Download CONOCIENDO MÁS DE LOS TRIANGULOS

EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN
IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA:
“NADIE ENTRA SIN SABER
GEOMETRÍA”
CONOCIENDO MÁS
DE LOS
TRIÁNGULOS
Triángulo....
Más que un polígono de tres
lados...
Postulado de existencia de un triángulo, llamado también
desigualdad triangular
Un triángulo queda determinado cuando
ocurre que la suma de las medidas de dos de sus
lados es siempre mayor que el tercer lado o la
diferencia de las medidas de dos de sus lados es
siempre menor que el tercer lado.
Clasificación de triángulos
Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser:
1) Equilátero.
2) Isósceles.
3) Escalenos.
Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser:
1) Acutángulos (ángulos internos agudos).
2) Rectángulos (un ángulo recto).
3) Obtusángulos (un ángulo obtuso).
Triángulo isósceles
C
b
a
A
a
B
 Isósceles: se
denomina al triángulo
que posee dos lados
iguales (AC y BC) y
uno desigual, este se
llama base (AB) y son
los ángulos que se
encuentran en sus
extremos los
idénticos. (ángulos a)
Triángulo equilátero.
 Equilátero: es el
único triángulo
regular; o sea tiene
sus tres lados
iguales y por ende
sus tres ángulos
miden lo mismo
(60° cada uno).
C
60°
60°
A
60°
B
Triángulo escaleno.
 Escaleno: se
denomina al
triángulo que posee
sus tres lados
diferentes y por
ende, sus ángulos
también lo son.
C
c
a
A
b
B
Otra clasificación es...
 Según sus ángulos.
 Pero para eso
debes saber que la
suma de los tres
ángulos interiores
de cualquier
triángulo es 180°.
57°
35°
88°
Triángulo obtusángulo.
46°
105°
29°
 Obtusángulo: se le
llama al triángulo
que tiene uno de sus
ángulos interiores
obtuso; o sea uno de
ellos mide más de
90°.
Triángulo acutángulo.
 Acutángulo: se
denomina al
triángulo que posee
sus tres ángulos
interiores agudos o
sea, cada uno de
sus ángulos miden
menos de 90°.
47°
59°
74°
Triángulo rectángulo
 Rectángulo: se
denomina al triángulo
que posee uno de sus
ángulos interiores
recto o sea, mide
90°.
 Los lados que forman
el triángulo recto
reciben el nombre de
catetos y, el tercer
lado, o sea, el
opuesto al ángulo
recto se le llama
hipotenusa.
A
c
b
C
a
B
Rectas y puntos notables en el triángulo
(elementos secundarios)
Las rectas secundarias en el triángulo son:
1. Altura
2. Bisectriz
3. Mediana
4. Simetral
5.Transversal de gravedad
ALTURA DE TRIANGULOS
Se llama altura de un triangulo al segmento
perpendicular a cada lado que se une con el vértice
opuesto
La altura se designa con una h
BISECTRIZ DE UN TRIANGULO
Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un
ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada
ángulo, que se nombran generalmente con una letra griega
El punto donde se cortan se llama incentro
C
bb
ba
I
A
B
bc
ba  bb  bc = { I
}
I = incentro
La propiedad de la mediana consiste en que cada
mediana trazada en el triángulo es paralela al tercer lado
y además la medida de su longitud corresponde a la mitad
de la longitud del lado paralelo.
Como corolario (consecuencia de lo anterior) al trazar
las tres medianas en un triángulo, éste se subdivide en 4
triángulos congruentes y semejantes al triángulo inicial.
MEDIANA DE TRIANGULOS
Se llaman medianas de un triangulo a los
segmentos determinados por cada vértice y el
punto medio del lado opuesto
Las medianas se cortan siempre en un punto
interior del triangulo.
El punto donde se cortan las medianas se llama
baricentro
Simetral
Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de
cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el
lado al cual dimidian.
F
Sa  Sb  Cc = {
C}
C=
circuncentro
Se
Sd
C
D
E
Sf
Transversal de Gravedad
Corresponde a un trazo que está determinado por el
vértice y el punto medio del tercer lado.
C
S
T
 GT
A
R
B
La propiedad está dada por el punto G o baricentro que
determina en cada transversal dos segmentos menores que están
en razón 2 : 1
Teoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo
Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si , y  son ángulos
interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º.
R
C
S
L1


