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FISICA II
VIBRACIONES MECANICAS
PRESENTADO POR
OPTACIANO VÁSQUEZ GARCÍA
Docente de la Facultad de Ciencias de la
UNASAM
2010
OBJETIVOS
Después de finalizada esta unidad el alumno
será capaz de
• Aplicar las leyes de Newton al estudio de las
vibraciones mecánicas
• Discriminar las diferentes
vibraciones que aparecen en
mecánica
• Resolver
ejemplos
de
vibraciones mecánicas
• Realizar
prácticas
de
laboratorio para estudiar las
vibraciones mecánicas
II. INTRODUCCIÓN
• Una vibración es la oscilación repetida de una partícula o
cuerpo rígido en torno a una posición de equilibrio.
• En muchos dispositivos es conveniente que haya
vibraciones y se generan deliberadamente por ejemplo el
péndulo de un reloj, el vibrador usado para el proceso de
compactación.
• En tales problemas el ingeniero tiene por misión crear y
regular dichas vibraciones
II. INTRODUCCIÓN
• Sin embargo, en otros elementos las vibraciones no
son deseables por ejemplo en las máquinas rotatorias
y en las estructuras, las vibraciones son nocivas.
• Si no se equilibran pueden causar molestia y a veces
dañar las estructuras.
• Las vibraciones que producen en las estructuras a
causa de los terremotos o de la circulación próxima de
vehículos puede dañar a aquella e incluso destruirla.
• Por ello el ingeniero debe tratar de eliminar las
vibraciones o al menos reducirlas por ello debe realizar
un proyecto adecuado
II. INTRODUCCIÓN
• En las figuras se muestran algunos ejemplos de vibraciones.
• La característica común de estos ejemplos es que sobre el
cuerpo se ejercen fuerzas recuperadoras que le hacen volver
a su posición de equilibrio
II. INTRODUCCIÓN
 En muchos casos, la posición o movimiento puede quedar
especificada completamente con una sola coordenada por
ejemplo X, y o . En este caso se dice que los cuerpos
tienen un solo grado de libertad.
 En otros casos el cuerpo puede vibrar independientemente
en dos direcciones o cuando se conectan dos cuerpos que
vibran independientemente en una dirección.
 En esta unidad solo estudiaremos sistemas con un grado
de libertad
II. INTRODUCCIÓN
 En la figura podemos ver graficas del desplazamiento
respecto a la posición de equilibrio en función del tiempo.
 Las oscilaciones que se repiten uniformen te se llaman
periódicas y las que o se repiten se llaman aleatorias o
aperiódicas.
II. INTRODUCCIÓN
 Una característica importante de una oscilación
periódica es su período () definido como el
intervalo de tiempo que ha de transcurrir para que
se repita el movimiento.
 Al movimiento que se completa durante un
período se llama ciclo .
 El período se expresa en segundos y a la inversa
se llama frecuencia f , definida como el número de
ciclos por segundo y se expresa en Hertz (Hz).
 En esta unidad estudiaremos las vibraciones de un
solo grado de libertad aplicando las leyes de
Newton
III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
 Consideremos una partícula de
masa sujeta a un resorte ideal
de rigidez k tal como se
muestra en la figura.
 Si el movimiento descrito por m
es vertical, la vibración es de un
solo grado de libertad.
 Si se aplica las ecuaciones de
equilibrio al DCL, se tiene
F
x
0
mg  k st  0
(1)
III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
 Si ahora se desplaza a m un
desplazamiento xm menor que
δst desde la posición de
equilibrio y se suelta sin
velocidad inicial la partícula se
moverá hacia arriba y hacia
abajo alrededor de la posición
de equilibrio generando de esta
forma una vibración libre.
 Para determinar las ecuaciones
que gobiernan a la vibración
consideremos a la partícula en
una posición arbitraria x
medida a partir de la posición
de equilibrio como se muestra
III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
 Aplicando la segunda ley de
Newton en dirección x resulta
  Fx  max
mg  k  st  x   mx (2)
 Al remplazar la ecuación (1) en
(2), resulta
mx  kx  0
(3)
 Esta ecuación se conoce como
movimiento armónico simple y
se caracteriza por que la
aceleración es proporcional y
de
sentido
opuesto
al
desplazamiento
III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
 La
ecuación
(3)
escribirse en la forma
puede
x  n x  0 (4)
 En donde ωn se denomina
frecuencia natural circular o
pulsación natural, y se expresa
k
n 
m
 La solución de la ecuación
diferencial lineal de segundo
orden
con
coeficientes
constantes dada por la ecuación
(4) es de la forma
x  Asen nt   B cos nt 
III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
 A veces es conveniente expresarla en la forma
x  xm sen nt   
 La cantidad xm se le denomina amplitud de la vibración, el
ángulo φ se denomina ángulo de fase, t es el tiempo.
 La frecuencia natural y el período están dados por
2
m

