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CAPITULO 13
Análisis de Circuitos
mediante Transformada de Laplace
Teoría de Circuitos I
Transformada de Laplace
La transformada (unilateral) de Laplace de la función f(t) definida en
[0, ∞) esta dada por:

L  f t    f t  e s t dt  F  s 
0
La variable s se denomina variable frecuencia compleja. F(s), es una
función en el dominio de la frecuencia compleja, o, más brevemente,
en el dominio frecuencial.
Para que f(t) sea transformable, debe ser seccionalmente continua y
de orden exponencial. Si f(t) contiene solo un número finito de discontinuidades finitas aisladas, es seccionalmente continua. La mayoría de
las funciones asociadas con los circuitos reales son L-transformables.
Algunas Transf. de Laplace Importantes
A continuación calcularemos las transformadas de Laplace de las
señales que aparecen con mayor frecuencia en los circuitos electricos.
a) Función escalón


L  A  t    A e  s t dt  A 
0
0
st


e
e  s t dt  A 


s


b) Función Impulso

0
0
0


0
A
s
L  A  t   A   t  e  s t dt  A   t  e  s t dt  A
c) Función Exponencial
L A e
 t

 t    A e
0

e dt  A  e
 t  s t
0

 s   t
 e s t 
A
dt  A 
 
 s      s   
0
d) Función Coseno

L A cos t   t   
0
 e j t  e j t   s t
A
 e dt 
2


s
A 2
s  2
Algunas Transf. de Laplace Importantes (cont)
e) Función Seno

L A sen  t   t   
0
 e j t  e j t   s t
A
 e dt 
2j



A 2
s  2
Todos estos pares transformados y otros se encuentran en la Tabla de
Transformadas de Laplace. La misma nos permite pasar rápidamente
del dominio temporal al dominio frecuencial y viceversa.
Como no es objeto del curso el cálculo propio de las trasformadas de
señales sino la utilización de la transformada de Laplace como una
herramienta, utilizaremos la tabla cuando:
a) Debamos transformar las fuentes de tensión o corriente
(señales independientes) al dominio transformado.
b) Debamos volver una señal al dominio temporal, una vez
que la expresemos como una composición de señales
conocidas (ubicadas en la columna derecha de la tabla).
Propiedades de la Transformada de Laplace
Veremos ahora algunas propiedades de la Transformadas de Laplace:
1) Linealidad
L a f 1 t  + b f 2 t  

  a f t  + b f t   e
1
2
st
dt
0


0
0
  a f 1 t  e  s t dt + b f 2 t  e  s t dt  aF1 s   bF2 s 
2) Transformada de la derivada de primer orden
 d f t  
L
  s F  s   f  0
 dt 
3) Transformada de la integral simple
t
 1
L   f   d   F  s 
0
 s
Estas 3 propiedades serán
las que nos posibiliten
extender las LK al dominio
transformado y las relaciones
V-A en cada uno de los
elementos circuitales
conocidos ( R, L y C )
La Transf. de Laplace y la leyes de Kirchhoff
En el dominio temporal, las leyes de Kirchhoff de tensión y corriente
son:
a  i j t 
b   vk  t 
en cada uno de los nudos del circuito
en cada camino cerrado del circuito
Por la propiedad de linealidad anteriormente vista, en el dominio
transformado resultan:
a  I j s
b  Vk  s 
en cada uno de los nudos del circuito
en cada camino cerrado del circuito
La Transf. de Laplace y las relaciones VA
a) Resistencia
vR  t   R . iR  t 
iR  t 
L
R
vR  t 
b) Inductancia
vL  t 
I R  s
R
VR  s 
 d f t  
L
  s F  s   f  0
 dt 
d iL  t 
vL  t   L .
dt
iL  t  L
VR  s   R . I R  s 
L
VL  s   L .  s I L  s   iL  0 
iL  0
 1 
IL s  
VL  s  
s
Ls
I L  s L s
iL  0 
s
VL  s 
La Transf. de Laplace y las relaciones VA (cont)
c) Capacidad
d vC  t 
iC  t   C .
dt
iC  t  C
I C  s   C .  s VC  s   vC  0  
L
vC  0
 1 
VC  s   
 IC  s  
s
Cs
v 0
IC  s  1/C s
s
C
vC  t 
 d f t  
L
  s F  s   f  0
d) Inductancias acopladas
dt 

