Download Sin título de diapositiva

4. Fonones:
Vibraciones Cristalinas
• Bibliografía: Kittel, cap. 4.
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
1
VIBRACION ELASTICA EN MEDIOS CONTINUOS
Ecuacion de Onda para ondas elasticas medio lineal homogeneo,
Ey modulo de elasticidad,  densidad del medio
Solucion de la forma, ondas viajeras
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
2
Desplazamiento Atómico en una red
• Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están

dadas por:



R  ha1  ka2  la3
• Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y
supondremos un sistema de coordenadas ortogonal.
• Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene
posición R.
• El desplazamiento del átomo i se puede escribir como




Ri  ui a1  vi a2  wi a3
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
3
Desplazamiento Atómico
• Cuando onda plana se
propaga por el cristal, los
planos atómicos se mueven
en fase paralelos o
transversales a la dirección de
propagación.
• Problema se vuelva 1D: para
cada k (vector de onda) hay 3
modos de vibración:
– 1 de polarización
longitudinal
– 2 de polarizaciones
transversales
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
4
Energía y Fuerza debido a los
Desplazamientos
• La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados res
pecto de sus posiciones de equilibrio
• El cambio de energía puede escribirse en función de la posición
de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN)
• El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de
Hooke (límite armónico).


1
E  Eo   Ri Cij R j  
2 i, j
(No hay términos lineales si se expande en torno a las
posiciones de equilibrio.)
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
5
Energía y Fuerza debido a los
Desplazamientos
• La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es:

dE
Fs   
dRs
• De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como


Fs   Csj R j
j
Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el
átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de
la constante de fuerza de un resorte).
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
6
Cadena Lineal monoatomica
• Consideremos una línea de átomos.
• Entonces, la fuerza sobre atomo s es:
dE
Fs  

du s
 u
s
 u s i 
i
• Considerando sólo las interacciones con primeros vecinos mas
cercanos:
Fs   u s  u s 1   u s  u s 1    us 1  u s 1  2u s 
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
7
Oscilaciones de una Cadena Lineal
• Ley de Newton (ecuación de movimiento):
M
d 2u s
dt
• Dependencia temporal:
2
 Fs   u s 1  u s 1  2u s 
us (t )  us exp( it )
luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos:
 M 2us   us 1  us 1  2us 
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
8
Oscilaciones de una Cadena Lineal
• Solucion de la forma
us  u exp( ik (sa))
us 1  u exp( iksa) exp( ika)
 M 2 u s   u s 1  u s 1  2u s 
 M 2   exp( iKa)  exp( iKa)  2
2
2
1  cos(Ka) 
 
M
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
9
Oscilaciones de una Cadena Lineal
2
1  cos(Ka)
 
M
2
Una forma más conveniente es:
2 
•
Finalmente:
4
 ka 
sen 2  
M
 2 
cos(x)  cos ( x / 2)  sen ( x / 2)  1  2sen ( x / 2)
2
2
2
1
2
1

  2  sen( ka)
2
M 
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
10
Oscilaciones de una Cadena Lineal
• La solución para cada
oscilador con vector de
onda k y frecuencia
1
2
1

 sen( ka)
2
M 
k  2
Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a)
• Relación de k en
función de k se llama
relación de
dispersión.
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
11
Primera Zona de Brillouin
k
• La solución de k sobre el espacio recíproco es
1
periódica.
1
  2
k  2
 sen( ka)
M
2
 
• Toda la información está en la primera zona de Brillouin.
   ka  
 

a
k

a
• La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a
• El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k = k+G !
(G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a)
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
12
Primera Zona de Brillouin
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
13
Significado de la Periodicidad en el Espacio
Recíproco
Punto B, onda
propagandose
derecha
Punto A, onda
propagandose
izquierda
•
•
El movimiento atómico con el vector de onda k es
idéntico al de k+G.
Todas las vibraciones independientes se pueden
describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin
(1ZB)
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
14
Significado de la Periodicidad en el
Espacio Recíproco
• La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas.
• El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es:
us 1 uei ( s 1) Ka
iKa


e
us
ueisKa
• El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes:
   ka  
 

a
k
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas

a
15
Significado de la Periodicidad en el
Espacio Recíproco
Vk=0 en borde
de ZB
(esperable en una
onda estacionaria)
vk=vsonido
k
• La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana.
• La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk
(i.e. es la pendiente de k vs. k)
1
2
1

