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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA
LÓGICA PROPOSICIONAL
Asignatura: Matemáticas Discretas I
CONCEPTOS BÁSICOS
• Argumento
• Proposición
• Premisa
• Símbolos de la lógica proposicional
•
•
Variables proposicionales
Conectores lógicos
• Simbolización de proposiciones lógicas
• Tautología, contradicción e indeterminación
• Reglas de inferencia
• La forma estándar de reglas de inferencia
• Implicaciones tautológicas
•
•
•
•
modus ponens
modus Tollens
Silogismo disyuntivo
Razonamiento Transitivo
• Formalización de argumentos
ARGUMENTO
• Es un razonamiento que quiere probar una
proposición o afirmación.
• Un argumento puede definir como un conjunto
de premisa seguidas por una conclusión.
• Debe estar fundamentado, pero sólo será
correcto cuando esa fundamentación sea
adecuada.
ARGUMENTO
1. Si está soleado, entonces es de día.
2. Está soleado.
3. Por lo tanto, es de día.
PROPOSICIÓN
• Intuitivamente una proposición expresa un
contenido semántico a la que bajo cierto
procedimiento acordado o prescrito es posible
asignarle un valor de verdad (usualmente
"verdadero" o "falso", aunque en lógica formal
se admiten otros valores de verdad diferentes)
PREMISA
• Es una proposición que se dice con
anticipación a algo.
• En un argumento valido las premisas implican
la conclusión, pero esto no es necesario para
que una proposición sea una premisaen el
ejemplo anterior las premisas son:
1. Si está soleado, entonces es de día.
2. Está soleado.
SÍMBOLOS DE LA LÓGICA
PROPOSICIONAL
VARIABLES PROPOSICIONALES
• En la Lógica Proposicional, para simbolizar las
proposiciones simples se recurre a las letras
minúsculas del alfabeto, comenzando por la
letra “p” y después siguiendo el orden
alfabético.
• los valores de verdad de una proposición,
pueden ser “falso” o “verdadero”.
CONECTORES LÓGICOS
Conector
Simbolo
Tipo de enunciado
Y
˄
Conjunción
O
˅
Disyunción
no
~
Negación
p implica q
→
Condicional
Si y solo si
↔
Bicondicional
SIMBOLIZACIÓN DE
PROPOSICIONES LÓGICAS
1. Las computadoras trabajan más rápido que
los hombres.
𝑝
2. Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja.
p: Marcela estudia en Quito
q: Pablo en Loja.
𝑝⋀𝑞
EJERCICIOS. SIMBOLIZACIÓN DE
PROPOSICIONES LÓGICAS
1. No tengo un auto azul.
2. Bailamos o tomamos café.
3. Si cantamos entonces necesitamos viajar.
4. Leeré este libro si solo si tiene pocas hojas.
5. No es cierto que si no tomamos café implica
que no es de día.
EJERCICIOS
6. La tierra gira alrededor del sol ó no se da que
la luna es un planeta.
7. Si trabajara los fines de semana y durmiera
menos entonces no perdería el vuelo.
8. Es falso que vivo en Loja, pero visitaré a mi
familia en Cuenca.
9. No iremos al partido a menos que salga el
sol.
10. Ana es profesora o es estudiante pero no
puede ser ambas cosas a la vez.
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E
INDETERMINACIÓN.
• Una tautología es una fórmula que es siempre
verdadera sean cuales sean los valores de
verdad de sus componentes. Las tautologías
se denominan también leyes lógicas.
• Una contradicción es una fórmula que es
siempre falsa sean cuales sean los valores de
verdad de sus componentes.
• Una indeterminación es una fórmula que en
unos casos es verdadera y en otros falsa, en
función de los valores de verdad de sus
componentes
INDETERMINACIÓN
𝑝⋁𝑞 ⋀ ∼ 𝑞 →∼ 𝑝
CONTRADICCIÓN
∼
𝑝 ∨ 𝑞 →∼ ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞
TAUTOLOGÍA
∼ 𝑝 ∨ 𝑞 →∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞
REGLAS DE INFERENCIA
• En lógica, una regla de inferencia, o regla de
transformación es una forma lógica que
consiste en una función que toma premisas,
analiza su sintaxis, y devuelve una conclusión
(o conclusiones).
• Por lo general, una regla de inferencia
conserva la verdad (implicación tautológica),
una propiedad semántica. En muchos valores
lógicos, esta conserva una designación
general. Pero la acción de la regla de
inferencia es puramente sintáctica
LA FORMA ESTÁNDAR DE REGLAS DE
INFERENCIA
• En lógica formal (y muchas áreas
relacionadas), las reglas de inferencia suelen
darse generalmente en la siguiente forma
estándar:
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 1
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 2
⋮
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑎 𝑛
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*MODUS PONENS
• Eliminación de la implicación o regla de
separación
𝑝→𝑞 ∧𝑝 →𝑞
• En palabras: Si p implica q, y si p es verdadera,
entonces q debe ser verdadera.
