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Tema 3. Crecimiento Neoclásico.
El Modelo de Ramsey
En el modelo Neoclásico de crecimiento y el modelo AK hemos supuesto que las
familias ahorran una proporción constante de la renta, sin cuestionarnos la
racionalidad de su comportamiento. En este capítulo estudiaremos como las familias
toman sus decisiones de consumo y ahorro. Otro supuesto del modelo neoclásico que
parecía poco realista, es que en el modelo neoclásico las familias eran a la vez
consumidoras y productoras, como si se tratase de Robinson Crusoe.
En la vida real, las empresas y los consumidores son instituciones separadas que
interactúan en un lugar llamado mercado. Las familias distribuyen su renta entre
consumo y ahorro. Las empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden el
producto a cambio de un precio. Empresas y familias se encuentran en el mercado y
los precios del trabajo y el capital son tales que los tres mercados se vacía. (Modelo
de equilibrio general de Ramsey (1928)).
En este capítulo vamos a analizar las decisiones que toman los agentes
económicos, consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos como las familias
toman sus decisiones de consumo y ahorro. Paralelamente analizaremos las
decisiones de inversión y contratación de mano de obra que hacen las empresas.
El objetivo es estudiar cual es el resultado que obtiene una economía en la que
dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las
empresas sus decisiones de inversión. En el contexto de esta economía estaremos
preocupados por analizar cuales son los determinantes del crecimiento económico.
3. Modelo de mercado
En este modelo analizamos las decisiones de consumo de las familias y las
decisiones de las empresas.
3.1 Las familias neoclásicas
Supuestos sobre el comportamiento de las familias:
(1) Suponemos que los agentes de la economía deciden cuánto consumir y cuánto
ahorrar en cada período de tal forma que maximicen la utilidad descontada
futura. La utilidad descontada futura viene dada por la expresión (1):

c1  1
u (0)   exp(   t ) Lt t
1
0
La función de utilidad viene dada por la siguiente función:
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
c1  1
u (c )  t
1
donde:  es una constante que representa la tasa de descuento, ct es el
consumo per cápita en el instante t, Lt es el tamaño de la población y  es
una constante que representa el deseo de los consumidores de alisar o
suavizar su consumo en el tiempo.
(2) Segundo, el horizonte temporal relevante para el problema de optimización
que hemos diseñado es infinito. Se está suponiendo que a la hora de tomar sus
decisiones de consumo y ahorro los agentes tienen en cuenta la utilidad que
esperan tener en el futuro. El hecho de que el horizonte sea infinito es
equivalente a suponer que las familias se preocupan por las generaciones
futuras.
(3) Suponemos que la población crece a una tasa constante –n-.
L

Lt  L0 exp( nt )
L
Normalizamos L0  1 y tenemos: Lt  exp(nt ) . En este caso, L es igual a
L
n exp( nt ) y  n .
L
(4) La tasa de descuento  representa el hecho de que los individuos, aunque
son altruistas respecto a sus descendientes prefieren el consumo propio mas
que el de sus hijos.
El tipo de descuento representa el egoismo paterno dentro del altruismo
intergeneracional. En otras palabras, los consumidores a la hora de tomar sus
decisiones de consumo y ahorro, tienen en cuenta la utilidad o satisfacción que
van a obtener hoy con sus decisiones, pero también tienen en cuenta la
satisfacción que las decisiones tomadas hoy les hará tener en el futuro. Ahora
bien, los consumidores no valoran igual la satisfacción hoy que la que vayan a
tener dentro de 3 períodos.
Para el consumidor la misma satisfacción hoy no representa lo mismo que esa
misma satisfacción dentro de t años.
La forma de considerar que los individuos valoran más el presente que el
futuro es las utilidades futuras multiplicadas por un factor de descuento.
n
ct  ct 1 
u(ct )  u(ct 1 )
Valor de la utilidad de consumir ct en t: u(ct )
Valor asignado hoy a consumir ct 1 en t+1: u (ct 1 ) exp(   )
Si   0 , el valor de la utilidad hoy es igual al valor de la utilidad mañana.
El consumidor misma forma la utilidad hoy que la de mañana. Contra mayor
sea el factor de descuento, más valoramos el presente respecto al futuro.
2
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
(5) Se supone que la función de utilidad u(ct ) es una función cóncava. Que la
función de utilidad sea cóncava refleja el deseo de la gente de tener
trayectorias de consumo mas o menos lisas o suaves en el tiempo. Que la
función de utilidad sea lisa, significa que los consumidores prefieren
consumir un poco cada día que consumir un poco mucho y otro nada. La
relación entre concavidad de la función de utilidad y el deseo de alisar el
consumo (es decir querer consumir más o menos lo mismo cada día) se puede
ver en el siguiente gráfico.
Utilidad
U(C2)
U((C2+C1)/2)
U( C1)
C1
( C1+C2)/2
C2
Consumo
Que la función de utilidad sea cóncava quiere decir que:
(c1  c2 )
)
2
(c  c )
1
{u(ct )  u(c2 ) }  u( 1 2 )
2
2
u(ct )  u(c2 )  u(
cT  c1  c2
La utilidad derivada de consumir cT , es mayor cuando el consumo total se ha
repartido que cuando no se reparte.
3
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Sea la siguiente función de utilidad:
c1  1
u (c )  t
1
En esta función,  es una constante que representa el grado de concavidad de la
función de utilidad. Contra mayor sea  , mayor será la concavidad de la función de
utilidad , mayor serán los deseos de los agentes de suavizar el consumo en el tiempo.
Si   0 , no querrían suavizar su consumo en el tiempo y en este caso:
(c1  c2 )
)
2
Una vez descritas las preferencias de los consumidores, pasamos a hablar de la
restricción presupuestaria.
{u(ct )  u(c2 ) }  2 u(
Las familias poseen activos, Bt . Dichos activos pueden ser positivos (las familias
prestan a las empresas o otras familias) o negativos, en cuyo caso son las familias las
que están pidiendo prestado. Estos activos generan un tipo de interés rt . El producto
Bt rt es parte de los ingresos familiares, es lo que llamamos rentas del capital.
Además, las familias son propietarias del trabajo que alquilan a un precio wt . La
renta total de una familia es la suma de los ingresos del trabajo e ingresos del capital:
wLt  rBt 1 . Con la renta de que disponen los consumidores pueden ahorrar o
consumir, de tal forma que:
St  Ct  wLt  rBt 1
Los activos de las familias en t+1, que denotamos por Bt 1 serán igual a la suma de
los activos que tenían en t, que denotamos por Bt , más el ahorro realizado en t, que
denotamos por S t
Bt 1  Bt  St
La diferencia de activos de un período a otro, por ejemplo de t a t+1, (denotamos
dicha diferencia por B , vendrá dada por el ahorro en el período t:
B  St
eliminando el subíndice temporal, podemos escribir la restricción presupuestaria de
las familias como sigue:
B  wL  rB  C
Dado que en la función de utilidad el consumo está expresado en términos per cápita,
expresamos la restricción presupuestaria de las familias en términos per cápita:
4
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
B wL
B C

