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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1 – Clasificación de los números reales
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales
no periódicos  , 2 , 7 ,...
3
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1 – Clasificación de los números reales
Matemáticas
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4º ESO 4º
y 1º
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Bach.
1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:
8
 2  Natural
4
9
 2,25  Decimal exacto
4

4
 1,3333...  1,3  Decimal periódico puro
3
7
 1,16666...  1,16̂  Decimal periódico mixto
6
Matemáticas
4º ESO y 1º Bach.
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Matemáticas
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Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos
N = 2,38
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
100N = 238
Despejar N
N
238
100
Simplificar la fracción, si es posible
119
N
50
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Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
Números decimales periódicos puros
N = 2,383838...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
mismo periodo
100N = 238,3838...Restarlos
99N = 236
N
236
99
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible
N
236
99
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Matemáticas
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Bach.
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa4º ESO 4ºy 1ºE.S.O.
Números decimales periódicos mixtos
N = 2,3888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
10N = 23,888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con
el mismo periodo.
100N = 238,888...
Restarlos
90N = 215
N
215
90
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible
N
215
90
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.3 – Números aproximados
Matemáticas
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1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS
SIGNIFICATIVAS
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con
una cantidad adecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras
significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos
es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra
significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
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1.3 – Números aproximados
Matemáticas
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1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|
El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
Error relativo 
Error absoluto
Valor Real
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los
errores con menor o igual número de cifras significativas.
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1.4 – Notación científica
Matemáticas
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1.4.1 – DEFINICIÓN
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
N  a , bcd......x10
Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
n
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1.4 – Notación científica
Matemáticas
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1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para
poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).
• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las
potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
10 a.10 b  10 a  b
10 : 10  10
a
b
a b
• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,
teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
10 
a b
 10a .b
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1.4 – Notación científica
Matemáticas
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1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
Parte entera
Parte decimal
Exponente de
base 10
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1.4 – Notación científica
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1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños),
existen algunos prefijos:
Giga
10
9
Nano
10 9
Mega 10 6 Micro 10 6
Mili
10 3
Centi
10 2
101 Deci
10 1
10
3
Hecto 10
2
Kilo
Deca
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1.5 – Números no racionales
Matemáticas
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Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se
pueden poner como cociente de dos números enteros:
2 es irracional
n
p es irracional , si p no es un cuadrado perfecto
p es irracional , si p no es una potencia n - ésima
 es irracional
Los números decimales no periódicos son irracionales
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos
números irracionales.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.6 – Los números reales
Matemáticas
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1.6.1 - DEFINICIÓN
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama
conjunto de números reales y se designa por R
1.6.2 – LA RECTA REAL
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
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1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67 2,68
2
3
2,8
4
5
2,9
3
2,69
2,7
6
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Matemáticas
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1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
Se divide cada unidad en tantas
partes
como
tenga
el
denominador y se toman tantas
como tenga el numerador.
O
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
U
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Matemáticas
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1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de
Pitágoras, donde la hipotenusa
es lo que queremos dibujar.
 2
2
 12  12
2
2
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Matemáticas
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1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,6
2,61
2,62
2,63
2,64
2,65
2,66
2,67 2,68
2
3
2,8
4
5
2,9
3
2,69
2,7
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1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
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Bach.
1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
• Intervalo abierto: (a, b) = {xR / a < x < b}
a
b
Números comprendidos entre a y b
• Intervalo cerrado: [a, b] = {xR / a  x  b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b
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1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
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Bach.
1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
• [a, b) = {xR / a  x < b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluido a
• (a, b] = {xR / a < x  b}
a
b
Números comprendidos entre a y b, incluido b
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1.8 – Intervalos y semirrectas
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
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1.8.3 – SEMIRRECTAS
• (, a) = {xR / x < a} Números menores que a
a
• (, a] = {xR / x  a} Números menores o iguales que a
a
• (a, ) = {xR / a < x} Números mayores que a
a
• [a, ) = {xR / a  x} Números mayores o iguales que a
a
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8 – Entornos
Matemáticas
1º Bach. CN
1.8.4 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)
a-r
a+r
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}
a-r
a
a+r
 E  (a, r): Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)
a-r
a
 E  (a, r) : Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r)
a
a+r
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.9 – Valor absoluto de un número real
Matemáticas
Matemáticas
1º 4º
Bach.
E.S.O.
1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio
número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
a si a  0
a 
- a si a  0
1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se
iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
x  a  b  x  a  b
| x  a | b  
 x  a  b, a  b

x

a


b
x

a

b

 
x  a  b  x  a  b
| x  a | b  
 x  a  b, a  b 

x  a   b  x  a  b
x  a  b  x  a  b
| x  a | b  
 x  (, a  b]  [a  b,)

x

a


b
x

a

b

 
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.10 – Potencias
Matemáticas
Matemáticas
4º ESO 4º
y 1º
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Bach.
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS
a 1
1
a a
m
n
mn
a .a  a
m
n
mn
a :a  a
0
a 
m n
a
m. n
a .b  (a.b)
n
n
n
a : b  a : b 
n
n
n
1
a 
a
1
n
a
n
n
a
b
b
 
 

 
   n
b
a a
n
1
 n
a
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11 – Raíces
Matemáticas
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4º ESO 4º
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1.11.1 – DEFINICIÓN
b=
n
a b = a
Índice
n
radical
radicando
1.11.2 – PECULIARIDADES
Si a  0  n a existe cualquiera que sea n.
Si a  0  n a sólo existe si n es impar.
1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
n
a a
1
n
n
a a
m
m
n
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11 – Raíces
1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA
Raíces cuadradas :"
180  "
"
" "180" " "  13,4164078 6
Potencias : " x y "
264  "2" " x y " "64" " "  1,84467440 719  1,84467440 7.1019
Raíces con la tecla : " x y "
5
2
5
483  483  "483""(" "2" ":" "5" ")" " "  11,84619432
2
Tecla " x y " o " x "
5
1
5
1
y
350  350  "350" " x ""5"" "  3,227108809
Matemáticas
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
np
a  n a (Se puede simplifica r)
n
a .n b  n ab
n
n
p
a n a

b
b
 a
n
m n
p
 n ap
a  m.n a
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
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1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES
Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales
iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)
Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo
índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)
Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para
que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.13 – Logaritmos
Matemáticas
1º Bach.
1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P,
al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
log a P  x  a x  P
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
log a a  1
log a 1  0
log a (P.Q)  log a P  log a Q
log a (P / Q)  log a P  log a Q
log a (P n )  n. log a P
log b P
log a P 
log b a
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1.13 – Logaritmos
1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS
Logaritmo decimal o en base 10 :
log10 P  log P
Logaritmo neperiano o en base e :
log e P  ln P
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