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CURSO-TALLER
OLIMPIADAS
MATEMÁTICAS
John Faber Arredondo Montoya
Universidad del Quindío
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Objetivos:
• Comprender los criterios de divisibilidad.
• Construir criterios de divisibilidad.
• Desarrollar un pensamiento lógico-constructivo
que le permita resolver problemas matemáticos y
de contexto.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 2:
Sea abcd un número de 4 dígitos, luego lo
podemos escribir como:
1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑
Se puede concluir fácilmente que:
• Si d es par, se tiene una suma de números pares y
por tanto abcd es par.
• Si d es impar, se tiene la suma de tres números
pares y uno impar, por lo tanto abcd es impar.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 3:
Sea 𝑎𝑏𝑐𝑑 un número de 4 dígitos, luego lo
podemos escribir como:
1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑
Si restamos a este número la suma de sus cifras
tenemos:
1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 − 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 999𝑎 + 99𝑏 + 9𝑐
o
1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑 = (999𝑎 + 99𝑏 + 9𝑐) + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
De donde, se observa que el primer sumando de
la derecha es múltiplo de 3, luego 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 si
es múltiplo de 3, todo el número 𝑎𝑏𝑐𝑑 también lo
será.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 4:
Sea 𝑎𝑏𝑐𝑑 un número de 4 dígitos, luego lo
podemos escribir como:
100𝑎𝑏 + 𝑐𝑑
Y como 100 es múltiplo de 4, entonces abcd será
múltiplo de 4 y cd también lo es.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 5:
Sea 𝑎𝑏𝑐𝑑 un número de 4 dígitos, luego lo
podemos escribir como:
1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑
Y como los primeros términos son múltiplos del 5,
entonces abcd será múltiplo del 5 si d también lo es.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 7:
Sea 𝑎𝑏𝑐𝑑 un número de 4 dígitos, luego lo
podemos escribir como:
1000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑
= 700𝑎 + 70𝑏 + 7𝑐 + 7𝑑 + 3 100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 − 2𝑑
= 700𝑎 + 70𝑏 + 7𝑐 + 7𝑑 + 3(𝑎𝑏𝑐 − 2𝑑)
Y como el primer término de la derecha es
múltiplo de 7 entonces 𝑎𝑏𝑐𝑑 será múltiplo de 7 si
𝑎𝑏𝑐 − 2𝑑 lo es.
¿Cuál es el criterio con un número de 3 dígitos?
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 9:
¡Construir el criterio!
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 11:
Antes de construir este criterio es necesario
observar que la siguiente secuencia de números
es divisible por 11:
11, 99, 1001, 9999, 100001, 999999, 10000001, 99999999, etc
¿por qué?
Y utilizando esta información planteamos el
criterio.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Criterio del 11:
Sea 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 un número de 6 dígitos, luego lo
podemos escribir como:
[100001𝑎 + 9999𝑏 + 1001𝑐 + 99𝑑 + 11𝑒] + [ 𝑓 + 𝑑 + 𝑏 − (𝑒 + 𝑐 + 𝑎)]
Y como el primer término es múltiplo de 11
entonces 𝑎𝑏𝑐𝑑 será múltiplo de 11 si 𝑓 + 𝑑 + 𝑏 −
(𝑒 + 𝑐 + 𝑎) lo es
PROBLEMA 1
Considere todos los números de cuatro dígitos que son
compuestos por cuatro dígitos impares distintos. ¿Qué
fracción de todos esos números son divisibles por 3?
a)
4
5
b)
1
4
c)
1
3
d)
2
5
PROBLEMA 2
¿Cuántos números
divisibles por 7?
a) 7
palíndromes
b) 9
de
c) 14
4
dígitos
d)18
son
PROBLEMA 3
Si
29a031x342=100900b02
¿Cuál es el valor de a+b?
a) 9
b) 10
c) 11
d)12
PROBLEMA 4
Un mago deposita la misma cantidad de conejos (al
menos uno) en cada una de tres casas. Para llegar a la
primera casa, él cruza un río mágico una vez, y para ir
de cualquier casa a cualquier otra, él también cruza un
río mágico a la vez. Cada vez que el cruza un río mágico,
el número de conejos que él tiene se duplica. Él no tiene
conejos cuando él deja la tercera casa. ¿Cuál es el
mínimo número de conejos que él podría tener antes de
comenzar a repartir los conejos?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
UNA SOLUCIÓN
Situación /# Opción a)
conejos
6
Opción b)
7
Opción c)
8
Opción d)
9
Llega a la
primera casa
2x6=12
2x7=14
2x8=16
2x9=18
Sale de la
primera casa
12-x
14-x
16-x
18-x
2(12-x)=24-2x
Llega a la
segunda casa
2(14-x)=28-2x
2(16-x)=32-2x
2(18-x)=36-2x
(24-2x)-x=24-3x
Sale de la
segunda casa
(28-2x)-x=28-3x
(32-2x)-x=32-3x
(36-2x)-x=36-3x
Llega a la
tercera casa
2(24-3x)=48-6x
2(28-3x)=56-6x
2(32-3x)=64-6x
2(36-3x)=72-6x
Sale de la
tercera casa
(48-6x)-x=48-7x
(56-6x)-x=56-7x
(64-6x)-x=64-7x
(72-6x)-x=72-7x
Valor de x
48-7x=0, x=48/7
56-7x=0, x=8
64-7x=0, x=64/7
72-7x=0, x=72/7
Conclusión
Resp. incorrecta
Resp. correcta
Resp. incorrecta
Resp. incorrecta
OTRA SOLUCIÓN
Supongamos que el mago tiene inicialmente a conejos y deja
b conejos en cada casa:
Situación
# conejos
Llega a la primera casa
2a
Sale de la primera casa
2a-b
Llega a la segunda casa
2(2a-b)=4a-2b
Sale de la segunda casa
(4a-2b)-b=4a-3b
Llega a la tercera casa
2(4a-3b)=8a-6b
Sale de la tercera casa
(8a-6b)-b=8a-7b
Luego como 8a-7b=0 entonces 8a=7b y por tanto, el menor
par de números que cumplen esta igualdad son a=7 y b=8.
Respuesta 7
OTRA SOLUCIÓN
Suponiendo que el mago comienza con a conejos y deja b
conejos en cada casa. Luego:
2 2 2𝑎 − 𝑏 − 𝑏 − 𝑏 = 0
2 4𝑎 − 2𝑏 − 𝑏 − 𝑏 = 0
2 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑏 = 0
8𝑎 − 6𝑏 − 𝑏 = 0
8𝑎 − 7𝑏 = 0
Y se concluye de forma análoga a la solución anterior.