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Cinemática (continuación)
MECÁNICA
Cinemática
 Como señalábamos en la jornada anterior, el
estado mecánico de una partícula (o de un
sistema de partículas) está completamente
determinado si conocemos la posición y la
velocidad de la partícula.
 Continuando con el movimiento
unidimensional y particularmente
movimientos rectilíneos, comenzaremos con
el movimiento más simple
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
 Si un cuerpo recorre distancias iguales en
cualquier intervalos de tiempo iguales, el
movimiento se denomina uniforme, porque la
rapidez es constante. Si además su
trayectoria es rectilínea se dice que se trata
de un Movimiento Rectilíneo Uniforme. En un
MRU el vector velocidad es constante (no
varía ni la magnitud ni el sentido). Por lo que
su aceleración debe ser cero.
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
 Si la velocidad de una partícula es constante,
su velocidad instantánea, en cualquier
momento, durante un intervalo de tiempo, es
la misma que la velocidad media durante el
intervalo. Esto es, 𝑣 = 𝑣media . Debido a
esto, se obtiene una ecuación útil para la
representación matemática de esta situación:
𝑣=
∆𝑥
= constante
∆𝑡
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
 Al recordar que ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 , se ve que 𝑣 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 /∆𝑡, o
bien,
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣∆𝑡
 Esta ecuación dice que la posición de la partícula se
conoce por la suma de su posición original 𝑥𝑖 en el
tiempo 𝑡 = 0 más el desplazamiento 𝑣∆𝑡 que ocurre
durante el intervalo de tiempo ∆𝑡. En la práctica, por lo
general se elige el tiempo al principio del intervalo
como 𝑡𝑖 = 0 y el tiempo al final del intervalo como
𝑡𝑓 = 𝑡, de modo que la ecuación se convierte en
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑡
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme
(MRU)
 Estas ecuaciones son las
ecuaciones básicas que se
utilizan en el modelo de una
partícula bajo velocidad
constante. Se aplica a partículas
u objetos que se representan
como partículas.
 El valor de la velocidad constante
es la pendiente de la línea.
La figura es una exposición
gráfica de la partícula bajo
velocidad constante.
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
 En esta gráfica posición-tiempo, la pendiente de la
línea que representa el movimiento es constante y es
igual a la magnitud de la velocidad. La última
ecuación, que es la ecuación de una línea recta, es la
representación matemática del modelo de partícula
con velocidad constante. La pendiente de la línea
recta es 𝑣 y la ordenada al origen es 𝑥𝑖
 Ejemplo
 Una partícula se mueve con MRU y en el instante
inicial se encuentra en la posición x(0) = 2.0 m …
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
 … 8.0 segundos después se encuentra en la posición
x = 18 m. ¿En que posición se encontrará a los 13.0
s? ¿Qué distancia recorrió desde el instante inicial al
instante t = 13.0 s?
 Como se trata de movimiento uniforme, la velocidad
promedio es igual a la velocidad instantánea y la
calculamos así:
 𝑣=
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥𝑓 −𝑥𝑖
𝑡𝑓 −𝑡𝑖
=
18𝑚−2𝑚
8.0𝑠−0𝑠
=
16𝑚
8.0𝑠
= 2.0𝑚/𝑠
 La ecuación del movimiento es:
𝑥 𝑡 = 2.0𝑚 +
𝑚
2.0
𝑠
×𝑡
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
 La posición que la partícula ocupa en el instante
t = 13.0 s es:
𝑥 13.0𝑠 = 2.0𝑚
𝑚
+ 2.0
𝑠
× 13.0𝑠 = 2.0𝑚 + 26.0𝑚 = 28.0𝑚
Su gráfica es:
Posición vs tiempo
35
30
x(m)
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
t(s)
10
12
14
16
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
 La distancia recorrida, en este caso es igual al
valor absoluto de Δx = 28.0m – 2.0 m= 26.0 m
 Ejemplo 2
 Con un pistola Doppler hemos medido la velocidad
de un vehículo al pasar por el punto de control: 43
m/s . Si la distancia total recorrida fue 6 km. ¿Qué
tiempo se tardó en recorrerla?
