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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior I:
Tema 4
Rafael Salas
noviembre de 2004
Esquema...
Propiedades:
Los axiomas
imponen una
serie de
propiedades o
restricciones:
F. de demanda
ordinaria
F. indirecta de
utilidad
F. de gasto
Ecuación de
Slutsky
F. de demanda
compensada
Propiedades f. de demanda ordinaria

(1) Existen, contínuas y diferenciables (ya visto)

(2) Homogéneas de grado 0 en p e Y
xid (p,Y) = xid (tp,tY) para todo t >0, p, Y

(3) Restricción presupuestaria
pxid (p,Y) = Y
(4) Las derivadas de xid con respecto a p e Y pueden tener
cualquier signo, aunque existen unas restricciones:

Homogeneidad de grado 0 en p e Y
x2
xd (tp, tY) = xd (p, Y)
Consumo óptimo dado
tp y dados tY
Consumo óptimo dado
p, y dado Y

x*x*

x1
Restricciones:
Diferenciando la propiedad (3) con respecto a pj se deduce la:
(4.1) Condición de agregación de Cournot

n
i 1
xid
p
 xj  0
i p j
o lo que es lo mismo:
n

i 1
 ijd
 ijd si   s j
Donde
es la elasticidad-precio cruzada ordinaria entre i y j,
y Si es la proporción del gasto en el bien i sobre el gasto total.
Restricciones:
Diferenciando la propiedad (3) con respecto a Y se deduce la:
(4.2) Condición de agregación de Engel

n
i 1
xid
p
1
i Y
o lo que es lo mismo:
n
 i si
1
i 1
Donde
i
es la elasticidad-renta del bien i
Restricciones:
De la propiedad (2) se deduce por el teorema de Euler:
(4.3) Condición de homogeneidad:

n
j 1
xid
xid
p
Y
0
i p j
Y
o lo que es lo mismo:

n
j 1
 d  
ij
i
Restricciones:
De la ecuación de Slutsky deduciremos más adelante otra serie de
restricciones sobre los signos. Antes veamos algunas
propiedades de la función indirecta de utilidad
La función indirecta de utilidad
Si introducimos todas las xid (p, Y ) en la función de utilidad
obtenemos la función indirecta de utilidad:
V (p, Y) = U(xd (p, Y))
Indica la máxima utiidad obtenible, dados los precios de los bienes
y un nivel de renta del individuo
Propiedades f. indirecta de utilidad
•
(1) Homogéneas de grado 0 en p e Y
V (p,Y) = V (tp,tY) para todo t >0, p, Y

(2) Creciente en Y y no creciente en p

(3) Identidad de Roy…
Homogeneidad de grado 0 en p e Y
x2
V(tp, tY) = V(p, Y)
Máxima utilidad, dado
tp y dados tY
Máxima utilidad dado
p, y dado Y

x*x*

x1
Identidad de Roy:
xid = –
V (p, y) / pi
————
 V (p, y) /y
Desutilidad
marginal del
 Differentiate
w.r.t.
precio
de i
p iUse
. Shephard’s
Lemma
Utilidad
marginal de la
renta
Demostración: se basa en el teorema de la envolvente
DETALLES
Nos permite rescatar la función de demanda ordinaria a
partir de la función indirecta de utilidad

Nos permite observar que =utilidad marginal de la renta
(positiva)

La función de gasto
Si introducimoslos xic (p, U ) en la definición de gasto obtenemos la
función de gasto:
e (p, U) =  pi xic (p, U)
Indica el mínimo gasto obtenible, dados los precios de los bienes y
un nivel de utilidad
Propiedades f. de gasto
•
(1) Homogéneas de grado 1 en p
e (p,U) = t e (tp,U) para todo t >0, p, U

(2) Creciente en U y no decreciente en p

(3) Lema de Shepard…
Homogeneidad de grado 1 en p
x2
e(tp, u) = t ipi xic = t e(p, u)
Mínimo gasto dados tp,
yu
Mínimo gasto dados p
yu

x*x*

x1
Lema de Shepard:

xic(p, u) = e (p, u)/  pi
Demostración: se basa en el teorema de la envolvente
DETALLES
Nos permite rescatar la función de demanda compensada
partir de la función de gasto

Determina el signo de ciertas respuestas: función de
gasto cóncava en p y simetría de efectos sustitución
cruzados (más adelante)

Lema de Shephard
Pendiente = x1c
e
e(p, u)
_______
c
= xi
pi
pi
La f. de gasto es cóncava en precios
e
D
B
A
Gasto en D > 1/2 [Gasto en A + Gasto en B]
p1
La f. de gasto es cóncava en precios
e(p*,u)  t e(p’’,u) + (1-t) e(p’,u)
x2

x’’

x*

x’
x1
Demostración
Dados p’, p’’ y p* = tp’’ + (1-t)p’ tenemos inicialmente que :
p’’x*  p’’x’’ y
p’x*  p’x’
Si multiplicamos por t y 1-t las dos expresiones, donde 0 t  1, y las
sumamos :
tp’’x* + (1-t)p’x* tp’’x’’+ (1-t)p’x’
Pero como p* = tp’’ + (1-t)p’ tenemos:
p*x*  tp’’x’’+ (1-t)p’x’
Con lo cual:
e(p*,u)  t e(p’’,u) + (1-t) e(p’,u)
Propiedades f. de demanda compensada

(1) Homogéneas de grado 0 en p
xic(p,U)= xic(p,U)

(2) Los efectos con respecto a p son no positivos (negativos,
si convexidad estricta)…