• Ejemplo
• Si p: “Amo las matemáticas” y q: “pasare este
curso,” entonces.
• Si mi amor por las matemáticas implica que
pasaré este curso, y si de hecho amo
matemáticas, entonces pasaré este curso.
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*MODUS PONENS
• Este argumento se puede configurar de la
siguiente forma:
Si amo las matemáticas, entonces pasare este
curso.
Amo las matemáticas.
Por lo tanto, pasaré este curso
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*MODUS PONENS
• O en símbolos:
𝑝→𝑞
𝑞
∴𝑞
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*MODUS TOLLENS
• También conocido como razonamiento indirecto
𝑝 → 𝑞 ∧∼ 𝑞 → ~𝑝
• En palabras, si p implica q, y q es falsa, entonces
p es falsa también.
Ejemplo
• Si tenemos una vez más p: " Amo matemáticas " y
q: " Pasaré este curso," obtenemos.
• Si amo matemáticas entonces pasaré este curso;
pero sé que no lo pasaré. Por lo tanto, no amo
matemáticas.
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*MODUS TOLLENS
• Este argumento se puede configurar de la
siguiente forma:
Si amo matemáticas, entonces pasaré este curso.
No voy a pasar el curso.
Por lo tanto, no amo las matemáticas
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*MODUS TOLLENS
• O en símbolos:
𝑝→𝑞
~𝑞
∴ ~𝑝
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*SILOGISMO DISYUNTIVO
• En este caso se suele expresar como el o uno
o el otro
𝑝∨𝑞 ∧ ∼𝑝 →𝑞
𝑝∨𝑞 ∧ ∼𝑞 →𝑝
En palabras, si P o Q es verdadero y P es falso,
entonces Q es verdadero.
Ejemplo
Si el cocinero o el mayordomo lo hicieron, pero
sabemos que el cocinero no lo hizo, entonces el
mayordomo debió haberlo hecho.
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*SILOGISMO DISYUNTIVO
• Su configuración es la siguiente
• P: El cocinero
• Q: El mayordomo
El cocinero o el mayordomo lo hicieron.
El cocinero no lo hizo.
Por lo tanto, el mayordomo lo hizo.
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*SILOGISMO DISYUNTIVO
• En su forma simbólica
𝑝∨𝑞
∼𝑝
∴𝑞
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*RAZONAMIENTO TRANSITIVO
• Compuesta de dos implicaciones las cuales
una esta precedida de le otra
𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑟 → 𝑝→𝑟
En palabras se expresa como: si p implica q y si
q implica r, entonces p implica r.
Ejemplo
Cuando llueve en la tierra se hace lodo y
cuando la tierra es lodosa mis zapatos se
ensucian. Así, cuando llueve mis zapatos se
ensucian.
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*RAZONAMIENTO TRANSITIVO
• Su configuración es la siguiente
Cuando llueve en la tierra se hace lodo.
Cuando la tierra es lodosa mis zapatos se
ensucian.
Por lo tanto, cuando llueve mis zapatos se
ensucian.
IMPLICACIONES TAUTOLÓGICAS
*RAZONAMIENTO TRANSITIVO
• Y en su forma simbólica
𝑝→𝑞
𝑞→𝑟
∴𝑝→𝑟
FORMALIZACIÓN DE ARGUMENTOS
• Ejemplo
• “Si apruebo 1º de Bachillerato será que los
profesores son muy generosos o que mi madre
ha hecho una novena a los santos. No es el
caso que mi madre haga novenas a los santos,
por lo tanto los profesores son muy generosos”
FORMALIZACIÓN DE ARGUMENTOS
• p: Apruebo el 1° de bachillerato
• q: Los profesores son muy generosos
• r: Mi madre ha hecho una novena a los santos
𝑝→ 𝑞∨𝑟
∼𝑟
𝑞
BIBLIOGRAFÍA
• Miller C., Heeren. Matemática razonamiento y aplicaciones,
Ed. Pearson.
• Seymour, Lipschutz. Matemáticas para computación, Ed.
Mc Graw Hill.
• Ralph P., Grimaldi. Matemáticas Discreta y Combinatoria
(introducción y aplicaciones) Ed. Addison-Wesley
Iberoamericana, Wilmington, Delaware, E.U.A. 1989,
• Richard, Johnsonbaugh. Matemáticas Discretas, Grupo
Editorial Iberoamérica, México D.F. 1988.
• Seymour, Lipschutz. Matemática Discreta (teoría y
problemas resueltos).
• Ed. McGraw Hill, Madrid, España. 1990.
• Kenneth H., Rosen. Matemática discreta y sus aplicaciones,
McGraw Hill.