A

B
Hipótesis:
Tesis:
, y  ,ángulos interiores del triángulo ABC
 + +  = 180º
Demostración:
Afirmación
Justificación
1)
L1 // AB
V postulado de Euclides.
2)
m RCA +  + m  SCB = 180º
son ángulos adyacentes que están a
un mismo lado de la recta.
3)
m  RCA = 
son ángulos alternos internos entre
paralelas.
4)
m  RCB = 
son ángulos alternos internos entre
paralelas.
5)
 +  +  = 180º
reemplazando 3 y 4 en 2.
Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de
360º.
’
C


A
’

’
B
Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un
triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no
adyacentes a él.
’
C


’
A

’
B
Relaciones Métricas en el Ángulo
•Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida
de la hipotenusa.
6 cm
(a)
x
8 cm (b)
Cateto a
Cateto b
3
4
6
8
9
12
12
16
15
20
18
24
Hipotenusa
Teorema de Pitágoras
Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los
cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido
sobre la hipotenusa.
a2 + b2 = c 2
Observación:
Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por
cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que
satisfacen la relación pitagórica
32
+
42
= 52
9
+ 16
= 25
25
= 25
Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de
triángulos.
Postulado
En un triángulo cualesquiera se cumple siempre que un ángulo menor
se opone al lado menor, o bien a un ángulo mayor se opone un lado mayor
Actividad 3: Considerando los lados obtenidos anteriormente compare la
suma de a2 + b2 con c2.
Conclusión: a través del teorema de Pitágoras es posible reconocer el tipo
de triángulo.
En el triángulo rectángulo
c2 = a2 +
b2.
En el triángulo obtusángulo c2 > a2 + b2.
En el triángulo acutángulo c2 < a2 + b2.
Propiedades de la semejanza de triángulos
Entre las propiedades que se establecen para semejanza
de triángulos se encuentran:
Propiedad Reflexiva o Idéntica.
Todo triángulo se considera semejante a sí mismo, esto es ∆ ABC ~ ∆ ABC
Propiedad Simétrica o Recíproca.
Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero.
Si ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’  ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC
Propiedad transitiva.
Si un triángulo es semejante a un segundo y éste es semejante a un tercero,
entonces el tercero es semejante al primero.
Si ∆ ABC ~∆ A’B’C’  ∆ A’B’C’ ~ ∆ RST  ∆ ABC ~ ∆RST
TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS
SEMEJANTES
 “Toda paralela a un
lado de un triangulo
forma con los otros
dos lados un
triangulo semejante
al primero
 1Posición
 2Posición
3Posición
LOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADES
 1° TEOREMA: En todo
triángulo isósceles, la
bisectriz correspondiente al
ángulo del vértice es la
altura, transversal de
gravedad y simetral
 HIPOTESIS:
 ABC Isosceles
 CD = b
 2° TEOREMA: En todo los
triángulos isósceles, los
ángulos básales son iguales
 HIPOTESIS:
 ABC ISOSCELES
__
CD =
tC
 3° TEOREMA: En
todo triángulo, el
ángulo mayor se
opone al lado mayor
 HIPOTESIS:
 ABC cualquiera
__ ___
CD> CB
 4°TEOREMA: TODO




LADO DE UN TRIANGULO
CUALESQUIERA ES MENOR
QUE LA SUMA DE LOS
OTYROS LADOS
HIPOTESIS:
ABC cualquiera
TESIS:
___ ___ ____
 AB < AC + BC
 5° TEOREMA: Todo
lado de un triangulo
cualquiera es mayor
que la diferencia de
los otros lados.
 HIPOTESIS:
 ABC cualquiera
 TESIS:
 ___ ___ ___
 AB> AC + BC
 PODEMOS DARNOS CUENTA QUE
 A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA
TODO
 LO QUE ESTA EN NUESTRO
 ENTORNO TIENE SENTIDO .


FIN