M
iL1  t 
L1
vL1  t 
iL2  t 
L2
vL2  t 
d iL1  t 
d iL 2  t 
vL1  t   L1 .
M.
dt
dt
d iL 2  t 
d iL1  t 
vL 2  t   L2 .
M.
dt
dt
L
VC  s 
Ejercicio !!!
La Transf. de Laplace para resolver circuitos
Conociendo entonces como transformar las fuentes independientes,
como se transforman la relaciones VA de cada elemento y las leyes de
Kirchhoff, podemos operar con las diferentes magnitudes en el circuito
transformado.
La ventaja de realizar esto es que los operadores “integral” y
“derivada” desaparecen y vemos a todos los elementos pasivos como
“resistencias”. Las resistencias siguen valiendo R, las inductancias
tienen un valor Ls y los capacitores tienen un valor 1/Cs, pero no
hablaremos de “parte real” o “parte imaginaria”.
Por lo tanto los circuitos transformados se resolverán de manera
sencilla operando algebraicamente. Una vez despejada la magnitud de
interés (una tensión Vi(s) o una corriente Ij(s) ), deberemos llevarla a
alguna forma conocida de la tabla (o una combinación lineal) y volver
al dominio temporal. A este proceso se lo denomina antitransformación,
y para ello resultará muy útil el Método de las Raíces y la
Descomposición en Fracciones Simples.
La Transf. de Laplace para resolver circuitos
Ejemplo 1: Para el siguiente circuito, se sabe que iS(t) = 10 (t) y
que las condiciones inciales son nulas. Calcular IR(s) para valores
genéricos de R, L y C.
La Transf. de Laplace para resolver circuitos
Otras herramientas que ya conocemos y que podemos seguir utilizando en el dominio transformado son:
• Métodos de resolución de circuitos (Mallas, Bucles y Nudos)
I1  s 
Las ecuaciones de Mallas serán:
I2  s
La Transf. de Laplace para resolver circuitos
• Conexión serie y paralelo de impedancias
Z1  s 
Z2  s 
Zeq  s   Z1  s   Z2  s 
Zeq  s 
Z1  s 
Zeq  s 
Z2  s 
• Divisor de Tensión y Corriente
V2 s   Vi s 
Z2  s 
Z1 s   Z 2 s 
Z1  s  . Z 2  s 
Z eq  s  
Z1  s   Z 2  s 
I 2 s   I i  s 
Z1  s 
Z1 s   Z2 s 
Función Transferencia
Como vimos anteriormente, la función transferencia nos permitirá
relacionar la tensión y la corriente en un par de terminales (entrada)
con la tensión y la corriente en otro par (salida). Más aún,
Salida( s)
Respuesta( s)

Entrada( s) Excitación( s)
Vemos así que hay cuatro posibles combinaciones de variables:
T  s 
Vo ( s )
Vi ( s )
Vo ( s )
Ii ( s)
I o ( s)
I i ( s)
I o ( s)
Vi ( s)
En cualquier caso, terminara siendo el cociente de dos polinomios en s :
N  s  a m s m  a m-1s m 1 

D  s  b n s n  b n-1s n 1 
 a1s  a 0 a m  s  c1  s  c2 

 b1s  b0 b n  s  p1  s  p2 
 s  cm 
 s  pn 
donde los ci son las raíces del polinomio N(s) (ceros) y los pj son las
raíces del polinomio D(s) (polos). Al grado del polinomio denominador,
D(s) se lo llama orden de la función transferencia y generalmente, n  m.
Función Transferencia
Ejemplo 2: Hallar la expresión de VC(s) para las diferentes entradas y
considerando el capacitor inicialmente descargado.
a  e t    t 
b e t    t 
c  e  t   e 3t   t 
R1  1 
R2  1 
C 1F
Antitransformada
Una vez que hayamos encontrado la expresión de cualquier vble del
circuito, calculamos sus polos (raíces del denominador). Suponiendo
que sean todos reales y distintos y n  m tendremos:
a m s m  a m-1s m 1 
 a 1s  a 0
K1
K2
Kn
X  s 




b n  s  p1  s  p2 
 s  pn   s  p1   s  p2 
 s  pn 
Si revisamos la tabla de pares transformados veremos que cada uno de
los sumandos es fácilmente antitransformable (aún si alguno de los pj
fuera cero). A esta forma de antitransformar se la conoce como
desarrollo en fracciones simples. La mayor dificultad de este método es
cómo determinar las constantes K1, K2, … , Kn.
a) Método por igualación de polinómios
Una vez calculados
los
polos queremos
K1K s1  p2  K s2  pn   K 2  s 
K
 s  pn 1 
K np1   s  pn  
n  s  p1 
X s 



a esta forma
 s  sp1 psn  p2   s  pn  llegar De
 s  p1   s  p2 
esta forma
a m / b n  s m   a m-1 / b n  s m 1 
  a1 / b n  s   a 0 / b n  puedo igualar con

Sacando
factor común

el polin. original
 s  p1  s  p2   s  pn 
(conocido)
Antitransf. por método de igualación de polinomios
Ejemplo 3: Luego de transformar un circuito, aplicar las leyes de
Kirchhoff y trabajar se llega a que la tensión en un elemento es:
17s 2  162 s  100
V  s  3
s  11s 2  10s
Calcular la evolución v(t).
Como primer paso analicemos las raíces del denominador:
D  s   s3  11s 2  10s
Lo primero que se ve es que tiene un polo en s =0 por lo que reescribimos:
D  s   s  s 2  11s  10   s  s  1 s  10
Entonces quisieramos escribir V(s) como:
A  s  1 s  10   B s  s  10   C s  s  1
A
B
C
V  s  


s  s  1  s  10 
s  s  1 s  10 
A s 2  11A s  10A  B s 2  10B s  C s 2  C s
Terminar !!!

