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Tema 7: Uso de la probabilidad en la investigación psicológica
1. Introducción.
2. Variables aleatorias.
3. Funciones de probabilidad y de distribución..
1. Introducción
Principales conceptos preliminares
Experimento aleatorio: Es cualquier operación cuyo
resultado no puede ser predicho con certeza
Por ejemplo, tirar un dado, efectuar una tarea de TR, o un
test de rendimiento, el número de accidentes un fin de
semana.
Espacio muestral (E): Es el conjunto de todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, si lanzamos un dado tenemos 6 posibles
resultados.
Dependiendo del número de elementos del espacio
muestral distinguiremos 3 tipos de espacios
muestrales:
i)
Espacio muestral discreto finito. Consta de un
número finito de elementos. (v.g., el ejemplo del
dado).
ii) Espacio muestral discreto infinito. Consta de un
número infinito numerable de elementos. (v.g., lanzar
un dado hasta que salga un “6”)
iii) Espacio muestral continuo. Consta de un número
infinito no numerable de elementos. (v.g., número
posible de puntos alcanzables en un experimento de
“lanzar flecha a diana”)
Suceso. Es cualquier subconjunto de un espacio
muestral
Tipos de sucesos (de acuerdo con el número de
elementos del espacio muestral):
i)
Suceso simple (o elemental), que es el que consta de
un único elemento
ii) Suceso compuesto, que consta de dos o más
elementos
iii) Suceso seguro (o cierto), que consta de todos los
elementos del espacio muestral
iv) Suceso imposible, que es el que no consta de ningún
elemento del espacio muestral
Representación de los sucesos---Diagramas de Venn son útiles
Probabilidad:
ENFOQUE FORMAL
Axioma 1. La probabilidad del suceso seguro es 1
P( E )  1
Axioma 2. La probabilidad de cualquier suceso S es no negativa
P( S )  0
Axioma 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos (S1 y S2),
mutuamente excluyentes, es la suma de sus probabilidades
P(S1
S2 )  P(S1 )  P(S2 )
Teorema. La probabilidad de la unión de un conjunto infinito
numerable de sucesos mutuamente excluyentes es igual a la
suma de sus probabilidades
P( S1
S2
... Sn )  P( S1 )  P( S2 )  ...  P( Sn )
Probabilidad condicional
Llamamos probabilidad condicional de A dado/supuesto B a la
expresión
P( A / B)
P( A B)
P( A / B) 
P( B)
Teorema del producto
P( A B)  P( B)  P( A / B)
Sucesos independientes. Dos sucesos A y B son estadísticamente
independientes si y sólo si se verifica
P( A B)  P( A)  P( B)
2. Variables aleatorias
Una variable aleatoria es toda función que atribuye un número real, y solo
uno, a cada suceso elemental de E; es decir, toda función real definida
sobre E.
Notación: las vv.aa. se designan con letras mayúsculas latinas, mientras
que los valores atribuidos a los sucesos estarán con letras minúsculas
latinas.
Variable aleatoria discreta
Aquella que sólo puede tomar un número finito o infinito numerable de
valores
Variable aleatoria continua
Aquella que puede tomar un número infinito no numerable de valores
3. Funciones de probabilidad y de distribución
Función de probabilidad de X (v.a. discreta)
Es aquella función que asigna a todo número real, xi, la probabilidad de
que la variable aleatoria X asuma ese valor, salga xi
f ( xi )  P( X  xi )
Propiedades
x1 , x2 ,..., xk
1.
son los valores asumibles por la v.a. X
 f ( x )  P( X  x )  P( X  x )  ...  P( X  x )  1
i
2.
1
2
k
f ( xi )  0
3. Siendo a<b<c, el suceso A={a≤X≤b} y el suceso B={b<X≤c} son mutuamente
excluyentes. Se cumple
P(a  X  c)  P(a  X  b)  P(b  X  c)
Función de distribución de X (v.a. discreta)
Es aquella función que asigna a todo número real, xi, la probabilidad de
que la v.a. X sea igual o menor que xi
F ( xi )  P( X  xi )
Propiedades
1.
F ()  limF ( xi )  0
xi 
2.
F ()  limF ( xi )  1
3.
F ( xi )
xi 
4.
5.
0  F ( xi )  1
F (a  X  b)  F (b)  F (a)
es una función no decreciente
Función de densidad de probabilidad (v.a. Continua)
Es aquella función, f(x), que verifica las siguientes dos condiciones
1.
f ( x)  0

2.

f ( x)dx  1
La curva, que es la
representación de f(x),
no tiene puntos por
debajo del eje de
abscisas

El área TOTAL bajo la
curva vale 1
Observad que con vv.aa. continuas f(x) no es una probabilidad, es una
DENSIDAD de probabilidad.
Función de densidad de probabilidad (v.a. Continua). Ejemplo
Examinar si f(x) es una verdadera función de densidad de probabilidad
f ( x) 
3 x3  1/ 4
0  x 1
0
en otro caso
Es claro que f(x) será siempre mayor o igual que 0
1
 3x 4   x 
3 1
3
(3
x

1/
4)
dx



 1


0
 4 
4
4
4

0
0
1
Luego sí lo es.
1
Observad que f(x) puede ser
mayor que 1: f(1)=3’25
Función de distribución de X (v.a. Continua)
Es aquella función que asigna a todo número real, x, la probabilidad de que
la v.a. X sea igual o menor que x
x
F ( x)  P( X  x) 

f (t )dt

Propiedades
1.
F ()  limF ( xi )  0
xi 
2.
F ()  limF ( xi )  1
3.
F ( xi )
xi 
4.
5.
0  F ( xi )  1
F (a  X  b)  F (b)  F (a)
es una función no decreciente
VV.AA. discretas vs. VV.AA. continuas. COMPARACIÓN
1. En una v.a. discreta, P(X=x)≥0 para todo x. En una v.a. continua,
P(X=x)=0 para todo x.
2. En una v.a. discreta, f(x) representa una probabilidad, en concreto,
P(X=x) y, nunca puede valer más de 1. En una v.a. continua, f(x) no
representa la probabilidad, sino la densidad de probabilidad (esto es,
puede valor más que 1).
3. En una v.a. discreta, empleamos puntos para introducir la probabilidad.
En una v.a. continua empleamos intervalos (recordad que la
probabilidad de cada punto es 0).
4. En una v.a. discreta, cualquier probabilidad es la suma de probabilidades
asociadas a puntos. En una v.a. continua, cualquier probabilidad es una
integral definida, asociada a un intervalo.