Download TEMA 1 – LOS NÚMEROS REALES 1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS

Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales
1
TEMA 1 – LOS NÚMEROS REALES
1.1 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
3º
1.1.1 TIPOS DE NÚMEROS
3º
Los números naturales son : 1, 2, 3, ...., 10, 11, ...., 102, 103,.... . Hay infinitos.
Al conjunto de todos ellos se les designa con la letra N.
3º
Los números enteros incluyen los naturales, sus opuestos y el cero: ..., -11, 10, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ...., 10, 11, ..... Al conjunto de todos ellos se les designa
con la letra Z.
3º
Los números fracciones son fracciones (a/b) donde el numerador no es
múltiplo del denominador y el denominador es no nulo. Hay dos tipos:
 Fracciones propias :
Numerador < Denominador (Ejemplo: 2/3)
 Fracciones impropias : Numerador > Denominador (Ejemplo: 3/2)
Los números fraccionarios tienen una expresión como número decimal
 Números decimales exactos : Número finito de decimales : 1,234
 Números decimales periódicos puros : Número infinito de decimales tales
que la parte decimal se repite : 1,234234234..... = 1, 234
 Números decimales periódicos mixtos : Número infinito de decimales tales
que hay alguna cifra decimal que no se repite: 1,2344444..... = 1,23 4
3º
Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios. Al
conjunto de todos ellos se les designa con la letra Q.
3º
Los números irracionales son aquellos que no son racionales: ,
1’01001.... (Números decimales no periódicos)
4º
4º
2,
1.1.2 ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS


24



 NATURALES (N)  0 ; 4 ; 6 ; 81......

ENTEROS (Z) 


ENTEROS NO NATURALES  - 11 ; - 24 ; 3  8....


(Enteros negativos)
4





3

RACIONALES (Q) 
Decimales exactos : 0,31 ; 4 ;......
REALES (R) 




4

FRACCIONAR
IOS
.



Decimales periódicos puros : ;7, 31;....
(Racionale
s
no
enteros)
3






Decimales periódicos mixtos : 7,3 1 .....






IRRACIONAL ES (I)  2 ; - 3 ; 3 5 ; ; Deci males no periódicos .....

Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales
2
1.2 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Y VICEVERSA
3º
1.2.1 PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
3º
Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del
numerador entre el denominador.
3º
Ejemplos:
8

= 2  Natural
4
9

 2,25  Decimal exacto
4

4

 1,333333....  1,3  Decimal periódico puro
3

7

 1,166666....  1,16  Decimal periódico mixto
6
3º
3º
3º
1.2.2 PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
Decimales exactos:
N = 2,38
100N = 238
238
N=
100
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero.
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible  N
=
119
50
Decimales periódicos puros:
N = 2, 38
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
mismo periodo.
100N = 238, 38
99N = 236
236
N=
99
3º
Restarlos
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible  N
=
236
99
Decimales periódicos mixto:

