Download Ejercicios sobre semejanza de triángulos

En la figura, ACB=EDB.
a) Prueba que ΔABC  ΔEDB
b) Si AC=10 cm , AB=24 cm y
EB=15 cm, calcula la longitud de ED
C
E
.
B
D
A
Tiempo para
copiar
En la figura, ACB=EDB.
a) Prueba que ΔABC  ΔEDB
C
E
B
.
D
En los triángulos ABC y EDB
A
ΔABC  ΔEDB
ACB=EDB
Tienen dos ángulos
(dato)
respectivamente
B (común)
iguales (a,a)
C
ΔABC  ΔEDB
E
B
?
D
A
5
15·10
ED =
24
8
ED = 0,625·10
AC
CB
AB
=
=
EB
ED
DB
Lados proporcionales
24
10
CB
=
=
15
ED
DB
ED = 6,25 cm
.
Estudio independiente
En la figura, AC bisectriz del DAB.
ΔACB rectángulo en C y DE CB.
A
a) Demuestra que
ΔABC  ΔADE
b) Prueba que
BC·AE=DE·AC D
Tiempo para copiar
.
E
C
B
En la figura, ABCD es un rectángulo
y DB es una diagonal con CE  DB.
a) Prueba que ΔABDΔCBE.
b) Si EC=12 cm y EB=5,0 cm ,
calcula el área del rectángulo.
C
D
Tiempo
para
copiar
.
E
A
B
C
a) ΔABD D
rectángulo
.
en A
(ABCD
E
rectángulo)
A
B
ΔCBE
ADB=EBC
rectángulo
(alternos entre los
en E
(CE  DB dato) segmentos BC AD
del rectángulo y la
diagonal
DB)
DAB=CEB
Tienen dos ángulos
respectivamente
ΔABDΔCBE
iguales (a,a)
En la figura
A, B, C y D son
puntos de la
A
circunferencia
de centro O .
DB es diámetro
y AC  BE .
B
E ·O
D
a) Demuestra que ΔBCD  ΔABE
b) Demuestra que AB·BC = BD·BE
Tiempo para copiar
C
.
ΔBDC
B
rectángulo en C
(BCD inscrito
sobre el diámetro) A
C
E ·O
ΔAEB
rectángulo en E
(dato AC  BE )
A =D
.
D
(inscritos sobre
el mismo arco BC) Triángulos
rectángulos
ΔBDC  ΔAEB con un ángulo
agudo igual.
ΔBDC  ΔAEB
BD BC DC
=
=
BE AE
AB
B
A
E ·O
C
(lados proporcionales)
entonces:
.
AB·BC = BD·BE
D
ESTUDIO
Demuestra
que:INDIVIDUAL
Comprueba
que el perímetro
AB·BC =
del
círculo mide 173,45 cm si:
BD·BE
AB=29 cm, AE=20 cm y BC=40 cm
Teorema de la bisectriz
La bisectriz de un ángulo en un
triángulo cualquiera, divide al lado
opuesto en dos segmentos
proporcionales a los otros dos
lados del triángulo.
.
C
CP bisectriz
B
del BCA
b
P
m a
=
n
b
A
CP bisectriz del BCA
C
b
Q
4
.
AQ PC
1
B
CQ prolon2
m P
b
gación de BC
1=2 (bisectriz)
3
n
2=3 (alternos entre
A
AQ PC)
4=1 (corresp. entre
a
m
AQ PC)
=
b
n
4=3 (propiedad
transitiva)
Teorema
isósceles
de
las
ΔAQC de base AQ
transversales
Estudio individual
En el triángulo ABC, CP es la
bisectriz del C .
C
.
A
6,0 P x B
cm
Comprueba que AB=10 cm
Ejercicio 1
ABCD es un rectángulo de área
A = 9,6 dm2. E y F son puntos
medios de los lados DC y DA
respectivamente.
a) Prueba que ABD ~ DFE.
b) Halla el área del DFE.
D
E
C
F
A
B
Solución del ejercicio 1
En los triángulos DFE y ABD tenemos:
1
DE
DF
D
=
=
2
DC
DA
F
BAD = EDF
B
A
(justificar)
Entonces, ABD ~ DFE por
tener dos lados respectivamente
proporcionales e igual el ángulo
comprendido entre ellos.
E
C
Solución del ejercicio 1
E
1
DE
DF
=
=
2
DC
DA
F
2
A
=
Y
=
9,6
dm
ABCD
A
B
1
AABD = Y
2
1
1
2
2
AEDF = k AABD = ( )
Y
2 2
1
2

9,6
dm
=2
2
AEDF =1,2 dm
D
C
En el ABC, CD es la
bisectriz del BCA. C
BCA = BDE y el
AED es isósceles
de base AE.
A
D
Prueba que:
a) ABC  EBD.
E
b)BD es bisectriz del EBC.
AADC AD
c)
=
ADBC DB
B
C
BCA = BDE (1)
(por dato)
AC
CB
=
AD
A
DB
D
B
E
(por ser CD bisectriz del BCA)
AD = DE ( AED isósceles de base AE)
entonces,
AC
CB
=
DE
DB