r 
L
L
L L

B
 w  rb  c (1)
L
B
como activos per cápita, y lo derivamos respecto al tiempo:
L
B L  BL  B
b 
  bn
(2)
LL
L
donde n es la tasa de crecimiento de la población. Sustituimos (2) en (1) y
despejamos b :
B 
 b  bn
L
b  w  rb  c  bn
b  w  c  b(r  n) : restricción presupuestaria expresada en términos per
cápita.
definimos b 
Así, el problema neoclásico de crecimiento puede expresarse de la siguiente forma:
(c)1  1
dt
1
s.a : b  w  c  b(r  n)
Max 0 e  (   n)t
El problema planteado tiene solución si y solo si:
lim ite e (  n )t
(c)1  1
0
1
t 
Si esta condición se cumple, entonces el problema anterior tiene un máximo. Si no se
cumple, no podríamos solucionar el problema anterior ya que la función a maximizar
(c)1  1
crecería de forma infinita. En la ecuación (1), el término
es constante ya
1
que a largo plazo el consumo será constante, por lo tanto para que se cumpla la
condición (1) debe cumplirse que:   n , es decir, la tasa de descuento tiene que ser
mayor que la tasa de crecimiento de la población.
5
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
PROBLEMA DEL CONSUMIDOR:
(c)1  1
dt
1
s.a : b  w  c  b(r  n)
Max 0 e (  n )t
b(0)  0
n
Obtenemos la solución del problema utilizando el método del hamiltoniano:
Pasos a seguir:
1) Construimos el hamiltoniano.
H
 (  n)t
0 e
(c)1  1
dt  v(w  c  b(r  n))
1
v: multiplicador dinámico de Lagrange. Se interpreta como el valor que el
consumidor da a una unidad adicional de activos financieros.
2)
derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de control, que en este
problema es el consumo:
H
(1   )e (   n)t c 
0 
v
c
1
(3)
v  e (  n)t c 
3) derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de estado, que en este
problema es b. Posteriormente igualamos la derivada del hamiltoniano
respecto a la variable de estado y la igualamos a la derivada de –v
multiplicada por (-1).
H
 v  v(r  n)  v
b
(4)
Derivamos (3) respecto a t:
v  ((   n)e  (   n)t c    cˆ 
Dividimos (5) por (3):
6
c  (   n)t
e
c
(5)
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
v
c
 (   n)  
v
c
(6)
Igualamos la expresión (6) a la expresión (4):
cˆ
 ( r  n )
(7)
cˆ
despejamos de (7) la tasa de crecimiento del consumo privado:
 (   n)  
c 
1

r    : evolución del consumo per cápita.
3.2 Decisiones de la empresa
Se supone que la empresa opera en un mercado competitivo, y es precio
aceptante. Para producir la empresa necesita capital y trabajo. El precio del trabajo lo
denotamos por wt . También alquila capital y lo hace a un precio de r t . La empresa
produce un bien y lo vende a un precio unitario. La tecnología de producción es
Cobb-Douglas: Yt  AK t L1t  . En términos per cápita la función de producción se
expresa como: yt  Akt
El coste de capital de la empresa viene dado por R
más la tasa de depreciación ( R  n   ) .
que es la suma del alquiler del capital
Definimos los beneficios de la empresa en términos per cápita:

K
 f (k )  w  (r   )
L
L
Al igual que en el caso de los consumidores, asumimos que las empresas toman sus
decisiones de inversión y contratación de tal forma que maximicen beneficios.