s  s  1 s  10 
Antitransf. por método de los residuos
El método anterior es útil cuando las raices son reales distintas y no
más de tres o cuatro, ya que genera un sistema de ecuaciones de n x n
para determinar las n constantes. A su vez podríamos tener raíces
multiples ( s – pj )k y el método se vuelve más complicado.
b) Método de los residuos: Este método se basa en el Teorema integral
de Cauchy-Riemann y nos permite calcular las constantes según el tipo
de polo. Siendo,
a m s m  a m-1s m1 
 a 1s  a 0
X  s 
2
bn  s  p1  s  p2 
 s  pn 
• Para los polos simples:
K j  lim  s  p j  X  s 
s p j
• Para los polos múltiples:
K1k  lim  s  pk  X  s 
Kj
 K j e
s  p 
 K1k t  K2k  e p t
j
k
2
s  pk
K2k
d
2
 lim  s  pk  X  s  

s  pk ds 
K1k
 s  pk 
pj t
2

K2k
 s  pk 
Antitransformada con polos complejos conjugados
Para el caso en el que tengamos polos complejos conjugados (siempre
aparecen de a pares) podemos utilizar cualquiera de los 2 métodos
anteriores y las constantes que acompañen a las exponnciales temporales con exponente complejo tambíen serán complejas conjugadas.
Luego, habrá que usar la fórmula de Euler y trabajar las expresiones
para llegar a una forma real temporal.
N( s)
XC ( s) 
 x(t )  K e   j  t  K * e   j  t
 s  (  j)  s  (  j) 
Esto resulta trabajoso y por lo general es fácil cometer errores por lo
cuál cuando aparezcan polos complejos conjugados, haremos los
siguiente:
1) Separar la parte de X(s) que tiene polos complejos conjugados de la
parte que tiene polos reales, y que queden dos sumandos separados.
2) Trabajamos con la parte que tiene los polos complejos
b1 s  b0
b1 s  b0
XC ( s) 

 s  (  j)  s  (  j)   s     2   2
Antitransformada con polos complejos conjugados
Si observamos las filas 10 y 11 de la tabla de pares transformados de
Laplace y comparamos con nuestra expresión:
10.
11.
a
 s  b
2
 a2
sb
 s  b
2
a
eb t sin  at 
e cos  at 
bt
2
Xc  s  
b1 s  b0
 s     
2
 2
vemos que los denominadores son iguales ( b = - y a =  ) y el numerador lo podemos acomodar fácilmente sumando y restando lo que
necesitemos.
Ejemplo 4:
e4 t cos 50 t 
 4 / 50 e4 tsin 50 t 
Antitransformar
4
s 4  4
s4
4 50 50
V  s 


2 2
2
2
2
2
2
502
50
s

4
s

4

50
s

4

50
s

4

50




     50
Estrategia para resolver un circuito usando Laplace
1) Determinar las condiciones iniciales de los elemento almacenadores
de energía. Si sabemos que se alcanzó el régimen estacionario reemplazamos C por un circuito abierto y L por un corto para calcularlas.
2) Dibujar el circuito L-transformado reemplazando
I R  s
R
VR  s 
I L  s L s
iL  0 
s
IC  s  1/C s
vC  0 
s
VC  s 
VL  s 
y las fuentes transformadas de acuerdo a su ley temporal específica.
3) Resolver utilizando todas la herramientas conocidas para hallar la
variable de interes X(s) (ya sea una tensión o una corriente).
4) Antitransformar X(s) para hallar la evolución temporal x(t)
4) Estando el circuito de la figura en régimen permanente, en t = 0 se
cierra el interruptor. Reducir el circuito a una sola malla y determinar
la evolución temporal de vC(t).
15) En el circuito de la figura obtener la tensión v0(t), conociendo las
condiciones iniciales: iA(0) = iB(0) = 0,5 A ; vC(0) = 2 V. Utilizar algún
teorema para simplificar el cálculo
12) Hallar v(t) si la llave se abre en t = 0, luego de haber alcanzado
el régimen permanente.
11) En el siguiente circuito, la llave ha estado en la posición A por un
largo tiempo. En t=0 conmuta instantáneamente a la posición B.
Obtener la evolución de i0(t) para t≥0 seg.
.
1) Estando el circuito en régimen permanente, en t = 0 la llave
conmuta de la posición 1 a la 2. Hallar los valores de R, L, C y E que
hacen que i (t )  2.e 3 t cos  4t   5sen  4t     t 
El circuito de la figura ha permanecido mucho tiempo sin cambios
antes de que se cierren ambos interruptores en t = 0 seg.
Se desea obtener iR1(t) e iVS(t) para t > 0
R1
R1  10 
R2  5 
L
L  2,5 H
C
C = 0,2 F
iG  t   6   t 
vS  t   75   t 
iG  t 
R2
vS  t 
6) Dibujar el circuito L-transformado que permita hallar i1(t) si la
llave se cierra en t = 0.