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Triángulos II
Prof. Isaías Correa M.
Aprendizajes esperados:
• Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas
de Pitágoras y Euclides.
• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de
los triángulos en la resolución de ejercicios.
• Calcular áreas y perímetros de triángulos.
Contenidos
1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos
1.1 Teorema de Pitágoras
1.2 Teorema de Euclides
2. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
2.1 Triángulo de ángulos interiores iguales a:
30°, 60° y 90°
2.2 Triángulo rectángulo isósceles
2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
3. Triángulo equilátero
3.1 Definición
3.2 Propiedades
4. Triángulos isósceles
4.1 Definición
4.2 Propiedades
1. Teoremas
válidos para
Triángulos rectángulos
Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:
cateto
El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado
“HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.
cateto
1.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados
de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.
(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2
ó
a2 + b2 = c2
Ejemplo:
De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide
152 + (QR)2 = 252
(Aplicando teorema de Pitágoras)
225 + (QR)2 = 625
(Desarrollando)
(QR)2 = 625 - 225
(Despejando (QR)2 )
(QR)2 = 400
(Restando)
QR = 20
(Aplicando raíz)
• Números pitagóricos:
Son aquellos tríos de números que cumplen el
teorema de Pitágoras.
Los más utilizados son:
3, 4 y 5
5, 12 y 13
Estos tríos, además de satisfacer el teorema de
Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos,
que corresponden a todos los tríos proporcionales a
ellos. Por ejemplo:
3, 4 y 5
5, 12 y 13
6, 8 y 10
10, 24 y 26
9, 12 y 15
15, 36 y 39
20, 48 y 52
12, 16 y 20
. . . .
. . . .
Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5,
satisfacen el Teorema de Pitágoras.
32 + 4 2 = 52
62 + 82 = (10)2
92 + 122 = (15)2
Consideremos los siguientes casos:
1. Cuando un cateto es el doble del otro
Ejemplo:
2. Cuando un cateto es el triple del otro
Ejemplo:
1.2 Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la
altura sobre la hipotenusa, entonces:
hc2 = p∙q
a2 = c ∙ q
b2 = c ∙p
Además, se cumple que:
hc = a·b
c
Ejemplo:
De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Aplicando Teorema de Euclides:
CD2 = AD∙ DB
(Reemplazando)
CD2 = 4∙3
(Aplicando raíz)
CD =
4 ∙3
CD =
2 3
Además, por Euclides se cumple que:
AC2 = AB ∙ AD
(Reemplazando)
AC2 = 7∙ 4
(Aplicando raíz)
AC = 2 7
2 7
2 3
2. Relaciones Métricas
en el
triángulo rectángulo
2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90°
En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de
30° y 60° se cumple que:
Ejemplo:
Determinar el área del triángulo ABC de la figura.
5
30°
5 3
 BAC = 30° 
CB = 5
y
El área del triángulo ABC es:
Área = 5 ∙5 3
2
= 25 3
2
AB = 5 3
Los triángulos con ángulos interiores de 30°,
60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un
triángulo equilátero.
2.2 Triángulo rectángulo isósceles
En el triángulo rectángulo
isósceles de lado “a” de la
figura, se cumple que:
C
Ejemplo:
A
En la figura, determinar la
medida del lado BC (hipotenusa).
C
Solución:
 CBA = 45°  AC = 4 y
 BC = 4 2
B
4 2
4
45°
A
B
2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
Si M es punto medio de AB, entonces:
tc : transversal
AM = MB = CM
Ejemplo:
Si en la figura, CD es transversal de gravedad,
determine el  DCB.
40°
40°
Solución:
Completando los ángulos,  CBA = 40°
Si CD es transversal de gravedad,
 D es punto medio
 AD = DB = CD
 El triángulo CDB es isósceles de base BC
  CBA =  DCB
Por lo tanto,  DCB = 40°
3. Triángulo Equilátero
3.1 Definición
Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y ángulos
iguales.
AB = BC = CA
3.2 Propiedades
• Las alturas, transversales, bisectrices y
simetrales, son iguales.
ha = hb= hc
ta = tb= tc
ba = bb= bc
Sa = Sb= Sc
Además:
ha = ta= ba = Sa
hb = tb= bb = Sb
hc = tc= bc = Sc
Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro
y circuncentro coinciden.
• Área y altura de un triángulo equilátero:
Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces
su área y altura se expresan como:
A = a2 3
4
h=a 3
2
Ejemplo:
Determine el área de un triángulo equilátero, cuya
altura mide 3 3.
Para determinar el área, basta conocer el lado del
triángulo.
A partir de la altura determinaremos el lado.
Sea x la medida del lado, entonces:
h=x 3
2
3 3=x 3
2
3=x
2
6=x
Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:
A = 62 3  A = 36 3  A = 9 3 cm2
4
4
• Relación entre el triángulo equilátero
y la circunferencia circunscrita:
h=r+r
2
 h = 3r
2
• Relación entre el triángulo equilátero
y la circunferencia inscrita:
h = 3r
4. Triángulo Isósceles
4.1 Definición
Es aquel que tiene dos lados iguales y una “base”.
Los ángulos basales son iguales.
4.2 Propiedades
La altura, transversal, bisectriz y simetral que caen en
la base, coinciden.
Ejemplo:
En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto
medio de AC. Determine la medida del ángulo x.
Si el triángulo es isósceles en
B, entonces la base es AC.
90°
= 50°
40°
Si D: punto medio, entonces BD es transversal.
 BD es altura, bisectriz y simetral.
 DBA = 40°
 x= 50°
y
ADB = 90°