 2
n
k
1
1
f  
 2
k
m
III. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
 La graficas velocidad y aceleración en función del tiempo
pueden ser expresadas en la forma
x  xm sen nt   
vx
 xmn cos nt   
x  xmn sin nt     2 
ax
  xm sin nt   
2
n
x  xmn2 sin nt     
Graficas x-t, v-t y a-t para un MAS
x  xm cos(t   )
T
2π
 0

v   xm sin( t   )
xm
 xm
xm
T
v
2
x

a   xm cos(t   ) m
o
 xm 2
a
t
v t
o
2
 xm cos(t    π)
x t
o
π
 xm cos(t    )  x 
m
2
2
x
T
t
T
t
a t
IV.
ENERGIA EN MAS
 Cuando un resorte es
comprimido o estirado por
un agente externo, la
energía es transferida del
agente al resorte.
 La energía ganada por el
resorte
se
denomina
energía potencial elástica.
 Esto implica que un
resorte
comprimido
o
estirado puede realizar un
trabajo sobre un objeto
IV.
ENERGIA EN MAS
 Para un resorte ideal de
constante k que ha sido
comprimido o estirado en
una cantidad x respecto a su
longitud sin deformar la
energía potencial se expresa
1 2
E p ,e  kx
2
 La energía total esta dada
por
E  Ek  EP
1 2 1 2
E  mv  kx
2
2
IV.
ENERGIA EN MAS
 Cuando la energía mecánica
se conserva la energía
potencial se transforma en
energía cinética y viceversa
 Así por ejemplo cuando la
energía cinética es máxima,
la energía potencial es
mínima (cero) y cuando la
energía potencial es máxima,
la energía cinética es mínima
IV.
ENERGIA EN MAS
• La energía en cualquier posición será
IV.
ENERGIA EN MAS
• En general un objeto unido a un resorte puede tener un
movimiento de traslación y rotación, por tanto habrá una
energía potencial elástica y gravitacional más una energía
cinética, entonces la energía mecánica se escribe
E = ½ m v2 + ½ I ω2 + m g h + ½ k x2
Si el trabajo neto hecho
por las fuerzas no
conservativas es nulo,
entonces se conserva la
energía mecánica
V.
PENDULO SIMPLE
• Un péndulo simple se define como una partícula de masa
m suspendida de un punto fijo por medio de una cuerda de
longitud l y de masa despreciable como se muestra en la
figura. Si la partícula se desplaza un ángulo θ0 de su
posición de equilibrio y luego se suelta, el péndulo oscilará
simétricamente respecto a su posición de equilibrio.
V.
PENDULO SIMPLE
• En la figura se muestra el
DCL y cinético de la masa
pendular
 Ft  mat
W sin   ml
g
  sin   0
l
• Para ángulos pequeños
• Aplicando las ecuaciones de
movimiento se tiene
g
   0
l
   m sin nt   
n 
2
n
 2
l
g
V. PENDULO SIMPLE (SOLUCIÓN EXACTA
Una solución exacta para
Es decir
n  4

l
g
g
sin   0
l
 2

0
d
1  sin 2  m 2  sin 2 
La cual da una solución .
2K 
l 
n 
 2

 
g 
VI. PENDULO FÍSICO
• Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones finitas
que oscila alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por
un punto del cuerpo debido a la acción de la fuerza
gravitacional (peso). El cuerpo rígido oscilará en un plano
vertical cuando se le separe de su posición de equilibrio un
ángulo θ0 y se suelte.
VI. PENDULO FÍSICO
• Para deducir las ecuaciones que gobiernan al péndulo
físico consideremos un cuerpo rígido en forma de barra de
sección rectangular AB de masa m, suspendida de un eje
transversal que pasa por el punto S, tal como se muestra
en la figura
VI. PENDULO FÍSICO
• Aplicando las ecuaciones de movimiento
de rotación
 M S  I S
mghsen  I S
• Donde IO es el momento de inercia del
cuerpo con respecto al punto O y  es
la aceleración angular, el signo menos
se debe a que el peso produce un
momento de restitución.
mgh

sen  0
IS
• Esta ecuación diferencial es no lineal,
por lo que no corresponde a una
ecuación diferencial de un movimiento
armónico.
VI. PENDULO FÍSICO
• Para desplazamientos angulares θ
pequeños, la función trigonométrica
sen  , donde θ se expresa en
radianes. Por tanto la ecuación
diferencial se escribe
mgh

