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Décima Sesión
Átomo de Hidrógeno
(Hidrogenoides)
Átomos Hidrogenoides
• Los átomos son esféricamente
simétricos.
• Para una esfera en coordenadas
cartesianas:
x2+ y2 + z2=cte.
• En cambio, en coordenadas
esféricas polares:
r=cte.
Átomos Hidrogenoides
• Por lo tanto, conviene expresar los
problemas atómicos en coordenadas
esféricas polares, o para los cuates
coordenadas polares.
Latitud
Longitud
Altura sobre
el nivel del
mar
x = r sen cos
y = r sen sen
z = r cos
Cartesianas
• Coordenadas cartesianas o
rectangulares: 3 distancias.
-  x  
-  y  
-  z  
Esféricas polares
• Coordenadas
esféricas
polares o
simplemente
polares: 2
ángulos y una
distancia.
0r
0    2
0
Hidrogenoides
• El núcleo está fijo en el centro y el que
se mueve es el electrón, o sea vamos a
tener una función de onda
monoelectrónica.
• La función de onda depende entonces
de r,  y :
Ψ(r, , )
• Y tenemos que escribir la ecuación de
Schrödinger en coordenadas esféricas
polares.
 (r,  ,  )
Ĥ (r,  ,  )  E (r,  ,  )
 2 2

Ĥ  
  V̂(r, ,  )
 2m

 2 2

Ĥ  
  V̂(r )
 2m

• El operador de energía potencial,
solo depende de r, porque es central.
• Necesitamos un operador de Laplace
en coordenadas esféricas polares.
2
2
2
  2 2 2
x
y
z
2
1  2 
1
 
 
1
2
  2 r

 sen

r r  r  r 2sen  
  r 2sen 2  2
2
1   2  
1
 
 
1
 2 2m e Ze 2 
 2 
 2
 sen
 2 2
 2 r
  (r,  ,  )  E (r,  ,  )
2
r

r

r
r
sen





r
sen




r






 (r,  ,  )  R(r)  ( )   ( )
Z2e 4 m e  1 

E;
n

Z
 2
2
2  n 
nlm (r,  ,  )  R nl (r)   lm ( )   m ( )
nlm (r,  ,  )  R nl (r)  Ylm ( ,  )
Orbital
• A una función de onda
monoelectrónica, se le llama orbital.
• Un orbital es una función de onda de un
electrón.
• En el orbital aparecen 3 números
cuánticos n, l, m (uno por cada
restricción al movimiento).
nlm (r, , )  R nl (r)  Ylm ( , )
• Los orbitales tiene una parte
radial y una parte angular.
• Los valores de n condicionan el
valor de l y los de l condicionan
los de m.
Números cuánticos
• n – número cuántico principal.
• l – número cuántico azimutal.
• m – número cuántico magnético.
Números cuánticos (2)
• n es un entero positivo.
• n puede tomar los valores 1,2,3,4…etc.
• l puede valer números enteros desde 0
hasta n-1.
• m puede valer números enteros desde –l
hasta + l
Energía
Z e me  1 

E 2 ; n  Z
2
2  n 
2 4
• La energía solo depende del
número cuántico principal n.