AC
DE
=
CB
DB
(2)
C
BCA = BDE (1)
A
D
B
E
Entonces, ABC  EBD por tener
dos lados respectivamente proporcionales e igual el ángulo
CB
ACcompren(2)
=
dido entre ellos.
DE DB
D
En la figura:
ABCD es un cuadrado
de 10 cm de lado y E
es el punto medio del
A
lado BC. AFDE .
a) Prueba que
ABE = DEC
b) Prueba que
ADF ~ DEC
c) Calcula el área del
AFE
F
C
E
B
.
10
a) ΔDEC rectángulo
C
D
en C
F 25
5
ΔABE rectángulo
en B
E
(ABCD cuadrado)
5
25
DCE=ABE=90o
B
A
.
CE=EB (E punto medio de BC)
AB=DC (ABCD cuadrado)
(tienen resp.
ΔDEC=ΔABE
iguales
dos
lados
y
DC·CE
10·5
A = 2 = 2 =25 cm2 el ángulo
ΔDEC
comprendido)
10
b) ΔDEC rectángulo D
C
en C
F 25
5
(ABCD cuadrado)
A
10
E
ΔDAF rectángulo
.
en F
(dato AF  DE )
B
A
DCE=DFA=90o
ΔDAF  ΔDEC
ADF=DEC (tienen dos ángulos
(alternos entre
iguales resp.)(a,a)
AD BC
AD
10
?
del cuadrado)
K=
=
DE DE
c)
ΔDAF  ΔDEC
2
2
2
DE =DC +CE
D
10
C
F 25
5
E
A
10
Teorema de Pitágoras
2
2
DE=10 + 5 =100+25
B
A
2
3
.
=125 = 5 =5 ·5
DE =55
2? 5 25
AD 10
K=
=
· =
=
5
DE 5DE
5 5 5
25
K= 5
2
A =K · A
DAF
DEC
K0,896 K1
Estudio individual
En el dibujo:
.
CA es bisectriz del DCB
ΔABC y ΔDEC isósceles
C
de bases AB y DE
respectivamente.
DC=6,0 cm
D
AE=2,0 cm
2
A =16 cm
ΔABC
E
Calcula el área
A
B
del ΔDEC .
10
C
ΔDAF  ΔDEC
F 25
5
2
20
A
10
A =K · A
E
30
DAF
DEC
.
25
2
B
A
25 ·25
A = 5
2
2
=10
=AD
A
DAF
ABCD
4·5
2
= 25 ·25
A =100 cm
ABCD
2
20
cm
A 2=5
2
30 cm
A
=
K=DAF
5
AFE
c)
D
D
20
10
Otra vía para
calcular el área
del ΔAFE.
A
10
F
30
50
C
E
B
.
Demostrar que:
"Si AB y CD son dos rectas
secantes a una circunferencia
desde un punto exterior E,
entonces EB  EA = EC  ED“.
(A, B, C y D son puntos de la
D
circunferencia)
C
E
O
B
A
Demostración
D
C
E
O
Trazamos las
cuerdas AC y
DB.
B
En
los
triángulos
EDB
A
y ECA tenemos:
E es común.
EAC =EDB por inscritos sobre el
mismo arco BC.
Demostración
D
C
E
O
B
A
Luego:
E es común.
EAC =EDB
Entonces:
EDB  ECA
(Por tener dos ángulos
respectivamente iguales)
EB ED BD
=
=
EC EA CA
(Proporcionalidad entre los lados
homólogos en triángulos semejantes)
Demostración
D
C
E
O
B
A
EB ED BD
=
=
EC EA CA
Y aplicando la propiedad fundamental
de las proporciones se tiene:
EB  EA = EC  ED (que es lo que se
quería demostrar)
Demostrar que:
"Si la recta AB es secante y EC
tangente a una circunferencia
desde un punto exterior E,
2
entonces EB  EA = EC ".
(A, B y C son puntos de la
circunferencia)
C
E

O
B
A
Demostrar que:
"Si AB y CD son dos cuerdas que
se cortan en un punto E exterior a
una circunferencia, entonces
EB  EA = EC  ED".
(A, B, C y D son puntos de la
circunferencia)
D
B
O
E
A
C
Demostración
D
B
O
A
E
Trazamos las
cuerdas AC y
BD.
En los triángulos ACE
C y BDE tenemos:
CEA =DEB (opuestos por el vértice)
EAC =BDE por inscritos sobre el
mismo arco BC.
Demostración
D
B
O
E
CEA =DEB
EAC =BDE
Entonces:
BDE  ACE
(Por
tener
dos
ángulos
C
respectivamente iguales)
A
Luego:
EB ED BD
=
=
EC EA CA
(Proporcionalidad entre los lados
homólogos en triángulos semejantes)
Demostración
D
B
O
E
C
EB ED BD
=
=
EC EA CA
A
Y aplicando la propiedad fundamental
de las proporciones se tiene:
EB  EA = EC  ED (que es lo que se
quería demostrar)