(3) Los efectos cruzados son simétricos…

(4) La matriz de efectos sustitución es semidefina negativa
Restricciones:
De la propiedad (1) se deduce aplicando el teorema de Euler:
(1bis) Condición de agregación:
xic
 p j p
n
j 1
0
j
o lo que es lo mismo:

n
j 1
c
 s 0
ij i
Restricciones:
(2) Negatividad del efecto sustitución propio
xc  2 e( p,U )
i 
0
2
p
pi
i
Por la concavidad de la función de gasto,
o lo que es lo mismo:
 iic  0
 iid  i si  0
 ijd y  ijc son las elasticidades cruzadas ordinarias y compensadas
i es la elasticida renta de i y si es la proporción de gasto de i sobre el total
Donde
Restricciones:
(3) Simetría del efecto sutitución cruzado
c
c
x
x
2

i  j  e( p , U )
p
p
pi p j
j
i
Implicación: los bienes son inequívocamente sustitutos o
complementarios “netos”.
Se rompe la ambigüedad existente en el concepto “bruto”
Relaciones...
La ecuación de Slutsky va a relacionar las funciones de demanda
ordinaria y compensada. Antes formulemos unas identidades propias de
la dualidad :

xic(p, u) = xid(p, e(p, u ))

xid(p, Y) = xic(p, V(p, Y ))
Ecuación de Slutsky...
La ecuación de Slutsky relaciona las funciones de demanda ordinaria
y compensada :
x1c
p1
x1d
p1
x1d
p1

x1d

x1c

x1c
p1
p1
p1

x1d e
e p1

x1d e
e p1

x1d
x1
e
Ecuación de Slutsky...
La ecuación de Slutsky introduce restricciones en ciertos signos:
x1d

x1c

x1d
ET=
ES
+
ER
p1
p1
x1
e
-(vo)
-(vo), si bien normal

ET, -(vo)
-(vo)
+(vo), si bien inferior

ET, ambiguo
Ecuación de Slutsky...
La ecuación de Slutsky más general :
xid

p j
xid

p j
xic
p j
xic
p j


xid e
e p j
xid
xj
e
En términos de elasticidades :
 ijd   ijc
Donde
 ijd
 i s j
y
 ijc son las elasticidades cruzadas ordinarias y compensadas
i es la elasticida renta de i
y sj
es la proporción de gasto de j
Otras relaciones...
Por último, vemos como se relacionan la función de gasto y la función
indirecta de utilidad:

e(p, U*) = Y*

e(p, V(p, Y)) = Y

V(p, Y*) =U*

V(p, e(p, U)) =U
La función de gasto es la inversa de la función indirecta de utilidad y
viceversa
Esquema resumen
P. Primal:
P. Dual:
C.P.O.+ P.R.
F. de demanda
ordinaria
F.D.U.
C.P.O.+ F.D.U.
E. SLUTSKY
I. ROY
F. indirecta de
utilidad
F. de demanda
compensada
R.P.
INVERSA
L. SHEPARD
F. de gasto
Otras restricciones
Existen otro tipo de restricciones que se imponen a menudo
en los modelos para introducir otras propiedades:
Aditividad y separabilidad
Condiciones de agregación de bienes
Condiciones de agregación de consumidores
Práctica:
 (1) Deriva las funciones de demanda que se generan
de:
V= i/ bi (pi/y) bi
donde , b son parámetros positivos. Houthakker:
indirect addilog model, Econometrica (1960)
SOL
.
Práctica:
(2) Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. Razone brevemente las
respuestas.
(a) El efecto de sustitución con respecto al propio precio será negativo si y
solo si las curvas de indiferencia son convexas al origen
(b) El efecto sobre la demanda del bien j de un cambio infinitesimal del
precio del bien i es idéntico al efecto sobre la demanda del bien i de un
cambio infinitesimal del precio del bien j
(c) La demanda ordinaria del bien i es decreciente en el precio del bien i
(d) La demanda ordinaria del bien i es proporcional al efecto marginal sobre
la utilidad de un incremento del precio del bien i
(e) La demanda compensada del bien i es decreciente en el precio del bien i
.
Práctica:
(3) Un consumidor dispone de una función de utilidad indirecta:
V   i log pi  log  Y   pi b i 
i 1
i 1


n
n
donde (p1,...,pn) es el vector de precios y Y la renta monetaria y i, bi son
parámetros no negativos tales que
n
i  1
i 1
Deduce la función de gasto del consumidor
SOL
.
Práctica:
(4) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema de demanda
para ser coherente con la teoría?
log xi   i  i log y    ik log pk
n
i  1,..., n
k 1
(5) ¿Qué restricciones hay que imponer al siguiente sistema para ser
coherente con la teoría?
pi xi   i pi  b i y    ij p j   i
n
i  1,..., n
j 1
.
Práctica:
(6) Demuestra que la homogeneidad de grado 0 de las funciones de
demanda imponen que:
n

j 1
pj
xi
x
 y i 0
p j
y
i  1,..., n
o lo que es lo mismo
n

j 1
 ijd  i  0
i  1,..., n
(7) Demuestra que si se dan las condiciones de agregación y de simetría se
cumple la condición de homogeneidad.
.
Práctica:
(8) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios
netos? Es decir, cómo es el signo de
xic
p j
(9) Cómo dice la teoría que son los bienes: sustitutos o complementarios
brutos? Es decir, cómo es el signo de
xid
p j
.
Práctica:
(10) Dada la siguiente matriz de efectos de sustitución de un consumidor
sobre 3 bienes para los precio p1=1, p2=2 y p3=6:
 10 ? ?
 ?


4
?


 3
? ?
Completa los valores que faltan. Verifica que la matriz resultante cumple
las propiedades de una matriz de efectos sustitución.
.
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Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I
Microeconomía Superior I:
Tema 4
Rafael Salas
noviembre de 2004