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8.3.- APROXIMACIOIN DE LA DISTRIBUCION
BINOMIAL A LA NORMAL
Si la x se distribuye como una distribución binomial b(x;n,p),
cuando n aumenta sin restricción y p es moderado (n > 30 y
0.1 < p < 0.9) talque np sea constante; entonces b(x;n,p) se
aproxima a una distribución normal con media np y varianza npq.
Lím b(x;n,p) = n(x; np, np(1-p)) = n(x; μ, σ² )
n→ ∞
0.1 < p < 0.9
donde μ = np , σ² = np(1 –p)
Como en b(x;n,p); x es el valor de una v.a. discreta y en n(x;u, σ² );
x es el valor de una v.a. continua, se introduce el factor de
corrección de continuidad, que consiste en agregar ½ el límite
superior o quitar ½ el inferior; esto es:
P( x1≤ x ≤ x2 )=
x2
 b( x; n, p)  
x  x1
Donde z1 =
( x1  1 / 2)  np
np (1  p)
x2 1/ 2
x1 1/ 2
z2
n( x;  ,  )dx    ( z,0,1)dz
2
z1
( x2  1 / 2)  np
Z2 
np(1  p)
¿Cuál es l probabilidad de conseguir de 210 a 220 caras en 400
lanzamientos de una moneda no sesgada?
APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION DE POISSON A LA
DISTRIBUCION NORMAL
Si x1, x2, …..xn son variables aleatorias
independientes de Poisson cada una con
parámetro λ ,entonces :
X= Σ x i
Es una variable aleatoria de Poisson con
parámetros nλ entonces por el teorema
Central del Limite la variable aleatoria
X  n x  
Z


n
n
Tiene aproximadamente
una distribución
normal (0,1) para n suficientemente grande .
 La aproximación de la distribución de Poisson
a La Normal se mejora conforme aumenta el
valor de parámetro n λ, de la suma.
• En la practica se considera una aproximación
buena, cuando n λ es mayor que 5.
• Como la dist. Normal es continua y la dist. De
Poisson discreta, se debe usar el factor de
corrección por continuidad.
X  0.5  n
Z
n
Ejemplo 1
• El numero de vehículos que llegan por minuto
a la Caseta de peaje de ua determinada
autopista tiene una distribución de Poisson
con media µ= 2.5.
• Determinar la probabilidad que en cualquier
periodo dado de 10 minutos.
• a) Lleguen no más de 20 vehículos
• b) lleguen entre 20 y 30 vehículos inclusive
•
SOLUCION
• Sea X una variable aleatoria de Poisson
• X= x1+x2+x3……..x10 donde X es el numero
de vehículos que llegan por minuto :
• X → P(nλ, nλ ) donde nλ= 2.5*10 ≥5
entonces la dist. De Poisson se puede
aproximar a la distribución Normal
• σ= √25=5
• P( X ≤ 20) = P( X ≤20.5)  P( X  0.5  n )
n
20.5  25
p( Z 
)  P(Z  0.9)
25
= F(-0.9) = 0.184
b) P( 20 ≤ X ≤ 30) = F(1.1)- F(-1.1) = 0.7287
Ejemplo 2
• Las llamadas telefónicas que se reciben en un
conmutador de una industria llegan como
eventos de un proceso de Poisson a razon de
120 por hora .
• ¿ cual es la probabilidad que entren entre 110
y 125 llamadas inclusive entre las 9 y las 10
a.m. De cualquier dia? Rsp. =0.5230
DISTRIBUCIÓN 2 ( CHI –CUADRAD0
• Es un caso especial muy importante de la distribución
Gama, y se obtiene haciendo  = v/2 y  = v/2 , donde v es
un entero positivo obteniéndose una familia de
distribuciones de un paràmento con función de densidad
dado por:
• f(2 ) =
1
(2 ) v/2 -1 e (- 2)/2
•
2v/2  (v/2)
; 2 > 0
• Una variable 2 que tiene su función de densidad como la
anterior se dice que es una distribución Chi-cuadrado con
V grados de libertad denotado por 2(v) .
ESPERAZA Y VARIANZA
E[2] = v , y V[2 ] = 2 v
• La distribución Chi-cuadrado tiene muchas aplicaciones
importantes en inferencia estadística; debido a su
importancia esta graficado para diversos valores del
parámetro n , por lo tanto podemos encontrar el valor de
02 que satisface a la probabilidad :
• P( 2  2  ) =  y 0 <  < 1 donde 2 = (n-1) s2
2
• cuyos valores de los percentiles se encuentran tabulados en
una tabla al final de los textos de estadística .
• Como no existe simetría , las tablas presentan
los valores acumulados desde 2 = 0 hasta
• 2 =  : Se presentan básicamente dos tipos
de problemas :
A) Dados 1-  y V . encontrar
• Ejemplo:
• Si 1-  = 0.995 y v = 10 entonces
• 20 = 2
•
•
0.995 (10) = 25.2
Si 1-  = 0.005 y v = 2 entonces
20 = 2
0.005 (2) = 0.01
20
B) Dados  20
y V , encontrar 1- 
Ejemplo:
1) Si 20 = 23.2 y v = 10 entonces
1-  = P( 2  23.29 )= F(23.2) =0.99
2) Si 20 = 10.6 y v = 2 entonces 1-  =
P( 2  23.2) = F(10.6) =0.995
Si los valores no se encuentran en la tabla, se
acude a la interpolación lineal o se
escoge el valor más próximo
DISTRIBUCIÓN “ T “ DE STUDENTS
Sea Z una variable aleatoria normal estándar y V
una variable aleatoria chi - cuadrado con v grados
de libertad. Si Z y V son independientes entonces
la distribución de la variable aleatoria T dado por :
Z
T
1
V 2
( )
v
tiene la siguiente función de densidad
h(t) = ( ( v+1)/2) ( 1 + t2/v )( ( v/2) (v)1/2
(v+1)/2
; -  t  
Tiene una distribución t con v grados de
libertad el valor de la integral- :