k  2  sen( ka)
2
M 
1
2
a 
 cos(1 ka)
 vk  

2
 M 
2
• Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
16
Significado de vk=0 en frontera de
zona de Brillouin
• dk/dk =0 en el límite de la ZB.
• Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el
borde de la ZB.
• Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se
cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no
puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas
reflexiones y se establece una onda estacionaria.
• Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo Vs= 0.
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
17
Significado de la Periodicidad en el
Espacio Recíproco
• Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas
las dimensiones.
• Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no
están en su posición de mínima energía mientras vibran.
• Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son
funciones periódicas de k en el espacio recíproco.
• Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro
de la 1a zona de Brillouin (ZB).
• Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella
y no son excitaciones independientes.
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
18
límite de longitud de onda largo
 a 2  2
2
1  cos(Ka)   k
 
M
 M 
• ka<<1 
• cos(ka)  1 - 1/2(ka)2
2
• Resultado:  es directamente
proporcional al vector de onda,
i.e. velocidad del sonido es
independiente de la frecuencia
en el límite de longitudes de
onda largas:  = vk (mecánica
del continuo).
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
19
Dispersión en Cu
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
20
Red Biatómica 1D
m
M C
un
vn
C
C
un+1
mun  C (vn  un )  C (un  vn 1 )
Mvn  C (un 1  vn )  C (vn  un )
C
C
Defino :  o 
; o 
M
m
Modo normal : un (t )  un e  i t ; vn (t )  vn e  i t

( 2  2 o2 )un   o2  vn  vn1   0 
  det  %   0
2
2
2
(  2 o )vn   o  u n  u n1   0 
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
21
Red Biatómica 1D
m
M C
un
• Resultado:
vn
C
C
un+1
 4  2C ( o  o ) 2  2 o o (1  cos ka)  0
• Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar
casos límite:
– ka << 1 : cos(ka)  1 - ½ (ka)2 + ...
– ka =  (borde 1ZB)
• Para ka << 1:
 2  2(o  o ) (rama optica)
 o o
 
k 2 a 2 (rama acustica)
2(Cap.o 3 Fonones
o ) - Vibraciones
2
Cristalinas
22
Red Biatómica 1D
1 1
  2C (  ) (rama optica)
m M
2
Para ka << 1:
 
2
C
2
mM
k 2a2
(rama acustica )
u
M

v
m
u
1
v
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
23
Red Biatómica 1D
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
24
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
25
RELACION DISPERSION PARA REDES 3D
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
26
Dispersión en KBr
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
27
VIBRACIONES DE RED CUANTIZADAS
Modelo cuantizado de las vibraciones de red: hay un conjunto de
3N oscilaciones lineales independientes( modos) con energia
E=(n()+1/2) h
El numero medio de fonones en el modo con frecuencia  es
n
1
 h 
  1
exp 
 k BT 
Frecuencia de Debye D : la mas grande frecuencia de vibracion en el cristal
asumiendo la relacion de dispersion :   v k.
Temperatura de Debye Q hD/kB
13
Las frecuencias fononicas acusticas tipicas esde orden ~10 Hz, frecuencias opticas
14
tipicas~ 10 Hz, temperature Debye: diamante -3000 K, Cu -320K, Pb -90K
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
28
DISPERSION INELASTICA DE NEUTRONES
Neutrones pueden ser dispersados del cristal cuando absorben o
Emiten un fonon

k n  G  k n ' K p , '    p

k n , k n ' - vectores de onda incidente y dispersado del neutron, G - vector de
red reciproca, K p , ω p  vector de onda y frecuencia del fonon
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
29
ABSORCION INFRAROJO EN CRISTALES
IONICOS
14
Luz transmitida en el rango de infrarojo, ~ 10 Hz (~40-100mm)
Es absorvida por cristales ionicos con modo optico de fonones
Transmitancia a traves pelicula
delgada de NaCl (0.17mm)
Na
Cl
Na
Cl
Iones de Cl y Na se mueven en direcciones
opuestas
Transmittance
Cl
100%
50 60 70 (mm)
Cap. 3 Fonones - Vibraciones
Cristalinas
30