Download guia n° 3, sistemas de numeros complejos

UNIVERSIDAD
ANTONIO NARIÑO
FACULTAD DE INGENIERIA ELECTROMECANICA
GUIA N° 3: Números Complejos
PROGRAMA: Ingeniería electromecánica
ASIGNATURA: CORRIENTE ALTERNA
PERIODO: 7 Semestre
TUTOR: Wilfrido Eduardo Hernández Rivas
Wilfrido.hernandez@uan.edu.co
Wileheri54@hotmail.com
Wilfridohernandez006@gmail.com
OBJETIVOS:
 Adquirir hábito de investigación sobre los números complejos
aplicados en los circuitos de corriente alterna.
 Interpretar y analizar los diferentes problemas, aplicando los
fundamentos de las características de los circuitos de corriente
alterna.
INTRODUCCION: El alumno en tecnología e Ingeniería
electromecánica debe estar bien fundamentado en las características de
los circuitos de corriente alterna, para poder aplicarlo en los diferentes
problemas que se le puedan presentar en su quehacer diario.
CONTENIDO:
1. SISTEMAS DE NUMEROS COMPLEJOS
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:
1. Leer los conceptos, definiciones y operaciones que se aplican en los
circuitos de corriente alterna, en el anexo de la guía.
2. Hacer seguimientos a los temas desarrollados y participación activa de
los diferentes grupos de trabajos, conformados en la primera sección de
presentación del programa.
3. revisar y comprender los ejemplos resueltos en el texto guía.
4. Revisar y solucionar los ejercicios propuestos en el taller N° 3
ASESORIA:
El estudiante puede solicitar ayuda en la solución de los ejercicios
propuestos en el taller N°3., ampliación del tema, o revisión previa de
algún ejercicio o problema.
EVALUACION
Se tendrán en consideraciones los siguientes parámetros, obtener los
conocimientos en la ejecución de los temas, problemas y ejercicios
planteados, además la entrega del trabajo en el tiempo estipulado.
BIBLIOGRAFIA
Texto Guía:
KEMMERLY Jack. Análisis de circuitos en Ingeniería.
1. Texto de consultas:
1. ÁLVAREZ VELLISCO, Antonio J., "Análisis de
circuitos lineales I problemas", [Madrid] Sistemas y
Servicios de Comunicación D.L. 1996
2. DORF, Richard. Circuitos eléctricos. Alfa omega
3. Irwin, J. David, "Análisis básico de circuitos en
ingeniería",
México
[etc.]
Prentice-Hall
Hispanoamericana 1997
4. KEMMERLY Jack. Análisis de circuitos en
Ingeniería.
5. PARRA PRIETO, Valentín M., "Teoría de circuitos",
Madrid Universidad Nacional de Educación a Distancia,
1997
6. RAIRAN, Danilo. "Análisis de circuitos resistivos".
Universidad Distrital.
7. FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD. Milton
Gussow. Editorial Mc Graw Hill.
ANEXO
SISTEMAS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado
ax  bx  c  0 se analizó el signo del discriminante b  4ac y su relación
con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la
ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran
imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números
complejos que nos darán la idea completa de la solución de la
ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos
numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática
del conjunto de los números complejos.
Sección 1
Definición y operaciones en el conjunto de los números
complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números
complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares
2
2
de números reales  a, b en el cual definimos las siguientes
operaciones: Suma.  a, b  c, d   a  c, b  d 
Multiplicación.  a, b c, d   ac  bd , ad  bc 
En el número complejo  a, b llamaremos a a la parte real y a b la
parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está
definida en .
Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que
se mantienen para los complejos son:
