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Solución de problemas en
circuitos eléctricos por
transformada de Laplace.
AUTORES:
Planteamiento del
Problema
Al plantear ecuaciones en el dominio del
tiempo a circuito eléctrico con
resistencias, inductores, y condensadores,
aparecen ecuaciones diferenciales con
coeficientes constantes y valores iniciales.
Objetivos de la
Investigación
Objetivo General
• Aplicar la transformada de Laplace en
la solución de problemas en circuitos
eléctricos
Objetivos Específicos
• Presentar las generalidades teóricas y
prácticas del método.
Objetivos de la
Investigación
Objetivos Específicos
• Aplicar la teoría en diferentes casos que
involucran, resistencias, fuentes y
condensadores.
• Aplicar el método a un circuito eléctrico
típico
Justificación
• Aplicaciones de la Transformada de Laplace,
para la solución de ecuaciones diferenciales.
• En el caso de los circuitos eléctricos se puede
trabajar por medio de modelos físicos haciendo
más comprensible la solución del problema.
• Este estudio pretende ampliar, sintetizar y
aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se
suele aplicar a los circuitos eléctricos
Alcances y Limitaciones
• Abarca aplicaciones básicas de la transformada
•
•
•
•
de Laplace.
Estudio de circuitos formados por fuentes,
resistencias, condensadores e inductores.
Se hallarán las ecuaciones de corrientes y
voltajes en el tiempo.
No se analizan circuitos complejos que
involucren otros elementos de circuitos.
Los resultados no serán contrastados
experimentalmente
Bases Teóricas
• Definición de Transformada de Laplace

F ( s )  L[ f ( t )] 
 st
e
 f ( t )dt
0
• Propiedades de la Transformada de
Laplace
 La transformada de Laplace es lineal
L[ f1 (t )  f 2 (t )]  L[ f1 (t )]  L[ f 2 (t )]
Bases Teóricas
 Transformada de una derivada
 d n f (t ) 
d n 1 f
n
n 1
L
(0)
  s .L[ f ( t )]  s . f (0)  ... 
n
n
dt
 dt 
 Transformada de una integral
t
1
L[  f ( ).d ]  .L[ f ( t )]
s
0
• Definición de términos básicos
 Condensador y Capacitancia
 Resistencia
 Inductor e Inductancia
 Fuente
Marco Metodológico
• Definir el caso de estudio.
• Identificar cada uno de los elementos del
•
•
•
circuito eléctrico a resolver.
Plantear el diagrama del circuito
eléctrico a resolver.
Establecer las ecuaciones diferenciales
que permitan resolver el circuito
eléctrico.
Realizar la transformación del dominio
del tiempo al de la frecuencia.
Marco Metodológico
• Resolver el sistema algebraico obtenido al
•
•
•
aplicar la transformada de Laplace.
Definir la señal de entrada o perturbación.
En la medida de lo posible, aplicar la
transformación inversa para obtener la
solución de la ecuación diferencial
planteada.
Graficar y analizar los resultados.
Caso I: CIRCUITO RCL
• Definición del caso
• Elementos del circuito
• Diagrama del circuito
Caso I: CIRCUITO RCL
• Se aplica una la Ley de Kirchoff
v(t )  vr(t )  vl(t )  vc(t )
• Aplicando las definiciones para cada
elemento del circuito
t
di(t ) 1
v(t )  R.i(t )  L.
 . i(t ).dt
di
C 0
Caso I: CIRCUITO RCL
• Transformación al dominio de la
frecuencia
1 t

 di (t ) 
Lv(t)  LR.i (t )  L  L.
  L  . i(t ).dt 
 di 
C 0



I ( s)
V ( s )  R.I ( s )  L. s.I ( s)  i(0 ) 
C.s

• Corriente en el dominio de la
frecuencia
s.V ( s )
I (s) 
L. ( s  a) 2   2


R
a
2 .L

1
 R 


L.C  2.L 
2
Caso I: CIRCUITO RCL
• Solución de la ecuación diferencial
 Si se asume que el potencial aplicado es de
corriente directa

vo
V(s)  Lv(t )  Lvo 
s
Aplicando la transformada inversa de Laplace


vo
L [ I ( s )]  L 
2
2 


L
.
s

a




vo  a . t
i ( t )  .e . sen( .t )
L
-1
-1


Caso I: CIRCUITO RCL
• Gráfica del resultado
Circuito RCL
Intensidad de Corriente (i)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
-0,2
-0,4
-0,6
Tiempo
5
6
7
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Definición del Caso
• Elementos del circuito
• Diagrama del Circuito
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Relación torque – Corriente eléctrica
T  K1 .K f .ia .i f (t )
 K .i f (t )
• Relación torque – Velocidad Angular
d
T  J.
 f .
dt
• Ecuación de Voltaje
V f (t )  R f .i f (t )  L f .
di f (t )
dt
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Ecuación diferencial del sistema físico
2
R f  d
d 
 Lf  d 

V f (t ) 
. J .
 f .  
. J . 2  f .
K  dt
dt 
 K  dt
• Transformación al dominio de la frecuencia
W (s) 
K .V f ( s )
( L f .s  R f ).( J .s  f )
 Si se asume que el potencial aplicado es de
corriente directa
vo
V(s)  Lv(t )  Lvo 
s
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Ecuación en el dominio de la frecuencia
K .vo
W (s) 
s.( L f .s  R f ).( J .s  f )
 K 

.vo
 L .J 
 f 


Rf 
. s  f 
s. s 

L f  
J

• Solución de la ecuación diferencial
La solución se obtiene realizando una
expansión en fracciones parciales.
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Expansión en fracciones parciales
 K 


.vo

 L .J 
 K  A
B
C
f




W (s) 

.vo. 



R
f
L f .J   s

Rf 
f
f


s

s
. s  
s. s 

J


Lf
L
J


f


• Los valores de A, B, C son:
A
1
a.b
1
B
a ( a  b)
1
C
b( a  b)
Con
a
Rf
Lf
f
b
J







Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Aplicando la transformada inversa
Caso II: Motor eléctrico de
corriente directa
• Grafica Velocidad Angular - Tiempo
Motor Eléctrico
25
w(t)*Lf*J/(K*vo)
20
15
10
5
0
0
5
10
15
Tiempo
20
25
30
35
40
Conclusiones
• Se logró conocer la importancia de la técnica de
transformada de Laplace en la resolución y
análisis de circuitos eléctricos.
• Existe una equivalencia real entre los elementos
principales de un circuito eléctrico como los
resistores, condensadores e inductores en el
dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.
• La existencia de las equivalencias de circuitos
permite la posibilidad de analizar circuitos
eléctricos directamente en el dominio de Laplace
sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.
Conclusiones
• La técnica de Transformada aplicada permite resolver
ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas
como el circuito de RCL y el motor eléctrico.
• Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl
dando una función periódica amortiguada.
• Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando
en una ecuación que es suma de exponenciales pero en
el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a
un valor dado por: K . vo
L f .J a .b