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Mario Barrientos
Son categorías o puntos dentro del
recorrido de la variable, que nos ayudan a
localizar valores en un conjunto de datos.
Media:
Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de
todos los valores de una variable entre la cantidad de
datos totales.
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la
expresión de la media es:
Media Geométrica
La media geométrica (MG), de un conjunto de “n” números positivos se define
como la “raíz enésima” del producto de los números. Por tanto, la fórmula para
la media geométrica es dada por
Existen dos usos principales de la media geométrica:
Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas y
Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, producción u
otras actividades o series económicas de un periodo a otro.
Supóngase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora
en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿Cuál es
la media geométrica de las ganancias?.
En este ejemplo y así la media geométrica es determinada por
Mediana:
Es el punto dentro del recorrido de una variable que supera a no más de la
mitad de datos y es superado por no más de la otra mitad.
Si el número de valores es impar, la Mediana corresponderá al valor
central de dicho conjunto de datos.
Ejemplo 1:
Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2
Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:
1, 2, 4, 5, 8, 9, 10
El 5 corresponde a la Mediana, porque es el valor central en este conjunto
de datos impares.
Si el número de valores es par, la Mediana corresponderá al promedio
de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen
por 2).
El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de
mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo
tanto, la Mediana será el promedio de los valores centrales.
21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
(N/2) es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66,
69)
Moda:
Llamada “Modo” o “valor Modal”, es el dato de la variable que aparece más veces en
una distribución.
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa
frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene
varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9
Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia,
no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Para datos agrupados
1º Todos los intervalos deben tener la misma amplitud.
Li es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi-1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.
fi+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
Los cuantiles son aquellos valores de la variable,
que ordenados de menor a mayor, dividen a la
distribución en partes, de tal manera que cada una
de ellas contiene el mismo número de frecuencias.
Los más conocidos son:
Cuartiles ( Qi )
Son valores de la variable que dividen a la distribución en 4 partes, cada una de
las cuales engloba el 25 % de las mismas. Se denotan de la siguiente forma: Q1 es
el primer cuartil que deja a su izquierda el 25 % de los datos; Q2 es el segundo
cuartil que deja a su izquierda el 50% de los datos (Q2 = Me), y Q3 es el tercer
cuartil que deja a su izquierda el 75% de los datos.
Cálculo de los cuartiles para datos agrupados
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la
mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase
mediana.
ai es la amplitud de la clase.
En primer lugar buscamos la
clase donde se encuentra ,
en la tabla de las frecuencias
acumuladas
Cálculo del Primer cuartil Q1
Cálculo del Segundo cuartil Q2
Cálculo del Tercer cuartil Q3
Q3
Deciles:
Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez
partes iguales.
Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de
los datos.
D5 coincide con la mediana.
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N es la suma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
Cálculo de los Deciles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
En la tabla de Frecuencias Acumuladas
Cálculo del Primer Decil
D1
Cálculo del Segundo Decil D2
Cálculo del Tercer Decil D3
Cálculo del Cuarto Decil D4
Cálculo del Quinto Decil D5
Cálculo del Sexto Decil D6
Cálculo del Séptimo Decil D7
Cálculo del Octavo Decil D8
Cálculo del Noveno Decil D9
Percentiles
Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes
iguales.
Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los
datos.
P50 coincide con la mediana.
Cálculo de los percentiles
En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra
en la tabla de las frecuencias acumuladas.
Percentil 35
Percentil 60
Las medidas de dispersión nos informan
sobre cuánto se alejan del centro los
valores de la distribución.
Rango
Se define como la diferencia existente entre el valor mayor y el menor de la
distribución. Lo denotaremos como R.
Realmente no es una medida muy significativa en la mayoría de los casos, pero
indudablemente es muy fácil de calcular.
Por ejemplo:
Supóngase que en un hospital el pulso de cada paciente se mide tres veces al
día y que cierto día los registros de dos pacientes muestran:
Paciente 1:
73
77
74
Paciente 2:
64
90
73
¿Cuál es el Rango en pulsaciones para cada paciente?
Para calcular el rango de los datos es necesario identificar el valor más
grande y el valor más pequeño del conjunto de datos de cada uno de los
pacientes.
Para el Paciente 1:
R = 77 - 73 = 4
Para el Paciente 2:
R = 90 - 64 = 26
Varianza
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a
la media de una distribución estadística.
Se define como la desviación típica o estándar elevada al cuadrado.
Se denota por:
Varianza para datos No
agrupados
Varianza para datos
agrupados
o también por:
Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
Desviación Típica
Es La varianza viene dada por las mismas unidades que la variable pero al
cuadrado, para evitar este problema podemos usar como medida de dispersión
la desviación típica que se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza.
COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON
Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no
vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el
coeficiente de variación de Pearson que se define como el cociente entre la
desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética
CV representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media
aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersión y menor la
representatividad de la media.
Ejemplo:
Se va a comparar la dispersión en los precios anuales de las acciones que se
venden a menos de $10 (dólares) y la dispersión en los precios de aquellas que
se venden por arriba de $60. El precio medio de las acciones que se venden a
menos de $10 es 5,25 y la desviación estándar es $1,52. El precio medio de las
acciones que se negocian a más de $60 es $92,50 y su desviación estándar es
$5,28.
Comparan la forma que tiene la representación
gráfica, bien sea el histograma o el diagrama de
barras de la distribución, con la distribución
normal.
MEDIDA DE ASIMETRÍA
Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su
media aritmética coinciden.
Diremos que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias
(absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la
izquierda.
Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha
diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda.
Existen varias medidas de la asimetría de una distribución de frecuencias. Una de
ellas es el Coeficiente de Asimetría de Pearson:
Su valor es cero cuando la distribución es simétrica,
positivo cuando existe asimetría a la derecha y
negativo cuando existe asimetría a la izquierda.
MEDIDA DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS
Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda.
Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:
Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de
los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución
normal).
Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de
los valores centrales de la variable.
Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor
de los valores centrales de la variable.
2.2) MEDIDAS DE CURTOSIS
Medida de Fisher
Para datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:
Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguiente
fórmula:
Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:
Donde: xi= cada uno de los valores; n = número de datos;
= media
aritmética;
= Cuádruplo de la desviación estándar poblacional; f =
frecuencia absoluta; xm = marca de clase
Nota:
Si a < 3 ? la distribución es platicúrtica
Si a = 3 ? la distribución es normal o mesocúrtica
Si a > 3 ? la distribución es leptocúrtica