Decisión de inversión de la empresa:
Max :   f (k )  w  (r   )k
c. p.o :

0 
k
f ' (k )  r  
7
(8)
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Decisión de contratación de la empresa:
Max   Lf (k )  wL  (r   ) K
c. p.o :

0 
L
f (k )  Lf ' (k )k
f (k )  L
f k
w0
k L
 f (k )  f
1
w 
L
'

(k )k  w
(9)
Al igual que vimos en el modelo de Solow-Swan, en una economía cerrada la
inversión es igual al ahorro, por eso en esta economía se tiene que cumplir que la
cantidad de capital que compran las empresas que denotamos por k es igual al
ahorro de las familias que es igual a b . Así, teniendo en cuenta que ahorro es igual a
inversión la ecuación que describe el comportamiento del capital per cápita es la
siguiente:
k  w  c  k (r  n) (10)
que se obtiene de reemplazar b por k en la restricción presupuestaria de las
familias. Sustituyendo la ecuación (9) en la (10) nos queda lo siguiente:
k  f (k )  f ' (k )k  c  k (r  n)
Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (11):
k  ( f (k )  (r   )k )  c  k (r  n)
(12)
k  f (k )  c  k (  n) : ley de evolución del capital per cápita
c 
(13)  c 
1

( f (k )     )
'
( f (k )  (   ): evolución del consumo per cápita.

1
'
Las ecuaciones (12) y (13) recogen respectivamente la evolución del capital
per cápita y del consumo per cápita.
8
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Análisis del Estado Estacionario
El estado estacionario es una situación en que las variables per cápita crecen a
una tasa constante. Si nos fijamos en la ecuación (13), que describe el
comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el
capital tiene que ser siempre el mismo:
 c  cte si y solo si, kt  kt 1 , lo que implica que  k  0
Mirando la ecuación (12), para que el stock de capital no cambie se tiene que
cumplir que el consumo per cápita no varíe.
 k  cte si y solo si, ct  ct 1 , lo que implica que  c  0
En estado estacionario:  k  0 y  c  0
En la economía descrita por el modelo de Ramsey se dan tres estados
estacionarios, es decir, hay tres puntos en los cuales, se cumple que  k  0 y
c  0.
Primer estado estacionario: se da en el punto, c  0 y k  0 , es decir en el
origen. Como veremos posteriormente cuando analicemos la dinámica de
transición, este estado estacionario es inestable. Esto quiere decir, que a largo
plazo, y salvo en raras excepciones, la economía no tenderá nunca a ese estado
estacionario.
No nos interesa analizar esta situación porque una economía descrita por la del
modelo de Ramsey nunca tenderá a un estado estacionario como este.
Segundo estado estacionario: se da en el punto de intersección entre la recta
k  0 y el eje horizontal. En este punto el consumo es igual a cero c  0 y el
1
 A  1
capital de estado estacionario, que denotamos por k es igual a 
 .
  n
Este estado estacionario es estable. Sin embargo, no prestaremos mucha atención
a esta situación porque la economía nunca tenderá a un estado estacionario como
este.
**
Tercer estado estacionario: El tercer estado estacionario se da en el punto de
intersección entre la curva k  0 y k * .
9
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Si  c  0
Ak (1 )  (   )

1
 A  1  
(14)

k *  
   
Stock de capital de estado estacionario
El PIB per cápita de estado estacionario, se obtiene sustituyendo el capital de
estado estacionario en la función de producción:

 A  1
(15)

y *  A
   
El consumo de estado estacionario lo obtenemos a partir de la ecuación que
describe la dinámica del capital.
k  f (k )  c  k (  n)
Dado que en estado estacionario k  0 , el consumo de estado estacionario se
calcula como sigue:
(16)
c*  f (k * )  k * (  n)
Podemos calcular también la tasa de ahorro de estado estacionario que
denotamos por s * .
c*  (1  s * ) y *
s*  1 
*
s  1
c*
y*
( y *  k * (n   ))
y*
k*
(n   )
y*
En el caso de la función de producción Cobb_Douglas:
s* 
10
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
*
s 
k*
 
*
(n   )
Ak
 ( n   )  * 1 
s*  
k
 A 
 
Si despejamos el capital de estado estacioanrio de la ecuación anterior nos
queda lo siguiente:
 *
*  s A
k 
n 