Igualdad.  a, b  c, d   a  c  b  d
Multiplicación por un escalar. (a, b)  ( a,  b) dónde   .
Ejemplo. Dados  2,1 y  0, 3 , hallar:
a)  2,1  0, 3   2  0,1 (3)    2,  2
b)  2, 10,  3   2(0) 1(3), 2(3) 1(0)   3,  6
c)  2,10, 3  2  1,1  3,  6    2,  2  5,  8
Como los números complejos son pares de números reales
podemos efectuar una representación de los mismos mediante el
plano
(Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real
(Re) al eje de las x y eje imaginario (Im) al eje de las y .
2
2
Gráfica 1: Representación del número complejo
( a, b) .
Podemos considerar que los números reales están contenidos en
los números complejos puesto que en el plano
el número
a
,0
complejo   coincide con el número real a . De este modo
2
tenemos a  (a,0) cuando a  . Los números complejos de la forma
(0, b) son llamados imaginarios puros.
Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un
escalar   :
  a, b     a,  b 
Para eso escribimos el número real  en la forma  , 0 y aplicamos
la definición de multiplicación:
  a, b    ,0 a, b     a  0b ,  b  0a    a,  b 
.
Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo
llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que i  1 .
2
i 2  (0,1)2  (0,1)(0,1)   0(0) 1(1),0(1)  1(0)   (1,0)  1
Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación
x 1  0 .
2
x 2  1  0  x 2  1  x 2  i 2  x   i
Forma binómica de un número complejo
Sea z  (a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en
la forma:
z  (a , b)  (a,0)  (0, b)  a (1,0)  b (0,1)
Pero como (1, 0)  1 y (0,1)  i , entonces (a, b)  a  bi . En este caso a  bi se
llama forma binómica o bionomía del número complejo.
Suma y multiplicación de números complejos en la forma
binómica
 a  bi    c  di    a  c   b  d  i , puesto que a, b, c, d son todos números
reales.
 a  bi  c  di   ac  adi  bci  bdi   ac  bd    ad  bc  i Porque i  1 .
Ahora observe que los resultados son los mismos que las
definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la
realización de las operaciones de suma y multiplicación con
números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la
forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que
se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar
nada nuevo.
Ejemplo. Si z  (3, 2) y z  (4, 1) , halle z  z y z z .
2
1
2
2
1
2
1 2
z1  z2  (3, 2)  (4, 1)  3  2i    4  i   7  i
z1 z2  (3, 2) (4, 1)  (3  2i)(4  i)  12  3i  8i  2i 2  (12  2)  (3  8)i  14  5i
Conjugado de un número complejo
Si z  x  yi es un número complejo llamaremos conjugado del
número z, al número z  x  yi , es decir, al número complejo que
tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo
opuesto.
Ejemplo. Si
z  3  2i ,
entonces z  3  2i y si z  3  2i , entonces z  3  2i .
Módulo y argumento de un número complejo
Sea z  (a , b)  a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos
módulo del número complejo z , al número real dado por a  b y
lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como la distancia
al origen del número z (Gráfica 2).
Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo
z  a  bi , al ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que
determina a z . El argumento de z se denota por arg( z) y se calcula
mediante la expresión:
2
b
arg( z )  arctan  
a.
Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.
Propiedad:
zz  z
2
2
Demostración:
z z  (a  bi )(a  bi )  a 2  abi  abi  y 2i 2 
  a 2  b 2    ab  ab  i  a 2  b 2  0i  a 2  b 2  z
2
División de números complejos
La división de números complejos se realiza mediante la
multiplicación y división por el conjugado del denominador:
z1 a  bi a  bi c  di ac  bd  (ad  bc)i ac  bd  (ad  bc)i





