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MATEMÁTICA 1
NÚMEROS REALES
NÚMEROS REALES
INDICADORES
CONTENIDO
Identifica las propiedades de los
números reales, determinando el
valor de verdad de
proposiciones.
1. Recta numérica real
2. Relación de orden
3. Desigualdad
Ley de Tricotomía
Definiciones y Teoremas
4. Intervalos
Clases de intervalos
5. Valor absoluto
Definición y Propiedades
Calcula el valor de expresiones
algebraicas usando las
propiedades del valor absoluto.
Evalúa y justifica enunciados
relacionados con las
propiedades de orden en R.
NÚMEROS REALES
RECTA NUMÉRICA REAL
La recta numérica es una recta geométrica; donde se establece una
biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único
punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde
un único número real.
RELACIÓN DE ORDEN
El conjunto de los números reales está ordenado, esto significa que
podemos comparar cualesquiera de dos números reales que no sean
iguales mediante desigualdades y decir que uno “es menor que” o
“mayor que” el otro.
NÚMEROS REALES
Si a ˆ b є R, se tiene:
•
•
•
•
a > b: «a es mayor que b»
a < b: «a es menor que b»
a ≥ b: «a es mayor o igual que b»
a ≤ b: «a es menor o igual que b»
DESIGUALDAD
Es aquella comparación que se establece entre dos números reales,
mediante los símbolos de desigualdad: <; ≤; >; ≥
LEY DE TRICOTOMIA
Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente
una, de las proposiciones:
a<b
a=b
a<b
NÚMEROS REALES
DEFINICIONES
Si a, b, c y d pertenecen a los reales
1. Si a  0  a es positivo
6. a  b  a  b  0
2. Si a  0  a es negativo
7. Si a  b  a  c  b  c
3. a  b  a  b  a  b
8. Si a  b  c  d  a  c  b  d
4. a  b  c  a  b  b  c
9. Si a  b  c  0  ac  bc
5. a  b  a  b  0
10. Si a  b  c  0  ac  bc
NÚMEROS REALES
TEOREMAS BÁSICOS DE LAS DESIGUALDADES
1. Si a  b  c  R  a  c  b  c
6. a.b  0   a  0  b  0    a  0  b  0 
a.c  b.c

2. Si a  b  c  0   a b
 c  c
a.c  b.c

3. Si a  b  c  0   a b
 c  c
7. a.b  0   a  0  b  0    a  0  b  0 
4.a  R  a2  0
0  a  b
5.Si
  0  a.c  b.d
0  c  d
1
0
a
1
9. a  0   0
a
10. Si a y b tienen el mismo signo :
8. a  0 
a x b
1 1 1
 
b x a
NÚMEROS REALES
TEOREMAS BÁSICOS DE LAS DESIGUALDADES
a
 0  a.b  0 si b  0
b
a
12. Si  0  a.b  0 si b  0
b
1
13. a   2 ; a  R
a
1
14. a   2 ; a  R
a
15. a2  b2  2ab ; a,b  R
11. Si
NÚMEROS REALES
PARA LA CLASE …
01. Si a.b.c.d < 0; a.d2 > 0; 2b.c < 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es necesariamente cierta?
A. c < 0
B. c > 0
C. d < 0
D. d > 0
02. Si: a < 0 < b, afirmamos:
I. a2 > a.b
II. a/b < 1
¿Cuántas son verdaderas?
A. 0
B. 1
III. 1/a < 1/b
C. 2
IV. a2 < b2
D. 3
03. Si a.b < 0; a + c > 0 y b.c > a, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones
son verdaderas?
I. Si a < 0, entonces b.c < 0
II. Si c > 0, entonces b > 0
III. Si a.b.c > 0, entonces a > 0
A. Solo I
B. Solo II
C. I y III
D. II y III
NÚMEROS REALES
PARA LA CLASE …
04. Si x + y > 0; x.z < 0; y.z > x. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
necesariamente ciertas?
x.y
I. Si y > 0  z > 0 II. Si x < 0  y.z < 0 III. Si
0x 0
z
A. I y III
B. I y II
C. Solo III
D. Solo II
05. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?
I. Si 5x ≥ 25  x ≥ 5
II. Si x/3 ≥ -2  x ≤ 6
III. Si x/5 ≤ -3  x ≥ 15
IV. Si -x ≥ -1  x ≤ 1
V. Si -x ≤ 4  x ≥ -4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
NÚMEROS REALES
PARA LA CLASE …
06. Si x, y, z є R - {0} entonces podemos afirmar que:
I. Si
x x
 zy
y z
2
2
II. Si x  y  x  y
A. Sólo I es falsa
C. Sólo III es falsa
III. Si x  y 
1 1

