Download Números complejos. Representación gráfica.

NÚMEROS
COMPLEJOS
U.D. 2
@ Angel Prieto Benito
*
1º BCT
Apuntes 1º Bachillerato CT
1
FORMA BINÓMICA
DE Nºs COMPLEJOS
U.D. 2.5
@ Angel Prieto Benito
*
1º BCT
Apuntes 1º Bachillerato CT
2
LOS NUMEROS COMPLEJOS
•
•
•
•
•
•
•
La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números
reales.
Al tratar de resolverla nos da: x=±√-1
Igual ocurre con la ecuación x2+3x +5=0
Al resolverla nos da
– 3 ± √(9 – 20) – 3 ± √(–11)
x=--------------------- = ------------------2
2
•
loge(-2) no es un número real, pues ya se dijo que no existen logaritmos de
números negativos.
•
Tampoco es un número real (-2)p , pues no existen potencias de base
negativa y exponente no entero.
•
Estos ejemplos, entre otros muchos, hacen necesario en matemáticas un
nuevo tipo de números llamados NÚMEROS COMPLEJOS.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes 1º Bachillerato CT
3
NÚMEROS IMAGINARIOS
•
•
•
•
•
Hasta ahora sólo se había operado
con números reales. Hay multitud
de veces que al operar obtenemos
resultados “raros”, como una raíz
cuadrada de - 4
Son los llamados NÚMEROS
IMAGINARIOS.
Si los números reales se
representan sobre el eje Real o eje
de las X, los números imaginarios
se representan sobre el eje
Imaginario o eje de las Y.
Si la unidad de los números reales
es el 1, la unidad de los números
imaginarios es el “i”, cuyo valor es
la raíz cuadrada de - 1.
i = √-1
@ Angel Prieto Benito
i
Apuntes 1º Bachillerato CT
1
4
FORMA BINÓMICA
•
FORMA BINÓMICA DEL NÚMERO COMPLEJO
•
Todo número que gráficamente se encuentre sobre el eje de las X ( eje R)
será un número real.
Todo número que gráficamente se encuentre sobre el eje de las Y ( eje I)
será un número imaginario.
•
•
•
•
•
•
Así las cosas, todo punto que no esté sobre alguno de los ejes, tendrá una
componente real y otra imaginaria.
Son los llamados NÚMEROS COMPLEJOS.
Los números complejos se representan por la letra Z.
El punto que simboliza gráficamente el número complejo se llama AFIJO.
Al tener dos partes bien distintas, esa primera forma de expresar un
número complejo como suma de otros dos, uno real y otro imaginario, se
llama forma BINÓMICA.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes 1º Bachillerato CT
5
•
•
•
Los números complejos en forma binómica se escriben:
z = a + bi
Donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.
•
•
Si b = 0  tenemos un número real
Si a = 0  tenemos un número imaginario puro
•
Al resolver las ecuaciones:
•
•
•
La primera tiene como soluciones x = i y x = - i
La segunda tiene como soluciones x = 2i y x = - 2i
Ambas soluciones son números imaginarios.
•
Dos números complejos son iguales, si sus partes reales e imaginarias son
iguales respectivamente.
Ejemplo: z1 = a+bi ,, z2 = c+di
@ Angel Prieto Benito
Si
z1=z2  a=c y b=d
Apuntes 1º Bachillerato CT
6
•
•
El opuesto a un número complejo es el que presenta ambas partes ( real
e imaginaria) opuestas a las originales.
El opuesto de z = a + bi es – z = – a – bi
•
Un número complejo conjugado de otro tiene igual su parte real y opuesta
su parte imaginaria:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplos
z= 3 – 4i

-z = - 3 + 4i
z= – 4 + 3i

-z = 4 – 3i
z= – 12 – 5i

-z = 12 + 5i
z= 6 + 8i

-z = – 6 – 8i
@ Angel Prieto Benito
_
z = 3 + 4i
_
z = 4 + 2i
_
z = – 12 + 5i
_
z = 6 – 8i
Apuntes 1º Bachillerato CT
7
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
•
Representación gráfica
de un número complejo
z2= 4+5i
•
Sobre unas coordenadas
cartesianas se representa
en el eje de abscisas la
componente real y en el de
ordenadas la componente
imaginaria.
•
Asociamos a cada número
complejo un vector, cuyo
origen es el origen de
coordenadas, O, y cuyo
extremo es el punto de
coordenadas (a,b), al que
llamamos afijo del número
complejo.
@ Angel Prieto Benito
z3= – 2+3i
Apuntes 1º Bachillerato CT
z1= – 2i
8
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
z2= 4+5i
z3= – 2+3i
_
z1= – z1 = 2i
_
z3= – 2 – 3i
- z3= 2 – 3i
z1= – 2i
_
–z2= – 4 – 5i
@ Angel Prieto Benito
z2= 4 – 5 i
Apuntes 1º Bachillerato CT
9
MÓDULO Y ARGUMENTO
•
El módulo de un número complejo es el módulo del vector que le representa.
•
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje
positivo de abscisas con el vector que representa al número complejo.
•
Ejemplo
•
•
z1=-1+i  arg z = α  tg α = 1/(-1)  α = arctg -1 = 135º
z2=1 – i  arg z = α  tg α = -1/1  α = arctg -1 = 225º
•
•
En ambos casos nos da aparentemente el mismo ángulo.
Para saber cual de los dos ángulos que cumplen la condición es el
argumento, se miran los signos de a y de b y se escoge el ángulo del
cuadrante que corresponde con esos signos.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes 1º Bachillerato CT
10
Módulo y argumento
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Ejemplos
•
•
•
•
•
z= 3 – 4i

|z| = √9+16 = 5
α = arctg -4/3 = - 53,13º
z= – 4 + 3i

|z| = √16+9 = 5
α = arctg -4/3 = 233,13º
z= – 12 – 5i

|z| = √144+25 = 13
α = arctg -5/-12 = 202,62º
z= 6 + 8i

|z| = √36+64 = 10
α = arctg 8/6 = 53,13º
z= – 10

|z| = √100+0 = 10
α = arctg 0/(-10) = 180º
z= – 1 + i

|z| = √1+1 = √2
α = arctg -1 = 135º
z= 6i

|z| = √0+36 = 6
@ Angel Prieto Benito
α = arctg 6/0 = 90º
Apuntes 1º Bachillerato CT
11