 0
IS
• Esta ecuación es la ecuación diferencial
de un movimiento armónico simple,
movimiento en el cual la aceleración
angular es directamente proporcional al
desplazamiento angular y de dirección
opuesta. La solución de dicha ecuación
diferencial es de la forma
  t   max sen nt   
VI. PENDULO FÍSICO
• Donde las constante θmax y φ se
determinan de las condiciones iniciales
y n es la frecuencia natural circular
expresada por
2 mgh
n 
T
• El período del MAS será

IS
IS
T  2
mgh
• A veces es conveniente expresar IS en
términos del momento de inercia del
cuerpo con respecto a un eje que pase
por su centro de gravedad IG, para ello
se usa el teorema de los ejes paralelos,
esto es
I S  I G  mh
2
VI. PENDULO FÍSICO
• Donde h es la distancia entre los dos
ejes. Por otro lado, el momento de
inercia también puede expresarse en
función del radio de giro KG, en la forma
2
G
G
• Entonces el momento de inercia se
escribe
I  mK
I S  mK  mh  m  K  h
2
G
2
2
G
2

• Es decir el período del péndulo puede
expresarse en la forma
K h
T  2
gh
2
G
2
VI. PENDULO FÍSICO
• La ecuación del período expresa el período del péndulo
físico en términos de la geometría del cuerpo. Es decir, el
período es independiente de la masa, dependiendo sólo de
la distribución de masa KG. Por otro lado, debido a que el
radio de giro de cualquier cuerpo es constante, el período
del péndulo en función sólo de h. La comparación de entre
los períodos de un péndulo compuesto y un simple nos da
K h
K
L
 h
h
h
2
G
2
2
G
• Algunas veces es conveniente especificar la localización del
eje de suspensión S en términos de la distancia d medida
desde uno de los extremos de la barra, en lugar de su
distancia h medida desde el centro de masa.
VI. PENDULO FÍSICO
• Si las distancia d1, d2 y D son medidas desde el extremo
superior, la distancia h1 debe ser considerada negativa ya
que h es medida desde el centro de gravedad. De esta
forma, si D es la distancia fija desde el extremos superior A
de la barra al centro de gravedad G,
d1  D  h1 d1  D  h2
en general, d  d  h
• El período se escribe en la forma
T  2
K  d  D
2
G
g d  D
2
VI. PENDULO FÍSICO
• Cuando el período T es trazado como función de d, son
obtenidas un par de curvas idénticas SPQ y S’P’Q’ como se
muestra en la figura. El análisis de estas curvas revela varias
propiedades interesantes y observables del péndulo físico.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Un bloque de 50 kg se mueve entre guías
verticales como se muestra. Se separa 40 mm
hacia debajo de su posición de equilibrio y se
abandona desde el reposo. Determine el período
de vibración, la velocidad y aceleración máxima
del bloque en cada uno de los esquemas
representados
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Una masa de 2 kg está suspendida
en un plano vertical por tres
resortes, según se muestra en la
figura. Si el bloque se desplaza 5
mm hacia abajo a partir de su
posición de equilibrio y se suelta
con una velocidad hacia arriba de
0,25 m/s cuando t = 0. Determinar:
(a) La ecuación diferencial que rige
al movimiento, (b) El periodo y la
frecuencia de la vibración, (c) La
posición de la masa en función del
tiempo y (d) El menor tiempo t1 > 0
del paso de la masa por su posición
de equilibrio
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Una charola A está unida a tres resortes como se
muestra en la figura. El período de vibración de la
charola vacía es de 0,75 s. Después de que el
resorte central C se ha suprimido se observa que
el período es de 0,9 s. Si se sabe que la constante
del resorte central es 100 N/m. Determine la
masa m de la charla.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Las dos masas de la figura se deslizan por sendas
superficies horizontales exentas de fricción. La barra ABC
está en posición vertical en el equilibrio y su masa es
despreciable. Si los resortes están sometidos a tracción en
todo momento, escribir la ecuación diferencial del
movimiento para la posición X(t) de la masa de 10 kg y
determinar la frecuencia y el período de la vibración
resultante. (Supóngase oscilaciones de pequeñas
amplitudes).
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Una barra uniforme AB de 0,75 kg de masa está articulada
en A y unida a dos resortes, ambos de constante elásticas k
= 300 N/m. Halle: (a) la masa m del bloque C para que el
período de las pequeñas oscilaciones sea T = 0,4 s, (b) Si el
extremo se desplaza 40 mm y se suelta desde el reposo,
halle la velocidad máxima del bloque C.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Un bloque de 25 kg está soportado por un cable, que se