1
 1 



(17)
Recordad, que esta expresión es similar a la que obtuvimos en el modelo de
Solow-Saw, con la diferencia de que en este modelo el ahorro no está
predeterminado de antemano, son los indivíduos los que deciden periodo a período el
porcentaje de renta que dedican a ahorrar.
Se puede demostrar que en una economía con horizonte infinito, como la
descrita en este capítulo, la economía siempre tenderá a este tercer estado
estacionario. Por esta razón a la hora de comentar las implicaciones económicas del
modelo nos detendremos en analizar este tercer estado estacionario.
4.0 Implicaciones económicas del modelo de Ramsey
A nivel económico los resultados obtenidos por el modelo de Ramsey son
muy similares a los obtenidos por el modelo de Solow-Saw.
El modelo de Ramsey nos viene a decir que el producto per cápita, el
consumo per cápita y el capital per cápita NO CRECEN a largo plazo. Así este
modelo nos dice que el producto por persona es constante a largo plazo. Esto es tanto
como decir que en una economía el nivel de producción media por persona es igual
en una década que en otra. Obviamente este resultado no es validado por los datos
que muestran como a lo largo de un siglo XX los niveles de producción medios por
persona han cambiado mucho desde principios a finales del siglo XX. En este sentido
el modelo de Ramsey, igual que el modelo de Solow-Swan es insatisfactorio, ya que
no explica cuales son los determinantes del crecimiento económico.
Aunque este modelo no nos dice nada sobre cuáles son los determinantes del
crecimiento económico a largo plazo, nos revela información importante sobre las
variables o factores que pueden hacer que el bienestar de las familias a largo plazo
sea más alto.
11
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
En las ecuaciones (15) y 17) observamos que el PIB per cápita de estado
estacionario depende de las siguientes variables: el nivel de desarrollo tecnológico
A ; la tasa de depreciación del capital físico  y la tasa de ahorro.
El PIB por persona depende positivamente de la tasa de ahorro y el nivel de
desarrollo tecnológico y negativamente de la tasa de crecimiento de la población y la
tasa de depreciación del capital.
De acuerdo con estos resultados ¿qué medidas de política económica debería
implementar el gobierno preocupado por aumentar los niveles de renta per cápita a
largo plazo? :
(i)
(ii)
(iii)
Fomentar la inversión de las empresas en investigación y desarrollo;
Controlar la tasa de natalidad
Fomentar el ahorro de las familias.
El consumo por persona depende positivamente del nivel de desarrollo
tecnológico y negativamente de la tasa de crecimiento de la población y la tasa de
depreciación del capital. ¿Cómo afecta al consumo a largo plazo un aumento de la
tasa de ahorro?.
Para responder a esta pregunta analizamos la relación mantenida entre dichas
variables: consumo y ahorro.
c*  (1  s * ) y *
c*
s *
  y *  (1  s * )

y


*
1
s
*
 sA 
A

 n  

 
c *
*
*


y

(
1

s
)

s *
1  

1
y *
s *
1
A
0
n 

 As
A
 n 
*




1
1

A 

n  

(18)
El primer término de la ecuación (18) es negativo mientras que el segundo
término de dicha expresión es positivo. Así pues, no está claro que mayores tasas de
ahorro lleven asociado un aumento del consumo a largo plazo.
5. Stock de capital de la Regla de Oro
12
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
En la sección anterior calculamos el stock de capital, consumo y PIB per
cápita de estado estacionario. En dicha sección vimos que un aumento de la tasa de
ahorro no genera necesariamente un mayor nivel de consumo a largo plazo.
En esta sección vamos a ver que existe una tasa de ahorro optima, o lo que es
lo mismo que hay una tasa de ahorro para la cual el consumo a largo plazo es
máximo. Sin embargo, en este modelo las economías no alcanzarán nunca dicha tasa.
Es decir, en el modelo de Ramsey, el capital de estado estacionario siempre será
inferior al capital de la regla de oro.
Para ello analizamos previamente la relación mantenida entre el stock de
capital y el consumo de estado estacionario. De forma consistente con la sección
anterior vamos a comprobar que un aumento de la inversión no tiene porque generar
siempre un mayor nivel de consumo a largo plazo. Analizamos primero la relación
entre el capital per cápita y el consumo de largo plazo.
De la ley de evolución del capital per cápita obtenemos la siguiente
expresión:
c*  y *  k (n   )
supuesto una función de producción tipo Cobb-Douglas:
   k (n   )
c*  A k *
Para analizar como varía el consumo cuando cambia el stock de capital
analizamos el signo de la derivada:
análisis de signo:
1
1)
 1
c*
 A  1
, cuando el stock
 Ak *
 (n   )  0 si k  k oro  
k
 n   
de capital es menor al capital de la regla de oro, el consumo aumenta con el
stock de capital.
1
2)
 1
c*
 A  1
, cuando el stock
 Ak *
 (n   )  0 si k  k oro  
k
 n   
1
  A 1
de capital es igual a 
(lo que se denomina capital de la regla de

 n  
oro) el cosnumo se hace máximo.
13
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
1
3)
 1
c*
 A  1
, cuando el stock
 Ak *
 (n   )  0 si k  k oro  
k
 n   
de capital es superior al de la regla de oro el consumo disminuye cuando el
capital aumenta, y viceversa.
En el modelo de Ramsey, el stock de capital de estado estacionario siempre
será inferior al de la regla de oro:
1
1

 
1
 A
 A  1

k  
 k oro  
 n   
   
Esto es así porque en este modelo   n .
La condición anterior garantiza que la utilidad del consumidor está acotada o
es finita. Solo en este caso tiene solución el problema del consumidor. [Consultar la
pagina 90 de libro de texto para una mejor aclaración].
*
14
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
La dinámica de la transición y la forma de la trayectoria estable
La dinámica que sigue el consumo y el capital en su camino hacia el estado
estacionario se puede representar en un diagrama de fases. El modelo queda
completamente determinado por las siguientes ecuaciones:
k  f (k )  c  k (  n)
[12]
c 
[13]
( f (k )  (   )

