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Unidad 2:
“CIRCUITOS DE
CORRIENTE
ALTERNA (CA)”
Respuestas de circuitos a
señales forzantes
sinusoidales
Respuesta de estado estable de un circuito RL a
una función forzante sinusoidal
Sea un circuito como el siguiente:
L
  2 f
i
Vf
v f  Vm cos t
R
f  1T
f : frecuencia de V f
;
T : periodo de V f
Se desea determinar sólo la respuesta forzada
o de estado estable (obtenida a largo plazo).
Respuesta de estado estable de un circuito RL a
una función forzante sinusoidal
La ecuación que caracteriza al circuito es:
di
L  R i  Vm cos t
dt
Se sabe que la solución particular o forzada tendrá la forma:
i fo  A cos t  B sen t
Resolviendo para el sistema, se tiene finalmente:
Z  R 2   2 L2
V

i fo  m cos (t   ); con 
-1  L


tg
Z

R

Vm

Z
Magnitud
Fase
Respuesta de estado estable de un circuito RL a
una función forzante sinusoidal
Por lo tanto:
V

I m  m
i fo  I m cos (t   ); con 
Z

   
En consecuencia:
v f  Vm cos t
Vm
i fo 
cos (t   )
Z
En general, la corriente tendrá magnitud y fase
distinta de la fuente de voltaje original
El concepto de fasor
En un circuito de CA, una corriente o un voltaje
sinusoidal, a una frecuencia  dada, se caracterizan por
su amplitud y ángulo de fase. Por lo tanto, una
corriente dada por:
i  I m cos (t   )
podría también ser representada en la forma:
I  I m 
I : fasor
Esta forma de escribir la corriente se conoce como
representación fasorial.
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
La representación permite convertir una
ecuación diferencial en una ecuación algebraica
Ahora se verá cómo están relacionadas fasorialmente la
corriente y la tensión en circuitos con componentes R-L-C.
Resistor
En una rama resistiva como la de la figura:
+
v
-
vRi
i
R
+
V
-
I
R
V RI
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Resistor (cont.)
Gráficamente:
Se comprueba
V RI
V
I
que:
Por lo tanto, la corriente y la tensión están en fase en una
resistencia.
10
8
6
Ejemplo:
Así:
4
v  10 cos 10 t
R  2

V  10 0 º
R  2 0 º
2
0
-2
-4
-6
V
I
-8
-10
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo [s]
V 10 0 º
I 
 50 º  i  5 cos 10t
2 0 º
2
7
8
9
10
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Inductancia
Considerando el inductor de la siguiente figura:
+
vL
-
di
dt
i
L
V
Gráfica
fasorial
10
V
I
5
0
-5
I
Para v f  Vm cos ( t   ) , se verifica:
-10
0
2
4
6
8
10
Tiempo [s]
V  j L I
Teniendo en cuenta que j=e j90º, “en un inductor, el
voltaje adelanta a la corriente en exactamente 90º ”.
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Capacitancia
Considerando el condensador de la siguiente figura:
I
Gráfica
fasorial
+
v
dv
iC
dt
C
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-
V
V
I
-8
-10
0
2
4
6
Tiempo [s]
En este caso se tendrá:
I  j C V
“En un condensador, la corriente adelanta al
voltaje en exactamente 90º ”.
8
10
Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C
Resumen
Elemento Dominio del Tiempo
Frecuencia
Resistor
Inductor
Condensador
Dominio de la
vRi
V RI
di
vL
dt
dv
iC
dt
V  j L I
V
I
j C
Uso de la Transformada
de Laplace en el análisis
de circuitos.
Motivación para usar la Transf. de Laplace (TL)
 La solución de la ecuación homogenea y particular se
obtiene en una sola operación.
 La Transformada de Laplace (TL) convierte una
ecuación diferencial en una ecuación algebraica en
“s”, la que se puede resolver mediante reglas
algebraicas simples basadas en raíces de polinomios.
La solución se obtiene mediante la Transformada
Inversa de Laplace (TIL).
Definición
Dada una función real f(t) que satisface la condición:


0
f (t ) e t dt  
para un valor real finito de , la TL de f(t) se define como:
F ( s) 
y se escribe como:
con s =  + j .