 f (t ) dt = 1
-
CARACTERÍSTICAS
1) Gráfico de la distribución para diferentes
valores de v
Tiene una forma acampanada, simétrica con respecto al eje de las
ordenadas y asintótica al eje de las abscisas
Está por debajo de la curva normal estándar ( platicúrtica), si v crece
esto es
Lim f( t; v) = Normal Estándar
v
En algunos textos t se calcula a partir de t = x - 
donde s es la
1/2
desviación estándar de la muestra.
s/(n –1 )
Donde t es una v.a. que tiene la distribución t-student con v= n-1 grados
de libertad, S la varianza de Cochran
Si la muestra es grande ( n > 30) y la varianza poblacional es
desconocida entonces la varianza poblacional se estima a partir de
la varianza muestral y en vez de t se usa Z. Esto es válido aún cuando
la población no es normal
AREAS BAJO LA CURVA T
t1
Como P ( t0 < t < t1 ) =  f(t) dt
t0
Se encuentra tabulado al final de los libros de estadística
USO DE LA TABLA T STUDENT
CASO A: Dado 1 - y v Halla t0
1) Si 1 - = 0.005 y v = 15 entonces
-t0 = t0.995 (15) = - 2.95
2) Si 1 - = 0.995 y v = 15 entonces
t0 = t0.995 (15) = 2.95
3) Si  = 0.01 o si 1  = 0.99 , v = 2
entonces t0 = t0.99 (2 ) = 6.96
CASO B
Dado t0 y v encontrar 1 -
1) Si t0 = 2.602 y v = 15 entonces
1 - = p ( t < 2.60 ) = F(2.60) = 0.99
2) Si t0 = 63.66 , y v = 1 entonces
1 - = p ( t < 63.66 ) = F(63.66) = 0.995
3) Si - t0 = - 0.142 y v = 2 entonces
1 -  = p ( t < - 0.142 ) = F(- 0.142)
= 1-F( 0.142 ) = 1 – 0.55 = 0.45
PROBLEMA :
Al someter a prueba una tarjeta de video de
computadora se obtiene las siguientes
duraciones en horas: 28,15,19,30,23 se sabe
los tiempos de duración de las tarjetas se
distribuye normalmente. ¿Cuál es la
probabilidad de que la media poblacional se
desvíe de la media muestral en 4 horas?
SOLUCION
n=5 s=6.05
v=n-1= 5-1=4
x
4
p(  x  4)  P (

 1.44 )  t (1.44)(4)  0.888
s
6.205
n 2.236
FIN DEL
CAPITULO