2
z2 c  di c  di c  di
c2  d 2
z2
Ejemplo. Dados
(a) Como
z2  1  2i
(b) Para hallar
z1
z2
y
entonces
z1  2  3i
z2  1  2i ,
halle: (a)
z2
y (b)
z1
z2
.
z2  1  2i
multiplicamos y dividimos por el conjugado
z2 .
z1
2  3i
2  3i 1  2i (2  3i)( 1  2i)




z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i )(1  2i )

2  4i  3i  6i 2 8  i
8 1

  i
5
5 5
(1) 2  (2) 2
Raíces compleja de la ecuación de segundo grado
Si el discriminante de la ecuación ax  bx  c  0 es negativo, debe
sustituirse el signo negativo por i y de esa forma se obtienen las
raíces complejas de la ecuación.
2
2
Ejemplo. Resolver la ecuación
x2  2 x  6  0 .
Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:
x
(2)  (2) 2  4(1)(6) 2  4  24 2  20


2(1)
2
2
Se puede ver que el discriminante es
como 20 i . Por lo tanto:
20
lo cual puede escribirse
2
x
2  20 2  20i 2 2  2 5 i


 1 5 i
2
2
2
Así, las raíces complejas de la ecuación son: x 1 5 i y x
Ejercicios de la Sección 1.
1) Dados los números complejos z  (3, 2) y w  (1, 4) , halle:
1
2
 1 5 i .
(a) z  w , (b) z w , (c) 3z  4w , (d) (1, 0)w , (e) (0, 2)z .
2) Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de
números complejos.
3) Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de
números complejos.
4) Calcule:
i3 ,
(a)
5) Calcule:
(b)
i4 ,
(c)
i5 ,
(d)
1
i
, (e)
1
i2
.
(a) i , (b) i , (c) i , (d) i .
6) Dado el número complejo ( x, y) halle el par (u, v) tal que
( x, y) (u, v)  (1,0) . Al par se le llama inverso multiplicativo de ( x, y) .
Concluya que el par (u, v) es único y que el (0, 0) no tiene inverso
multiplicativo.
4 n 1
4n
7) Verifique que
8) Verifique que
zz
uv
y
4n 2
.
uv
9) Calcule:
(a)
3  3i
2  4i
, (b)
4n 3
1  3i
2  2i
.
son conjugados.
10) Resuelva la ecuación
11) Halle
z
tal que
(2  i) z  3  i .
(2  i)(1  i)  2  z i .
12) Calcule y represente en el plano complejo los números
z  x  yi , tales que:
(a) z  5 , (b) z  5 .
13) Calcule y represente en el plano complejo los números
z  x  yi tales que:
(a) z  2  5 , (b) z  i  z  i , (c) z  z  z .
14) Resuelva la ecuación cuadrática x  3x  3  0 .
2
2
15) Resuelva la ecuación cuadrática
2 x2  4 x  5  0 .
16) Resuelva la ecuación cuadrática
x2  3x  8  0 .
17) Resuelva la ecuación
x4  13x2  36  0 .
Sección 2
Forma trigonométrica o polar de un número complejo
La forma trigonométrica de un número complejo se establece
observando el triángulo amarillo de la Figura 3:
Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.
En este caso se tiene que
Luego:

 sin  

cos  

r  z  ( x, y)
y que
 y
  arg( z )  tan 1  
 x .
y
 y  r sin 
r
x
 x  r cos 
r
Por lo tanto:
z  ( x, y)  x  yi  r cos   i r sin   r (cos   i sin )
Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número
complejo, la cual está en términos del módulo y el argumento. Se
denota comúnmente por z  r cis  .
Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de
Hallemos
Note que
.

 1 
  tan 1    
4.
 1 
y
está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:
r  (1) 2  (1) 2  2

z  1 i


 
  

  
 
z  1  i  2  cos     i sin      2  cos    i sin     2 cis  
 4
 4 
4
 4 
4


.
Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica
Sean u  r cis  y v  s cis  , entonces u v   rs  cis    . En otros términos:
uv   rs  cos(  )  i sin(  ) 
Demostración:
u v  r cis   s cis 
  rs  cis  cis  
  rs  cos   i sin   cos   i sin  
  rs   cos  cos   i cos  sin   i sin  cos   i 2 sin  sin  
  rs  cos  cos   sin  sin   i(cos  sin   i sin  cos ) 
  rs  cos(  )  i sin(  ) 
 (rs ) cis(  )
Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su
forma trigonométrica da como resultado un número complejo
cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo
argumento es igual a la suma de los argumentos.
Ejemplo. Sea
 
u  2cis  
4
y


  
 
v  3  cos    i sen     3 cis   
4
4




 4


.
Entonces u v  6cis(0)  6 cos(0)  i sin(0)   6
Fórmula de Moivre
Empleando el resultado del Ejercicio 3b de esta sección, z  r cis(n) ,
y tomando r  1 , tenemos:
 cos   i sin    cos(n)  i sin(n) .
Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.
Forma exponencial de un número complejo
Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números
reales, los conceptos de función, derivadas, series, etc. Vamos a
demostrar la fórmula de Euler:
e  cos   i sin 
.
Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función
n
n
n
i

xn
n 0 n! ,
ex  
suponiendo que sea válido para cuando la variable
número complejo z .
x
es un

zn
z z 2 z3
zn
 1     .....   ...
1! 2! 3!
n!
n0 n!
ez  
Si tomamos
z  i,
nos queda:
(i) n
(i) (i) 2 (i)3
(i) n
ei  
 1


 ..... 
 ...
1!
2!
3!
n!
n0 n!

 2 2 3 3 4 4 5 5
i
i
i
i
 ...
1!
2!
3!
4!
5!
 2
3 4
5
 1  i   i   i  ....
1! 2!
3! 4!
5!
 1 i
Agrupando tendremos:
 2 4
   3 5

ei  1    ....   i     .... 
2! 4!

  1! 3! 5!

Estos son los desarrollos de
e  cos   i sin 
.
i
cos 
y
sin 
respectivamente. Así que
Sea z  r (cos   i sin ) un número complejo donde r es su módulo y 
su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de
Euler se obtiene:
z  r (cos   i sin )  r e
.
Esta expresión es la llamada forma exponencial del número
complejo. Note que la forma exponencial es equivalente a la
trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo
y argumento del número complejo z . Esta forma es muy cómoda
pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación
empleando las leyes del álgebra.
Multiplicación y división de números complejos en su forma
exponencial
Sean u  re y v  se . Entonces:
i
i
i
u v  rei sei   rs  ei ()
u rei  r  i ( )

 e
v sei  s 
Ejemplo: Sea
i
u  6e

4
y
i
v  3e

4
. Entonces
i

u v  18 e 2  6i
y
u
 2ei (0)  2
v
.
Ejercicios de la Sección 2.
1) Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo 3  3i .
(b) en la forma binómica el número complejo 2 cos   i sin  .
2) Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo
2  2i .