enrolla sobre un disco circular de 35 kg y 0,5 m de radio
y está sujeto a un resorte como se muestra en la figura.
Se tira el bloque hacia abajo 0,2 m desde su posición de
equilibrio y se suelta. Determine: (a) la ecuación
diferencial para el movimiento del bloque, (b) el período
natural de la vibración y (c) la velocidad máxima del
bloque.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Un cilindro escalonado de 3 kg se mantiene sobre un
plano inclinado mediante un resorte cuya constante es k =
400 N/m. El radio de giro del cilindro con respecto a su
centro de masa es KG = 125 mm; los radios son r1= 100
mm y r2 = 200 mm. Determine: (a) La ecuación
diferencial del movimiento del carrete, (b) El período y la
frecuencia para pequeñas oscilaciones.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Los dos bloques mostrados en la figura se deslizan por
sendas superficies horizontales sin fricción. Las barras de
conexión tienen peso despreciable y en la posición de
equilibrio, ABC está vertical. Supóngase oscilaciones de
pequeña amplitud y determine. (a) la ecuación diferencial
del movimiento del bloque de 75 N y (b) la pulsación
propia de la oscilación.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Un bloque que pesa 100N se desliza por una superficie horizontal
sin fricción como se muestra. Los dos resortes están sometidos a
tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin
rozamiento. Si se desplaza el bloque 75 mm hacia la izquierda
de su posición de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25
m/s hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) La ecuación
diferencial que rige el movimiento; (b) El período y la amplitud
de la vibración, (c) La posición del bloque en función del tiempo
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Una esfera A de 400 g y una
esfera C de 280 g están unidas a
los extremos de una varilla rígida
de masa despreciable que puede
girar en un plano vertical
alrededor de un eje que pasa por
B. Hallar el período de las
pequeñas oscilaciones de la
varilla.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin
deslizar por un plano inclinado 15º. A su
perímetro está sujeta una correa y un muelle lo
mantiene en equilibrio como se muestra. Si el
cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se
suelta. Determinar: (a) El período de la
vibración, (b) La aceleración máxima del centro
del cilindro
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Un peso de 6 kg pende de
un cilindro de 4 kg como se
muestra
en
la
figura,
mediante un pasador sin
fricción que pasa por su
centro. Escriba la ecuación
diferencial del movimiento
para la posición YG(t) del
centro de masa del cilindro y
determine el período y la
frecuencia del movimiento
vibratorio resultante
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Una barra uniforme esbelta
de 3 kg está atornillada a un
disco uniforme de 5 kg. Al
disco está sujeto un muelle
de constante 280 N/m que
está sin deformar en la
posición representada. Si el
extremo B de la varilla recibe
un pequeño desplazamiento
a la izquierda y se suelta,
halle el período de la
vibración del sistema.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Un cilindro uniforme de 4 kg
pende en un plano vertical
en el seno de un hilo ligero,
como se muestra en la
figura. Si el cilindro de 250
mm de radio no se desliza
por el hilo, escribir la
ecuación
diferencial
del
movimiento para la posición
YG(t) del centro de masa del
cilindro y determinar el
período y la frecuencia de la
vibración resultante.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• La barra uniforme AB de 8
kg está articulada en C y
sujeta en A a un resorte de
constante K = 500N/m. Si el
extremo
A
recibe
un
pequeño desplazamiento y
se suelta, hallar: (a) La
frecuencia de las pequeñas
oscilaciones, (b) El mínimo
valor de la constante K del
resorte para el que habrá
oscilaciones.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Dos barras uniformes cada
una de masa m =12 kg y
longitud L = 800 mm, están
soldadas
formando
el
conjunto que se muestra.
Sabiendo que la constante
de cada resorte K = 500N/m
y que el extremo A recibe un
pequeño desplazamiento y
luego se suelta, determine la
frecuencia del movimiento
subsiguiente.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Determine la pulsación natural ωn del sistema
mostrado en la figura. Se desprecian la masa
de las poleas y el rozamiento en ellas.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Si los dos resortes están sin deformar cuando la
masa se halla en la posición central representada,
determine el desplazamiento estático de la misma,
