los vectores
x e y son ortogonales si y solo si,
x. y = 0
Nota:
 Se puede afirmar que x e y son
ortogonales sin tener que decir el
orden.
 0 es el único vector ortogonal a
todos los vectores del espacio.
26
Sistema de vectores ortogonal
Un sistema de vectores S es ortogonal
si y solo si
x. y = 0 para todo x ≠ y de S.
Se asume que el sistema formado por
un solo vector es ortogonal.
Ejemplo:
Los vectores x= (1, 1,1) e y =(2,-1,-1)
de 3 con el producto escalar
canónico son ortogonales ya que,
x. y = 1.2+1(-1)+1.(-1)= 0
27
Definición norma de un
vector
Sea V un espacio vectorial euclídeo.
Se denomina norma del vector x ∈ E
al número real positivo
 x =
, que tiene sentido ya que x. x ≥ 0
para todo x ∈ E
28
Sistema de vectores ortonormal
Dado un espacio E con producto
escalar, se dice que un sistema de
vectores S es ortonormal si y solo si
S es un sistema ortogonal y
|| x ||= 1 para todo x de S.
Los vectores de norma 1 se llaman
unitarios.
29
Vectores Unitarios
A partir de todo vector no nulo, se
puede encontrar un múltiplo
unitario del mismo, el vector
30
Estudio independiente

Estudie los ejercicios resueltos
2, 3, 5, 6, 7 Pág. 226

Resuelva de los ejercicios propuestos:
2 a y b, 6 A y B, 8 a y b
Pág. 232 y 233
Completar el estudio de los elementos
del espacio vectorial Rn por el libro de
texto
31