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UNIDAD 3
CAPÍTULO VI
CAÍDA DE CUERPOS
U-3. CAP. VI.
CAÍDA DE CUERPOS (CON FRICCIÓN)
El movimiento rectilíneo de cuerpos rígidos es descrito
por la segunda ley de Newton expresada en forma escalar
como F = ma = mv’ = mx’’.
En donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, m
su masa, a su aceleración, v su velocidad y x su posición.
Un cuerpo que cae en la atmósfera sufre el efecto de dos
fuerzas (actuando en forma opuesta), que son gravedad o
peso del cuerpo y resistencia del aire, que es función de la
velocidad.
La fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es la diferencia
entre ambas. Para velocidades bajas, la resistencia del aire
es proporcional a la velocidad con que se mueve el cuerpo.
U-3. CAP. VI.
En estos casos, la segunda ley de Newton
puede enunciarse en la forma:
0
f  kv
v
m
w  mg
x
CAÍDA DE CUERPOS (CON FRICCIÓN)
m
dv
dt
 mg  kv
o
dv
dt

k
vg
m
donde k es una constante que se estima en
forma experimental y g es la aceleración
de la gravedad, 9.8 m/s2 a nivel del mar,
que se considera constante para alturas
pequeñas respecto al radio de la tierra.
U-3. CAP. VI.
CAÍDA DE CUERPOS (CON FRICCIÓN)
Ejemplo: Considere un cuerpo de masa m que se deja caer
desde el reposo en t = 0. El cuerpo cae bajo por efecto de
la gravedad y el aire ofrece una resistencia proporcional a
la velocidad. Obtenga las expresiones apropiadas para la
velocidad y la posición del cuerpo en función del tiempo t.
Solución: Sea x la distancia vertical, su dirección se define
positiva hacia abajo (origen: posición inicial del cuerpo).
k
El modelo de este fenómeno es entonces: v  v  g
m
mg
v t  
 Ce k t / m
solución general:
k
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CAÍDA DE CUERPOS (CON FRICCIÓN)
v t  
solución particular:
mg
k
k t / m
1

e


Observe que cuando t  , v  mg/k = constante.
La distancia que cae el cuerpo se obtiene de la definición
de velocidad v = dx/dt y la condición x(0) = 0. Integrando:
x t   
t
0
Así:
mg
k
k t / m
1

e

 dt
mg  m
k t / m 
x t  

t  1  e
k  k

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CAÍDA DE CUERPOS (EN UN MEDIO DENSO)
Una variante del fenómeno de caída con fricción consiste
en el descenso de un cuerpo en un medio cuya densidad es
un factor adicional a considerar, por ejemplo, líquidos.
b = wfd
f = kv
w = mg
En estos casos, además del peso y la
fricción viscosa, existe otra fuerza que
se opone al movimiento: la fuerza de
flotación.
Esta fuerza equivale al peso del fluido
desplazado por la esfera.
b  w fd
U-3. CAP. VI.
CAÍDA DE CUERPOS (EN UN MEDIO DENSO)
Ejemplo: Una esfera de masa 100 k se sumerge en agua y
desciende, desde el reposo, por efecto de la gravedad. Si la
fuerza de flotación es 0.025 veces el peso del objeto y la
resistencia es proporcional a su velocidad (k = 10 Ns/m),
determine la ecuación de movimiento del objeto y estime
el tiempo necesario para que la velocidad sea de 70 m/s.
Solución: El modelo de este fenómeno es análogo al del
problema anterior, excepto porque incluye a la flotación
como una fuerza adicional que se opone al movimiento.
mv  mg  kv  w fd
U-3. CAP. VI.
CAÍDA DE CUERPOS (EN UN MEDIO DENSO)
Como la fuerza de flotación es 0.025 veces el peso del
objeto, el modelo se puede reescribir en la forma:
v 
k
v  g  0.025 g  v 
m
Su solución general es:
k
v  0.975 g
m
v  t   0.975
mg
 Ce
k
 t
m
k
Como el objeto parte del reposo, se establece la siguiente
condición inicial: cuando t = 0, v = 0, entonces
mg
mg
0  0.975
 C  C  0.975
k
k
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CAÍDA DE CUERPOS (EN UN MEDIO DENSO)
con lo que, la ecuación que representa el movimiento del
objeto es la solución particular del modelo planteado:
k


t 
mg
1  e m 
v  t   0.975

k 

El tiempo  requerido para que v () = 70 m/s se obtiene
de la expresión anterior y resulta:
m 
k v   
700


   ln 1 
  10ln 1 



k  0.975 mg 
 0.975  980 
  13.19 s