1
'
Primer paso: En un gráfico bidimensional donde en el eje hrizontal representamos el
capital y en el eje vertical representamos el consumo, representamos gráficamente la
curve k  0 .
De la ecuación [12] despejamos el consumo privado y obtemos la siguiente
expresión:
(19)
c  f (k )  k (  n)
representamos gráficamente esa curva. Nótese que pasa por el punto (0,0), ( c  0 ) y
k  0 , es inicialmente creciente y alcanza un máximo en el stock d capital que
satisface f ' (k )  (  n) y luego decrece hasta volver a cruzarse con el eje
horizontal. La forma que tiene la función definida en la ecuación [19] la conocemos
al analizar el signo de la derivada:
c
 f ' (k )  (  n)
k
Para valores de k tales que f ' (k )  (  n) , entonces
c
 0 , lo que significa que la
k
función es creciente.
Para un valor de k  tal que f ' (k )  (  n) , entonces
c
 0 , lo que significa que
k
en ese punto k  la función alcanza un máximo.
Para valores de k mayores a k  , f ' (k )  (  n) , entonces
que a partir de ese punto la función es decreciente.
15
c
 0 , lo que significa
k
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
c
k+
k
El máximo de esta curva se corresponde con el capital de la regla de oro que ya
estudiamos en el capítulo 1. En el caso de la tecnologia Cobb-Douglas el capital de la
regla de oro es el siguiente:
 A 
k oro  

  n
1
1
Segundo paso: analizamos la dinámica del capital asociada con la ecuación [12] por
encima y por debajo de la curva k  0 . Nos colocamos en un punto de esta curva,
por ejemplo, el punto A (c  c A , k  k A ) (por definición en el punto A, el capital no
se mueve).
k  f (k A )  cA  k A (  n)
k  0 ,
En el punto A:
Nos preguntamos que pasaría con el capital si el consumo aumenta ligeramente,
pasando a ser c  c A   , donde   0 .
A'
cA+
cA
A
c
kA
k
k  f (k A )  (c A   )  k A (  n) k    0 . El capital disminuiría!!!!!!!
Por eso sabemos que por encima de la curva k  0 , el capital se movería hacia la
izquierda. Denotamos este movimiento con flechas hacia la izquierda. Como el
16
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
capital aparece en el eje horizontal, una disminución del capital lo denotamos con un
movimiento hacia la izquierda. En los puntos A’, B y C, el capital tendería a
disminuir.
B
c
A'
C
k
De nuevo nos colocamos en el punto A (c  c A , k  k A ) y nos preguntamos que
ocurre con el capital si el consumo disminuye ligeramente pasando a ser c  c A   ,
donde   0 .
En el punto A:
k  f (k A )  cA  k A (  n)
k  0 ,
c
cA
A
cA-
A'
kA
k  f (k A )  (c A   )  k A (  n)
k
k    0 . El capital aumentaría!!!!!!!
Por eso sabemos que por debajo de la curva k  0 , el capital se movería hacia la
derecha. Denotamos este movimiento con flechas hacia la derecha. Como el capital
aparece en el eje horizontal, un aumento del capital lo denotamos con un movimiento
hacia la derecha. En los puntos A’, B y C, el capital tendería a aumentar.
c
B
A
17
C
k
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Tercer paso: construimos la curva de valores de c y k, para los cuales el consumo no
varía, es decir: c  0 .
De la ecuación [13] despejamos c y obtenemos la siguiente ecuación :
1
c  c ( f ' (k )  (   )



Hay dos maneras de satisfacer la condición c  0 : una primera si el consumo es
igual a cero ( c  0 ) lo que se correspondería con el eje horizontal. La segunda
posibilidad se satisface solamente cuando el stock de capital es tal que
f ' (k )  (   ). En el caso particular de la función Cobb-Douglas el capital que
1
  A  1 
.
satisface esa igualdad es k  
. En los gráficos anteriores esta curva se
   
*
representa por una línea vertical en k * .
c  0
c
k*
k
Cuarto paso: analizamos la dinámica del consumo a la izquierda y a la derecha de la
recta c  0 . En el punto B, el consumo es igual a (c B ) y el stock de capital es igual
a k * . Nos preguntamos que ocurrirá con el consumo (aumenta o disminuye) cuando
la economía pasa del punto B a B’, donde el stock de capital en este punto pasa a ser
k  k*   .
c  0
c
cB
B
k*
B'
k*+
18
k
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Para saber como evolucionará el consumo en el punto B’, utilizamos la ecuación
[13]:
1
c  c ( f ' (k )  (   )



Sabemos que en el punto B, c  0 , es decir, c B
( f (k )  (   )  0 . En el

1
'
*
punto B’, el valor de c vendrá dado por la siguiente expresión:
1


( f ' (k *   )  (   )

Como la función de producción es decreciente en el stock de capital, es decir,
c  c B
f (k *   )  f ' (k * )
entonces sabemos que en B’, el consumo tenderá a disminuir, c  0 . Así sabemos
que a la derecha de k * el consumo disminuye. Dado que el consumo se representa en
el eje vertical, la caída del consumo la representamos con flechas hacia ahbajo.
c  0
c
B'
B
cB
k*
k*+
k
Así en los puntos A, B’ y C, el consumo tendería a disminuir.
c  0
c
C
A
B'
cB
k*
k*+
19
k
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
De nuevo nos colocamos en el punto B (c  c B , k  k * ) y nos preguntamos que
ocurre con el consumo si el capital disminuye ligeramente pasando a ser k  k *   ,
donde   0 .
c  0
c
B'
cB
B
k*
k*-
k
Para saber como evolucionará el consumo en el punto B’, utilizamos la ecuación
[13]:
1
c  c ( f ' (k )  (   )



Sabemos que en el punto B, c  0 , es decir, c B
( f (k )  (   )  0 . En el

1
'
*
punto B’, el valor de c vendrá dado por la siguiente expresión:
c  c B
( f (k

1
'
*
  )  (   )

Como la función de producción es decreciente en el stock de capital, es decir,
f (k *   )  f ' (k * )
entonces sabemos que en B’, el consumo tenderá a aumentar, c  0 . Así sabemos
que a la izquierda de k * el consumo aumentará. Dado que el consumo se representa
en el eje vertical, el aumento del consumo lo representamos con flechas hacia arriba.
20
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
c  0
C
c
A
B'
cB
B
k*-
k*
k
Quinto paso: analizamos la dinámica de transición hacia el estado estacionario
definido por el corte entre las rectas k  0 y c  0 .
Sexto paso: para analizar la dinámica de transición de la economía hacia el estado
estacionario debemos notar que las curvas c  0 y k  0 dividen el espacio en cuatro
regiones.
c
c  0
Región I
Región II
Región III
cB
IV
k*
k

La región I recoge todos aquellos puntos para los que el capital es menor a
k * y el consumo está por encima de la curva k  0 . [área rayada en color morado].