¿Cuál es el período de las oscilaciones en torno a
la posición de equilibrio?.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en A a un
soporte fijo mediante los pasadores B y C a un disco de 12
kg y 400 mm de radio. El muelle sujeto en D mantiene el
equilibrio de la barra el a posición representada. Si el
punto B se mueve 25 mm hacia abajo y se suelta, halle:
(a) el período de la vibración, (b) la velocidad máxima del
punto B.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Hallar el período T del sistema si la pieza
articulada AB de masa m2 está horizontal en la
Posición de equilibrio estático representada. El
radio de giro de AB con respecto a O es K0 y su
centro de gravedad está ubicado en el punto G.
Suponga pequeñas oscilaciones.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3
kg. Halle la posición x en que debe encontrarse el
cursor de 1 kg de masa para que el período del
sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeñas
oscilaciones en torno a la posición horizontal de
equilibrio representada.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Una barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por un
pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A está
conectada a un bloque DE de 2 kg, que puede rodar sin
deslizar, unido a un muelle. Sabiendo que ambos muelles
pueden trabajar a tracción o a compresión, determine la
frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema
cuando la barra se gira levemente y s suelta.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Una masa de 4 kg está
suspendida en un plano vertical
según se muestra. Los dos
resortes están sometidos s y
tracción en todo momento y las
poleas son pequeñas y sin
fricción. Si se lleva a la masa a 15
mm por encima de su posición de
equilibrio y se suelta con una
velocidad de 750mm/s hacia
abajo cuando t = 0. Halla: (a) La
ecuación que rige al movimiento,
(b) el periodo y la amplitud de la
vibración resultante, (c) la
posición de la masa en función
del tiempo.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Un cilindro de masa m y radio R está
conectado con muelles idénticos de constante
k y gira sin rozamiento alrededor del punto O.
Para pequeñas oscilaciones, ¿cuál será la
frecuencia natural?. El cordón que soporta a
W1 está enrollado alrededor del cilindro.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Hallar la frecuencia natural fn
de las oscilaciones verticales
del cilindro de masa m.
despreciar la masa del
cilindro escalonado y el
rozamiento del mismo.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Una barra de 1 m de
longitud y 120 N de peso se
mantiene en posición vertical
mediante
dos
muelles
idénticos cada uno de los
cuales tiene una constante k
igual a 50 000 N/m. ¿Qué
fuerza vertical P hará que la
frecuencia natural de la
barra alrededor de A se
aproxime a un valor nulo
para pequeñas oscilaciones.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• El hilo ligero atado al bloque
de 50 N de la figura está
arrollado a un cilindro
uniforme de 35 N. Si el hilo
no se desliza por el cilindro,
escribir
la
e.
D
del
movimiento para la posición
y(t) del bloque de 50 N y
determine el período y la
frecuencia de la vibración
resultante.
•
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Una partícula de masa m, esta soportada tal como
se muestra, a dos alambres fuertemente tensos.
Determine la pulsación natural n de las pequeñas
oscilaciones verticales del sistema bajo la hipótesis
de que la tracción T en ambos alambres se
mantiene constante. ¿Es necesario calcular el
pequeño desplazamiento estático de la partícula?
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• La boya cilíndrica flota en
agua salada (densidad,
1030 kg/m3) y tiene una
masa de 800 kg con un
centro de masa bajo para
que se mantenga estable
en la posición vertical.
Hallar la frecuencia fn de
sus oscilaciones verticales.
Suponga que la superficie
del
agua
permanece
tranquila
en
sus
proximidades.
VII. EJEMPLOS DE APLICACIÓN
• Con la ausencia de deslizamiento, hallar la masa m del
bloque a colocar encima del carrito de 6 kg para que
el período del sistema sea 0,75 s. ¿Cuál es el
coeficiente de rozamiento estático mínimo s del
sistema para el cual el bloque no resbala sobre el
carrito cuando éste se aparta 50 mm de su posición
de equilibrio y luego se suelta?.
•Metadatos
•Uso de archivo global
http://www.walterfendt.de/ph14s/index.html
http://www.dailymotion.com/
video/x6m8cf_resonanciamagnetica_school
http://www.colegioheidelberg.com/deps
/fisicaquimica/applets/OscilacionesMA
S/oscilacionestotal.htm