0
f (t ) e s t dt
F(s) = TL de f(t) = L[f(t)]
Teoremas importantes
1) Multiplicación por una constante
Sea k una constante y F(s) la TL de f (t), entonces:
L [ k f (t) ] = k F (s)
2) Suma y Resta
LA TL
ES UNA
OPERACIÓN
LINEAL
Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente,
entonces:
L [ f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s)
Teoremas importantes
3) Derivada:
Sea F(s) la TL de f (t), y f (0) el límite de f (t) cuando t
tiende a 0. La TL de la derivada con respecto al tiempo
de f (t) es:
 d f (t ) 
 s F ( s )  lím f (t )  s F ( s )  f (0)
L

t 0
 dt 
y, para derivadas de orden superior:
n 1
 d n f (t )  n
 n 1
df
(
t
)
d
f (t ) 
n 2
L  n   s F ( s)  lím s f (t )  s


n 1
t 0
dt
dt
dt




 s n F ( s)  s n 1 f (0)  s n 1 f (1) (0)    f ( n 1) (0)
Teoremas importantes
4) Integración
La TL de la integral de f (t) respecto del tiempo es la
transformada de f (t), F(s), dividida por “s”, es decir:
F
(
s
)


L
 0 f   d   s
t
Para integración de orden ¨n¨:
L
 0
t1 t 2

0

tn
0
F (s)

f   d dt1 dt2  dtn1  n
 s
Teoremas importantes
5) Traslación en el tiempo
La TL de la función f (t) retrasada un tiempo T, es decir:
f(t-T), es igual a la transformada de f (t) multiplicada por
e-sT; esto es:
L
 f t  T  us (t  T )  e
 sT
F ( s)
en donde us(t-T) denota la función escalón unitaria aplicada
en el tiempo T (desplazada T unidades de tiempo a la
derecha).
Teoremas importantes
6) Teorema del Valor Inicial
Si la TL de la función f (t) es F(s), entonces se cumple:
lím f t   lím s F ( s )
t 0
s 
7) Teorema del Valor Final
Si la TL de la función f (t) es F(s), y si sF(s) es analítica
sobre el semiplano derecho del plano ¨s¨ (incluido el eje
imaginario), al que llamaremos SPD, entonces:
lím f t   lím s F ( s)
t 
s 0
Teoremas importantes
El Teorema del Valor Final es muy útil porque permite saber
cuál será el valor final al que tenderá una función a partir de
conocer el comportamiento inicial de su TL (no es válido
cuando sF(s) tiene un polo con parte real cero o positiva)
Ejemplo:
Sea la siguiente función (cumple con s F(s) analítica en SPD):
5
F (s) 
s ( s 2  s  2)

5

 5
lím f t   lím s F ( s )  lím  2

t 
s 0
s 0 s  s  2 

 2
Teoremas importantes
8) Teorema de la Traslación Compleja
La TL de la función f (t) multiplicada por e t, donde  es
una constante, es igual a la TL F(s), con “s” remplazada
por s, es decir:


L e  t f (t )  F ( s   )
Teoremas importantes
9) Convolución real (multiplicación compleja)
Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente y,
además, se cumple que f1(t) = f2(t) = 0 para t<0, entonces:
F1(s) F2(s) = L [ f1(t) * f2(t)] =
t
t



L  f1   f 2 (t   )d  L  f 2   f1 (t   )d 
 0

 0

El símbolo “*” denota el producto de convolución en el
dominio del tiempo.
Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales
El procedimiento a emplear es el siguiente:
1. Transformar la EDO al dominio de “s” mediante la
TL, utilizando la Tabla de Transformadas.
2. Manipular las ecuaciones algebraicas transformadas y
resolverlas para la variable de salida.
3. Realizar la expansión en fracciones parciales de la
ecuación algebraica transformada.
4. Obtener la TIL utilizando la Tabla de Transformadas.
Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales
Ejemplo:
Sea la EDO
 y (0)  1
d y (t )
d y (t )


3

2
y
(
t
)

5
u
(
t
)
con
 y (0)  d y (t )  2
2
dt
dt

dt t 0

2
donde u(t)=1(t) (escalón unitario).
Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales
Ejemplo (continuación):
Aplicando TL a ambos miembros de la EDO se tiene:
s 2Y ( s)  s y(0)  y (0)  3 s Y ( s)  3 y(0)  2 Y ( s)  5
s
Sustituyendo las CI y resolviendo para Y(s), resulta:
 s2  s  5
 s2  s  5
5
5
3
Y ( s) 




s ( s 2  3 s  2) s ( s  1) ( s  2) 2 s s  1 2 ( s  2)
Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales
Ejemplo (continuación):
Tomando TIL se obtiene finalmente:
y (t ) 
5
2
 5 e t 
Solución estable (particular)
3 2t
e
2
(para t  0)
Solución transitoria (homogénea)
Para encontrar la solución en estado estable, se puede
aplicar el Teorema del Valor Final, es decir:
 s2  s  5
5
y  lím y (t )  lím s Y ( s)  lím

t 
s 0
s 0 ( s  1) ( s  2)
2
FIN
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