La región II recoge todos aquellos puntos para los que el capital es superior a
k * y el consumo está por encima de la curva k  0 . [área rayada en color azul].

La región III recoge todos aquellos puntos para los que el capital es superior
a k y el consumo está por debajo de la curva k  0 . [área rayada en color rojo].
*

La región IV recoge todos aquellos puntos para los que el capital es inferior a
k y el consumo está por debajo de la curva k  0 . [área rayada en color verde].
*
21
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
A continuación analizamos la evolución del consumo y el capital en los puntos que
integran cada una de las regiones mencionadas. En cada región vamos a denotar
mediante flechas la evolución que seguirán cada una de esas dos variables.
Región I. Si la economía pasa del punto E al punto A. ¿Qué ocurrirá con el
consumo?, ¿aumenta o disminuye?. Por otro lado, ¿qué ocurrirá con el capital?
¿aumenta o disminuye?
Si estando en el punto E, la economía sufre su shock y pasa al punto A, el
consumo tenderá a aumentar y el capital a disminuir. La economía e alejará del
estado estacionario. Nota: en el gráfico adjunto representamos mediante flechas la evolución de ambas variables.
Región II. Si la economía pasa del punto E al punto A’. ¿Qué ocurrirá con el
consumo?, ¿aumenta o disminuye?. Por otro lado, ¿qué ocurrirá con el capital?
¿aumenta o disminuye?
Si estando en el punto E, la economía sufre su shock y pasa al punto A’, el
consumo tenderá a disminuir y también el capital. La economía tenderá a volver al
estado estacionario, es decir, al punto E. Nota: en el gráfico adjunto representamos mediante flechas la
evolución de ambas variables.
Región III. Si la economía pasa del punto E al punto A’’. ¿Qué ocurrirá con
el consumo?, ¿aumenta o disminuye?. Por otro lado, ¿qué ocurrirá con el capital?
¿aumenta o disminuye?
Si estando en el punto E, la economía sufre su shock y pasa al punto A’’, el
consumo tenderá a disminuir y el capital a aumentar. La economía se alejará del
estado estacionario, es decir, del punto E.
Región IV. Si la economía pasa del punto E al punto A’’’. ¿Qué ocurrirá con
el consumo?, ¿aumenta o disminuye?. Por otro lado, ¿qué ocurrirá con el capital?
¿aumenta o disminuye?
Si estando en el punto E, la economía sufre su shock y pasa al punto A’’’, el
consumo tenderá a aumentar y también el capital. La economía tenderá a volver al
estado estacionario, es decir, al punto E.
22
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
c  0
A'
Región II
A
c
Región I
E
Región III
IV
A''
A'''
k*
k
El punto E, es un estado estacionario con estabilidad de “punto de silla” Esto
es así porque si seguimos las flechas podemos llegar a él desde dos de las cuatro
regiones existentes y solmente de es estas dos. Cuando esto pasa existe una y solo
una trayectoria estable que converge hacia el estado estacionario.
c  0
Trayectoria estable
Trayectoria estable
c
k
Se puede demostrar que las economías con horizonte infinito, como la
estudiada en este capítulo, están siempre sobre la trayectoria estable1.
En economías con horizonte infinito los agentes económicos siempre eligen la trayectoria estable
porque es la única que satisface todas las condiciones de primer orden, incluyendo la condición de
transversalidad.
1
23
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
6. Comportamiento de la tasa de ahorro a lo largo de la transición
En el modelo de Solow-Saw se asume que la tasa de ahorro es constante. Nos
interesa saber si este supuesto es razonable, en el sentido de que este supuesto pueda
ser cierto en un modelo donde los agentes toman optimamente sus decisiones. Como
se muesra a continuación, para determinados valores paramétricos, la tasa de ahorro
es constante. Luego, el supuesto hecho en el modelo de Solow-Sawn no parece muy
descabellado.
Aunque para algunos valores paramétricos la tasa de ahorro es constante para
muchos de ellos, se obtiene un resultado distinto, es decir, se observa que la tasa de
ahorro cambia en el tiempo. En este caso resulta interesante saber si dicha tasa
cambia de forma monótona, es decir siempre crece o decrece en su camino al estado
estacionario. El análisis que se hace en esta sección va a permitir constrastar un
hecho observado por algunos investigadores, que creen observar que los países con
tasas de crecimiento elevadas tienden a tener una tasa de ahorro creciente en un
primer momento, para pasar a tener una tasa decreciente a medida que su nivel de
ingreso va aumentando.
A continuación pasamos a analizar la evolución de la tasa de ahorro a lo largo
de la transición. Recordad que la tasa de ahorro la definimos como:
c
s  1
y
El comportamiento de la tasa de ahorro será justamente el contrario al
comportamiento del ratio c / y . Si se demuestra que a lo largo de la transición el ratio
c / y aumenta de forma monótona, sabremos que a lo largo de la ransición la tasa de
ahorro disminuirá de forma monótona (y viceversa). Construimos a continuación un
diagrama de fases con el comportamiento del capital y del ratio consumo /PIB.
z
Denotamos por z al ratio c / y , y calculamos el ratio .
z
z 
dz (dc / dt ) y  c(dy / dt ) cy cy