N = 2,3 8
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en periódico
puro
10N = 23, 8
100N = 238, 8
90N = 215
215
N=
90
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el
mismo periodo.
Restarlos
Despejar N
Simplificar la fracción, si es posible  N
=
43
18
Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales
3
1.3 NÚMEROS APROXIMADOS
3º
1.3.1 EXPRESIÓN
APROXIMADA
SIGNIFICATIVAS.
DE
UN
NÚMERO.
CIFRAS
3º
Cuando utilizamos los números decimales para expresar mediciones concretas,
se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas.
3º
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número
aproximado. Sólo de deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste.
3º
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas
recurriremos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual
que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que
cinco la dejamos como está.
Ejemplos: Redondear con tres cifras significativas:
123.421  123.000
123.521  124.000
123.721  124.000
Al redondear números decimales, normalmente, nos quedamos con dos
decimales.
1.3.2 CONTROL DEL ERROR COMETIDO
3º
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
3º
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de Medición,
en valor absoluto (en positivo)
Error Absoluto = | Valor Real – Valor de Medición |
4º
Pero no es lo mismo cometer un error de un centímetro al medir una tiza que
una pizarra, por tanto definimos:
El Error Relativo como es el cociente entre el error absoluto y el valor real
Error Relativo =
Error Absoluto
Valor Real
4º
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores
con menor o igual número de cifras significativas.
4º
Al valernos de números decimales para dar valores aproximados, el error
absoluto es inferior a una cantidad del orden de la última cifra significativa.
El valor relativo es tanto menor cuantas más cifras significativas demos
correctamente.
Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales
4
1.4 NOTACIÓN CIENTÍFICA
4º
1.4.1 INTRODUCCIÓN
4º
Los números siguientes están puestos en notación científica:
2,48 . 1014 = 248.000.000.000.000
(14 cifras a partir de la coma)
-14
7,561. 10 = 0,00000000000007561 (14 cifras de la coma al 7)
4º
La notación científica tiene sobre la usual la siguiente ventaja: las cifras se nos
dan contadas, con lo que el orden de magnitud del número es evidente. Esta
notación es útil, sobre todo, para expresar números muy grandes o muy
pequeños.
4º
4º
1.4.2 DEFINICIÓN
Un número puesto en notación científica consta de :
- Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero(la de las
unidades)
- El resto de las cifras significativas puestas como parte decimal.
- Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
N = a , bcd...... x 10n
a = Parte entera (sólo una cifra)
bcd..... = Parte decimal
10n = Potencia entera de base 10
4º
4º
4º
Si n es positivo, el número N es “grande”
Si n es negativo, el número N es “pequeño”
1.4.3 OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
En sumas y en restas hay que preparar los sumandos de modo que tengan
todos la misma potencia de base 10 y así poder sacar factor común.
5,83 . 109 + 6,932 . 1012 – 7,5 . 1010 = 5,83 . 109 + 6932 . 109 – 75. 109 =
= (5,83 + 6932 – 75) . 109 =
= 6862,83 . 109 = 6,86283 . 1012  6,86 . 1012
4º
El producto, el cociente y la potencia son inmediatos, teniendo en cuenta:
10b. 10c = 10b+c
10b : 10c = 10b-c
10   10
b c
b. c
(5,24 . 106) . (6,3 . 108) = (5,24 . 6,3) . 106+8 = 33,012 . 1014 = 3,3012 . 1015  3,3. 1015
(5,24 . 106) : (6,3 . 108) = (5,24 : 6,3) . 106-8 = 0,8317 . 10-2 = 8,317 . 10-3  8,32. 10-3
(5,24 . 106)2 = (5,24)2 . 106.2 = 27,4576 . 1012 = 2,74576 . 1013  2,75. 1013
Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales
4º
5
1.4.3 CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
09
significa 5,74901 . 109
4º
Interpretación: 5,74901
4º
Escritura: Para poner 5,74901 . 109  5,74901 “EXP” 9
Para poner 2,94 . 10-13  2,94 “EXP” 13 “”
4º
Operaciones: Las operaciones se encadenan como si fueran números
cualesquiera. La propia calculadora, al presionar “=”, da el resultado en forma
científica.
4º
Modo científico (SCI) : El modo SCI hace que la calculadora trabaje siempre
con números en notación científica y, además, con la cantidad de cifras
significativas que previamente le hayamos indicado.
Por ejemplo si, con una calculadora en la que se accede al Modo SCI mediante
la secuencia “MODE” “8”, deseamos trabajar con la notación científica con tres
cifras significativas (dos decimales) para realizar la siguiente multiplicación:
(3.475.980.000) . (1,27 . 10-5), haremos:
- Preparar la calculadora: “MODE” “8” “3”  0.00 00
- Introducir el primer factor 3475980000 “x”  3,48 09
- Introducir el segundo factor 1,27 “EXP” 5 “”
- Ejecutar el producto “=”  4,14 04
4º
Observaciones:
Cuando la calculadora está en Modo SCI, admite expresiones no científicas,
pero al darle a una tecla de operaciones o al “=”, pone el número en notación
científica, con las cifras significativas deseadas, redondeando.
La calculadora conserva en su memoria los dígitos que no exhibe en la pantalla.
Si en el ejemplo anterior ponemos la calculadora en Modo NORMAL
(“MODE” “9”), inmediatamente se muestra en la pantalla el resultado con todas
las cifras: 44144,946.
4º
4º
1.4.5 ÓRDENES DE MAGNITUD
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos
prefijos:
Giga
109
Mega 106
Kilo 103
Hecto 102
Deca 10
Deci 10-1
Centi 10-2
Mili 10-3
Micro 10-6
Nano 10-9
Matemáticas B – 4º E.S.O. – Tema 1 – Los números Reales
6
1.5 NÚMEROS NO RACIONALES
3º
3º
3º
3º
1.5.1 INTRODUCCIÓN
Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números
enteros. Hay números que no son racionales como, por ejemplo, 2 .
1.5.2 NÚMEROS IRRACIONALES
Los números no racionales se llaman irracionales.
2 es irracional
- Si p no es cuadrado perfecto, p es irracional.
- En general, si p es un número entero y
n
p no es un número entero (es
decir, p no es una potencia n-ésima), entonces n p es irracional.
-  es irracional
- Los números decimales no periódicos son irracionales.
3º
La expresión decimal de un número irracional tiene infinitas cifras no
periódicas.
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números
irracionales.
1.6 LOS NÚMEROS REALES
4º
1.6.1 DEFINICIÓN
4º
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama
conjunto de números reales y se designa por R.
4º
Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos
con los números racionales: sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por el
cero) y se siguen manteniendo las mismas propiedades.
También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par
de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no
ocurría con los números racionales.
4º
4º
1.6.2 LA RECTA REAL
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número
irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.