x y
B. Sólo II es falsa
D. Todas son falsas
07. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?, si sabemos
que a < b < 0
2
2
2
I. Si  a  b  x   a  b   x  a  b
II. Si  a  b  x  a  b  x  a  b
III. Si b  a x  b2  a2  x  a  b
IV. Si  a2  b2  x  a2  b2  x  1
V. Si  a2  b2  x  a2  b2  x  1
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
NÚMEROS REALES
PARA LA CLASE …
08. De las siguientes desigualdades; indica la(s) correcta(s):
I.
II. 10  2  17  11
255
III. 5  24  3  2
A. Solo I
B. Solo II
IV. 11 112  11 112  5
C. Solo III
D. Solo IV
INTERVALOS
INTERVALOS
Los intervalos son sub conjuntos de los números reales que sirven para
expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan
gráficamente en la recta numérica real.
Para representar intervalos, se usan habitualmente dos notaciones, por
ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se
puede representar [a; b> o bien [a; b[ . La regla del corchete invertido
resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que
tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo
del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras
que b no.
INTERVALOS
CLASES DE INTERVALOS
Intervalo abierto:
a<x<b
x  a, b o
– a
x  ]a, b[
Intervalo cerrado:
axb
x  [a, b] –
a
Intervalo semi – abierto
b
b
+
+
Por la izquierda:
a<xb
x  a, b] o
–
x  ]a, b]
Por la derecha:
ax<b
x  [a, b o
–
x  [a, b[
a
b
+
a
b
+
INTERVALOS
CLASES DE INTERVALOS
Intervalos al infinito
x<a
x  ]–, a[
xa
x  ]–, a]
–
–
a
a
+
+
x>a
x  ]a, +[
x≥a
x  [a, +[
–
a
+
–
a
+
INTERVALOS
EJEMPLO:
Este ejercicio nos servirá para recordar la teoría de conjuntos y la
representación de las inecuaciones en la recta numérica.
Representa los siguientes conjuntos numéricos y exprésalos como un
único intervalo cuando sea posible:
I. ]-∞;4] U [2;5[
II. ]-∞;4] ∩ [2;5[
III. ]-3;7[ ∩ [0;7]
Solución:
I. ]-∞;4] U [2;5[ → ]-∞, 5[
Este es un intervalo no acotado y su
representación en la recta numérica
es de la siguiente forma:
INTERVALOS
II. ]-∞;4] ∩ [2;5[ → [2;4]
Este es un intervalo cerrado y su
representación en la recta numérica
es de la siguiente forma:
III. ]-3;7[ ∩ [0;7] → [0;7[
Este es un intervalo semi abierto y su
representación en la recta numérica
es de la siguiente forma:
INTERVALOS
PARA LA CLASE …
1. Considera los siguientes intervalos: A = [-3; 3], B = ]-3; 3[, C = [-1; 4]
y D = ]-4; 5]. Dibuja sobre la recta real y escribe con notación de
intervalo el resultado de las siguientes operaciones:
I. A U D
II. A ∩ B
III. B – C
IV. (AUC) - B
02. Si "a" representa un número entre 3 y 7; "b" representa un número
entre 21 y 33, b/a representa un número entre:
A. 7 y 33/7
B. 3 y 11
C. 3 y 7
D. 7 y 11
03. Si x  [2; 4] ; entonces "2x + 3" pertenece al intervalo:
A. [4; 8]
B. [7; 11]
C. ]4; 8]
D. [7; 11[
INTERVALOS
PARA LA CLASE …
04. Si x  ]3, 7[ ; entonces
A. [8; 20]
1
pertenece al intervalo:
3x  1
B. ]8; 20[
 1 1
C. 
; 
 20 8 
1 1 
D. ;

 8 20 
05. Si x  ]-3; 2] , indica el mayor valor entero en el intervalo de x2.
A. 3
B. 4
C. 8
D. 9
1 3
x5
06. Si x   ;  y
 m;n . Halla m.n
x2
2 2
A. 3/143
B. 13/143
C. 143/3
D. 143/13
INTERVALOS
PARA LA CLASE …
x2
1 3
x

;
07. Si
 4 2  ; halla el menor valor de “M” sabiendo que: x  4  M


A. 1/4
B. 1/5
C. 1/6
D. 1/7
10  a  5
a.b

M

08. Si   2  b  1 , entonces
está comprendido entre:
c
 2c5

A. -10 y – 1
B. 2 y 20
C. 2 y 10
D. 1 y 10
VALOR ABSOLUTO
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real es su valor después de quitarle su
eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es
él mismo; mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número
opuesto.
El VALOR ABSOLUTO de un número representa la distancia del punto
al origen.
"2" está a 2 unidades de cero, y "-2" también está a 2
unidades de cero. Así que el valor absoluto de 2 es 2,
y el valor absoluto de -2 también es 2. Esto es:
2  2
;
2 2
VALOR ABSOLUTO
Propiedades
Definición
Si x  R:
P.
x2  x
1
 x ; si x  0
x 
  x ; si x  0
2 3  2 3
2
P3 . x 2  x  x 2 ; x  R
P4 . x   x ; x  R
Ejemplos:
|7| = 7
P2 . x  0 ; x  R
|–3| = –(–3) = 3
3π  π3
P5 . x.y  x . y ; x, y  R
x
x
P6 . 
; x, y  R  y  0
y
y
INTERVALOS
PARA LA CLASE …
3  5  7
01. Efectúa: M 
6  1
A. -2
B. -1
02. Hallar el valor de: P 
A. 2 2  4
B. -2
2 3 
C. 1
2 1
C. 4
03. Si 3x + 15 = 0. Determina el valor de J 
A. -1
B. 0
D. 2
C. 1
D. 2
x5
x5
D. 2
INTERVALOS
PARA LA CLASE …
04. Si y > x , además x2 - y2 = 27; x + y = 3.
¿Cuál es el valor de " x - y "?
A. -9
B. 9
C. ± 9
05. Si: x -1 ; 4. Calcula: x  5  x  2  1
A. 3
B. 4
C. 8
x 2  x 3
06. Si x < -1; calcula:
x  x 1
A. -2
B. -1
C. 1
07. Si: x 0 ; 3 Reducir: E 
A. x + 4
B. 7
D. Ninguna
D. 2x – 2
D. 2
5x  48  2x  16
x
C. 11
D. 12 + 7/x
NÚMEROS REALES