dt
y2
y2 y2
z (c / y )  (c / y)( y / y) c y

 
z
c/ y
c y
teniendo en cuenta que:
y
k

y
k
entonces tenemos que:
24
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
z c
k
 
z c
k
utilizando las ecuaciones [12] y [13], que describen respectivamente el
comportamiento del capital y del consumo, nos queda lo siguiente:
(12)
(13)
k  f (k )  c  k (  n)
c 
( f (k )  (   )

1

'

z 1
( f (k )  c  k (n   ))
 ( f ' (k )  (   )  
z 
k


z 1
 ( f ' (k )  (   )   ( Ak  1  (c / k )  (n   ))
z 




z 1
y
 ( f ' (k )  (   )   ( Ak  1  (c / k )  (n   ))
z 
y
z 1
y
 ( f ' (k )  (   )   ( Ak  1  (c / y )  (n   ))
z 
k


z 1
 ( f ' (k )  (   )   ( Ak  1  (c / y ) Ak  1  (n   ))
z 
La condición z  0 , requiere que:


z 1
 ( f ' (k )  (   )   ( Ak  1  (c / y ) Ak  1  (n   ))
z 


z 1
 (Ak  1  (   )   ( Ak  1  (c / y ) Ak  1  (n   ))
z 
z 1
 (Ak  1 )  Ak  1  ((   ) /  )   (n   )   (c / y ) Ak  1
z 
z 1
k 1
 ((   ) /  )   (n   )  (c / y)
 1
z 
A
25
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
1
c
1  k
((   ) /  )   (n   )  z
 


y
z
   A
(20)
Bajo la condición z  0 , nos queda:
1
c
1  k
((   ) /  )   (n   )
 

y
   A
(20)*
Esta ecuación tendrá pendiente positiva si se cumple que: (   ) /  )   (n   ) .
Será una línea horizontal si (   ) /  )   (n   ) y tendrá pendiente negativa si se
cumple que: (   ) /  )   (n   ) . Posteriormente representaremos gráficamente
dicha recta en los tres casos considerados.
Por su parte, recordamos que la ecuación que describe el comportamiento del
capital es la siguiente:
k  Ak   c  (n   )k
para poder representar esta ecuación en el mismo gráfico que la ecuación (20)
dividimos por k toda la expresión anterior:
k
c
 Ak  1  y  (n   )
k
ky
k
c
 Ak  1  Ak  1  (n   )
k
y
(21)
La curva k  0 viene dada por la ecuación:
c
( n   ) k 1 
 1
(22)
y
A
Esta curva tiene siempre una pendiente negativa, es decir, la derivada de
( c / y ) respecto de k es menor que cero. A continuación representamos gráficamente
las curvas (20*) y (22) en los tres casos mencionados anteriormente. En el eje
horizontal representamos el capital y en el eje vertical el ratio ( c / y ).
26
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Caso I. La pendiente de la curva c / y es positiva, lo que ocurre cuando:
(   ) /  )   (n   ) .
Caso I
z  0
c/ y
k  0
k
k*
Caso II. La pendiente de la curva c / y es igual a cero, lo que ocurre cuando:
(   ) /  )   (n   ) .
Caso II
c/ y
z  0
k  0
k
k*
Caso III. La pendiente de la curva c / y es negativa, lo que ocurre cuando:
(   ) /  )   (n   ) .
27
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Caso III
c/ y
k  0
z  0
k*
k
A continuación analizamos con detalle cuál es la pendiente de la trayectoria
estable en cada uno de los tres casos analizados. Comenzamos con el primer caso:
Caso I. Las rectas z  0 y k  0 , dividen el cuadrante en cuatro regiones. Lo
primero que tenemos que hacer es averiguar como cuál será la dirección que tome la
variable z y el capital per cápita en cada una de esas regiones.
Para ello partimos del punto B (Estado Estacionario). En este punto z B  0 y
kB  0 .
Caso I
z  0
c/ y
c / y  zB
B'
B
k  0
k
kB  k*
Si la economía pasa del punto B al punto B’, donde se ha reducido el stock de
capital, ¿cuál será entonces la dirección del ratio consumo/PIB?. Para responder a
esta pregunta utilizamos la ecuación 20.
28
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
1
c
1  k
((   ) /  )   (n   )  z
 


y
z
   A
z c  1    k 1
((   ) /  )   (n   )
 

z y    A
c c
z
En el punto B,      y k  k b , y en este punto  0 . ¿Que ocurre en el
z
 y   y B
punto B’, donde el stock de capital es menor?
1
c
 z 
 1    (k   )