  
2  cos    i sin   
3


 3 

(b) en la forma binómica el número complejo
.
3) Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y
emplee identidades trigonométricas para comprobar que si
z1  r1 (cos 1  i sin 1 )
,
z2  r2 (cos 2  i sin 2 )
, …,
zn  rn (cos n  i sin n )
entonces
(a)
(b)
(c)
z12  r12  cos(21 )  i sin(21 ) 
z1n  r1n  cos(n1 )  i sin(n1 ) 
z1 z2 ... zn   r1r2 ...rn  cis  1  2  ... n 
.
Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.
4) Calcule:
1
(a)  1  i 3  , (b)  2  2i 
5) Dados u  2  i 2 y v  2  i
hallar:
2
(a) uv , (b) u v .
6) Dados u  2  i 2 y
hallar:
, emplee la forma exponencial para
9
(a)
uv
, (b)

3i

7
v  2i 3
, emplee la forma exponencial para
u v.
4
1  i 3 
7) Halle 
.
6
1  i 
9
 1  i 
84
8) Halle
Sección 3
Raíces n-ésimas de un número complejo
En la forma binómica de un número complejo la representación es
única, mientras que en la forma trigonométrica o exponencial un
mismo número complejo tiene infinitas representaciones
diferentes, z  r e
con k  . Para cada valor de k habrá una
representación diferente del número complejo z .
Definamos la radicación como la operación inversa de la
potenciación, esto es:
z  w  z  w.
Supóngase que w  re es un número complejo de módulo r y
argumento  y que z  se un número complejo de módulo s y
argumento  . Entonces z  w equivale a:
z  s e  re  r e
w
.
De esta manera:
(1) s  r
(2) n    2k 
i (  2 k  )
n
n
i
i
n
n
n i n
i
i (  2 k  )
n

  2k 
n
Por lo tanto,
donde
y
, con k  1, 2, , n .
Estas son las fórmulas para hallar las n raíces n-ésimas de
cualquier número complejo. Compruebe que para todo otro valor
de k , con k  , se obtienen las mismas n raíces que para
k  0,1, , n 1 .
Ejemplo. Hallar 1  i .
z  sei
1 i  2 e
Para
i

4
snr
. Por lo tanto
k 0
, tenemos
s
2  2
4
z1  4 2 e

i
8
i
  2k 
 4
2
,
y
con
k  0,1 .
Entonces:
.
9
8
Para k  1 , tenemos z  2 e .
El logaritmo de un número complejo
Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un
número complejo como la operación inversa de la exponencial,
esto es:
z  log w  e  w
.Supóngase que w  re es un número complejo de
módulo r y argumento  , entonces:
e r e
 w  z  ln r  i (  2k )
.
Ejemplo. Sea 1  1e . Por tanto log (1)  ln(1)  i (2k )  2k  i , con k  .
Ejercicios de la Sección 3
1) Halle las raíces cuadradas de 1 y verifique que son i y i .
4
2
i
z
z
i (  2 k  )
i (0)
2) Halle las raíces cúbicas de 1.
3) Halle las raíces cúbicas de
1 .
4) Halle las raíces cuadradas del número
forma binómica.
5) Halle las raíces cúbicas del número
forma binómica.
6) Halle las raíces cuadradas de
complejo.
7) Muestre que
2  2i
1 3 i
1  i 3
y expréselas en la
y expréselas en la
y represéntelas en el plano
log(1)  i .
8) Halle:
(a)
log(e) ,
(b)
log(i ) ,
9) Muestre que
(c)
log(ei) .
1

log(1  i)  ln 2  i
2
4 .
10) Si Z =3 + J4; dado la expresión rectangular convertirlo en
expresiones trigonométrica, euler y polar.
Respuestas
Sección 1
1) a) (2, 2) , b)
(5, 14) ,
c)
(13, 22) ,
d)
(1, 4) ,
e)
(4, 6)

6)
x
y 
, 2

2
2
x

y
x
 y2 

 u, v   
 3  9i
10
9) a)
11) 3  i
13) a)  x  2 
interior.
15)
17)
1
1  i
2
2i ,  3i
2
 y 2  25
, círculo de radio 5 centrado en
(2, 0)
y su
Sección 2
 3 
3 2 cis  
 4
1 a)
5) a) 2, b)
1
e
4
i
10
 i
3
7)
Sección 3
3)
5)
1
3

i
2 2
4
i 
i
2e 9 , 2e
8) a)
10

9
i
, 2e
16

9
1  2k  i ,
c)

1 i
2