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PPTCCO042MT11-A17V1 MT-11 Clase Técnicas combinatorias y regla de Laplace Resumen de la clase anterior Recordemos… - ¿Qué cuerpo geométrico se genera al rotar indefinidamente un rectángulo respecto alguno de sus lados? - ¿Cómo se determina el volumen de un cono? Aprendizajes esperados • Aplicar el concepto de factorial en los ejercicios de combinatoria. • Aplicar el concepto de probabilidad. • Resolver problemas que involucren probabilidad clásica Pregunta oficial PSU Un taller fabrica fichas plásticas y le hacen un pedido de fichas impresas con todos los números de tres dígitos que se pueden formar con el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6. ¿Cuál es el doble de la cantidad del pedido? A) ¿Importa el orden en el que 20escogen los números? se B) 30 C) 60 ¿Se pueden formar números con dígitos repetidos? D) 125 E) 250 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016 1. Técnicas de combinatorias 2. Probabilidades 1. Técnicas de combinatorias 1.1 Factorial Es el producto de n factores enteros consecutivos, desde 1 hasta n. Se denota por n!. a a! b (a b)! b! n! = n·(n – 1)·(n – 2)·(n – 3)·…· 3 · 2 · 1 0! 1 1.2 Permutación Corresponde a la cantidad de ordenamientos lineales que se pueden realizar con n elementos. SÍ importa el orden. Permutación sin repetición Pn = n! Permutación con repetición Pna,b,c,... n! a ! b ! c!... (a, b, c, …, número de repeticiones) Permutación Circular Pn = (n – 1)! 1. Técnicas de combinatorias 1.3 Variación o arreglo Corresponde al ordenamiento lineal de un subconjunto de k elementos de un total de n. SÍ importa el orden y NO se consideran todos los elementos. Variación sin repetición Vkn n! (n k) ! Variación con repetición VR nk nk 1.4 Combinación Corresponde a los distintos grupos que se pueden formar con k elementos de un total de n. NO importa el orden y NO se consideran todos los elementos Combinación sin repetición Combinación con repetición n C k n k 1 CRnk k n k 1. Técnicas de combinatorias 1.5 Ejemplo Carolina, Daniela, Antonia y Victoria pertenecen a un grupo. Un profesor debe elegir a dos de ellas para realizar un trabajo de matemática. ¿Cuál es el máximo número de combinaciones de parejas que se pueden formar con estas cuatro niñas? A) 8 B) 2 C) 6 D) 12 E) 16 ALTERNATIVA CORRECTA C Más información en las páginas 152 y 153 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 3 y 4 de tu guía. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015. 2. Probabilidades 2.1 Definiciones Experimento aleatorio Es aquel en el que NO se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El tamaño del espacio muestral es el número de casos posibles o totales. Evento o suceso Corresponde a un subconjunto del espacio muestral, determinado por una condición establecida. El tamaño de este subconjunto es el número de casos a favor. 2. Probabilidades 2.2 Probabilidad clásica Está íntimamente ligada al concepto de azar y ayuda a comprender las posibilidades de los resultados de un experimento. Si A representa un evento o suceso, se cumple que: 0 P(A) 1 o 0% P(A) 100% Regla de Laplace La probabilidad de ocurrencia de un evento A se calcula como: P(A) = Casos favorables Casos posibles Tamaño del evento o suceso. Tamaño del espacio muestral. 2. Probabilidades 2.3 Tipos de sucesos Suceso imposible Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrirá: P(A) = 0 Suceso seguro Si se tiene certeza absoluta de que un evento A ocurrirá: P(A) = 1 Suceso contrario Si A es un suceso o evento, la probabilidad del suceso contrario (A), o de que el suceso NO ocurra, se obtiene a través de: P(A) = 1 – P(A) 2. Probabilidades 2.4 Ejemplo En un curso de 50 estudiantes se sorteará al azar un MP3 entre los asistentes a clases. Si por cada 3 mujeres de este curso hay 7 hombres y el día del sorteo del total de los estudiantes faltan solo 2 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que el premio lo gane una mujer? A) B) C) D) E) 13 48 1 48 1 50 13 50 15 50 ALTERNATIVA CORRECTA A Más información en la página 154 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 15 y 19 de tu guía. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2017. Pregunta oficial PSU Un taller fabrica fichas plásticas y le hacen un pedido de fichas impresas con todos los números de tres dígitos que se pueden formar con el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6. ¿Cuál es el doble de la cantidad del pedido? A) 20 B) 30 C) 60 D) 125 ALTERNATIVA CORRECTA E) 250 E Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016 Síntesis de la clase Recordemos… - ¿Qué características tiene una combinación? - Según el teorema de Laplace, ¿qué fórmula permite determinar la probabilidad que ocurra un determinado evento? Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 B Azar Aplicación 2 A Azar Aplicación 3 B Azar Aplicación 4 D Azar Aplicación 5 E Azar Aplicación 6 B Azar Aplicación 7 C Azar Aplicación 8 A Azar ASE 9 E Azar Aplicación 10 C Azar Aplicación 11 B Azar Aplicación 12 A Azar Comprensión Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 C Azar Comprensión 14 A Azar Aplicación 15 B Azar Aplicación 16 A Azar Comprensión 17 D Azar Aplicación 18 B Azar ASE 19 E Azar ASE 20 C Azar Aplicación 21 C Azar Aplicación 22 B Azar Aplicación 23 E Azar Aplicación 24 B Azar ASE 25 A Azar ASE Equipo Editorial Matemática ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414 Cuenta regresiva Volver a: 1. 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