((   ) /  )   (n   )  0
    

A
 z  B'  y  B   
De la ecuación anterior se deduce que a la izquierda de la curva curva z  0 , es
decir, cuando el stock de capital disminuye el ratio consumo /PIB tiende a aumentar.
Reflejamos ese aumento con una fecha hacia arriba.
Caso I
z  0
c/ y
B
B'
c / y  zB
k  0
kB  k*
k
A la izquierda de la curva z  0 , siempre que se produzca una caída del
capital, el ratio consumo/PIB tenderá a aumentar. Reflejamos dicho aumento con una
flecha hacia arriba (ver puntos A, B y C).
Caso I
z  0
c/ y
C
29
B
k  0
A
kB  k*
k
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Haciendo el mismo análisis que acabamos de hacer, se puede mostrar que a la
deercha de la curva z  0 , (lo que supone que se ha producido un aumento del
capital), el ratio consumo/PIB tenderá a disminuir. Reflejamos dicho aumento con
una flecha hacia abajo (ver puntos D, E y F).
Caso I
z  0
F
c/ y
E
k  0
D
k
Veamos ahora que pasa por encima y por debajo de la curva k  0 .
Si la economía pasa del punto B al punto B’’, donde se ha reducido el ratio
consumo/PIB, ¿cuál será entonces la dirección del capital?. ¿aumentará o
disminuirá?.
Caso I
z  0
c/ y
c / y  zB
c / y  zB  
B
k  0
B''
kB  k*
k
Para responder a esta pregunta utilizamos la ecuación 21
30
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
k
c
 Ak  1  Ak  1  (n   )
k
y
En el punto B, la tasa de crecimiento del capital es igual a cero, luego se
cumple que:
c
 k 
 1
 Ak B 1    (n   )  0
   Ak B
 k B
 y B
En el punto B’’, el ratio consumo/PIB es igual a:
c
c / y     
 y B
Luego en B’’, la tasa de crecimiento del capital será:
 c 

 k 
 1
 Ak B 1       (n   )
   Ak B
 k  B ''
 y  B

 k 
 1
    Ak B     0
 k  B ''
En B’’, el capital tenderá a aumentar. Reflejamos este aumento con una
flecha hacia la derecha.
Caso I
z  0
c/ y
c / y  zB
c / y  zB  
B
k  0
B''
k
kB  k*
31
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
En general, se puede demostrar que por debajo de la recta k  0 , el capital
tenderá a aumentar (véase los puntos A, B y C). De la misma forma, y haciendo un
análisis similar podemos comprobar que por encima de la curva k  0 el capital
tenderá a disminuir (véase los puntos D, E y F).
Caso I
z  0
c/ y
A
k  0
B
C
k
Caso I
z  0
D
c/ y
E
F
k  0
k
Mediante el análisis que acabamos de hacer podemos saber cuál será la
dirección del capital y del ratio consumo/PIB en cada uno de los cuatro cuadrantes
que configuran las curvas 21 y 22.
A continuación señalamos mediante flechas la dirección que tomaran estas
variables dependiendo del cuadrante o la zona en que se encuentren.
32
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Caso I
z  0
c/ y
E
G
k  0
F
k
Como ya vimos en un análisis anterior, el estado estacionario al que llega la
economía tiene estabilidad de “punto de silla” Esto es así porque si seguimos las
flechas podemos llegar a él desde dos de las cuatro regiones existentes y solmente de
es estas dos. Cuando esto pasa existe una y solo una trayectoria estable que converge
hacia el estado estacionario.
En el gráfico adjunto representamos la senda estable mediante una línea roja.
Caso I
z  0
c/ y
E
G
k  0
F
k
Podemos observar que, en el camino al estado estacionario, el ratio
consumo/PIB evoluciona de forma monótona. En el caso en que el stock de capital
sea inferior al de estado estacionario, entonces el ratio c / y tenderá a aumentar, lo
que implica que la tasa de ahorro disminuirá monotónicamente. En el caso en que la
economía tenga un stock de capital superior al de estado estacionario, entonces el
ratio c / y tenderá a disminuir, lo que implica que la tasa de ahorro aumentará
monotónicamente.
Una de las conclusiones del modelo de Ramsey es que predice cambios
monótonos en la tasa de ahorro.
33
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Caso II. La pendiente de la curva c / y es igual a cero, lo que ocurre cuando:
 1
(   ) /  )   (n   ) . En este caso el ratio c / y será igual a
, y la tasa de

1
ahorro será constante e igual a . Dicho de otro modo, la elección de una tasa de

ahorro constante será óptima cuando los parámetros sean tales que:
(   ) /  )   (n   ) .
Caso II
c/ y
z  0
k  0
k
k*
Caso III. La pendiente de la curva c / y es negativa, lo que ocurre cuando:
(   ) /  )   (n   ) . Como en el caso I, en este caso z  0 y k  0 , dividen el
cuadrante en cuatro regiones. En el gráfico adjunto presentamos mediante flechas la
dirección del capital y el ratio consumo/PIB en cada uno de los cuatro cuadrantes. En
dicho gráfico, la línea roja representa la senda estable hacia el estado estacionario.
Caso III
c/ y
k  0
z  0
k*
34
k
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Podemos observar que, en el camino al estado estacionario, el ratio
consumo/PIB evoluciona de forma monótona. En el caso en que el stock de capital
sea inferior al de estado estacionario, entonces el ratio c / y tenderá a disminuir, lo
que implica que la tasa de ahorro aumentará monotónicamente. En el caso en que la
economía tenga un stock de capital superior al de estado estacionario, entonces el
ratio c / y tenderá a aumentar, lo que implica que la tasa de ahorro disminuirá
monotónicamente.
35