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Sabemos que si un cuerpo recorre distancias iguales en
cualquier intervalo de tiempo iguales en una trayectoria
rectilínea se dice que realiza un Movimiento Rectilíneo
Uniforme. En un MRU el vector velocidad es constante
y su aceleración es cero.
 Si, en cambio, el movimiento de un cuerpo es rectilíneo
y además su aceleración es constante (no varía), el
movimiento se denomina: Movimiento Rectilíneo
Uniformemente Variado. En un MRUV, el vector
aceleración es constante, distinto de cero.
 En tal caso, la aceleración promedio en cualquier
intervalo de tiempo es numéricamente igual a la
aceleración instantánea en cualquier instante dentro del
intervalo, y la velocidad cambia con la misma
proporción a lo largo del movimiento.
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Si 𝑎media = 𝑎, 𝑡𝑖 = 0 y 𝑡𝑓 = 𝑡, cualquier instante
posterior, se encuentra que:
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
𝑎=
𝑡−0
o
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡
 Esta poderosa expresión permite determinar la velocidad
de un objeto en cualquier instante 𝑡, si se conoce la
velocidad inicial 𝑣𝑖 del objeto y su aceleración 𝑎
(constante).
 En la siguiente figura se muestra una gráfica velocidadtiempo para un movimiento con aceleración constante.
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Fig. 13. Partícula con aceleración constante.
 a) Grafica posición versus tiempo.
 b) Grafica velocidad versus tiempo.
 c) Grafica aceleración versus tiempo.
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Puesto que la velocidad con aceleración constante
varía linealmente en el tiempo, se expresa la
velocidad promedio en cualquier intervalo de
tiempo como la media aritmética de la velocidad
inicial 𝑣𝑖 y la velocidad final 𝑣𝑓 :
𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓
=
2
 Note que esta expresión para la velocidad
promedio sólo se aplica en situaciones en que la
aceleración es constante.
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Para obtener la posición de un objeto como función del
tiempo, hay que recordar que ∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 y que ∆𝑡 =
𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 = 𝑡 − 0 = 𝑡, entonces
𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣promedio 𝑡 = 12 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 𝑡
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 12 𝑣𝑖 + 𝑣𝑓 𝑡
 Esta ecuación proporciona la posición final de la
partícula en el instante 𝑡 en términos de las velocidades
inicial y final. Se puede transformar así:
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 12 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 𝑡 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 12 𝑎𝑡 2 .
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Es posible obtener una expresión para la velocidad
final que no contenga al tiempo como variable:
𝑣𝑓2 − 𝑣𝑖2
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
1
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 +
𝑣𝑖 + 𝑣𝑓
= 𝑥𝑖 +
2
𝑎
2𝑎
𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
 Esta ecuación proporciona la velocidad final en
términos de la velocidad inicial, la aceleración
constante y la posición de la partícula
(desplazamiento).
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Ejemplo.
 Un motociclista sale de una ciudad y acelera justo
cuando pasa por el letrero de salida de la ciudad. Su
aceleración es de 4.0 m/s2; en t=0s está a 5m al este
del letrero y se mueve hacia el este a 15.0 m/s. a)
Calcule la posición y la velocidad del motociclista
en el instante t = 2.0 s
 b) ¿Dónde se encuentra el motociclista cuando su
velocidad es de 25.0 m/s?
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Solución.
 a) Calculando la posición
𝑥𝑓 = 𝑥𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 + 12 𝑎𝑡 2 .
𝑋 = 5.0𝑚 +
𝑚
15.0
𝑠
2.0𝑠 +
1
2
𝑚
4.0 2
𝑠
2.0𝑠
X=43 m
La velocidad en ese instante es:
𝑣 = 𝑣𝑖 + 𝑎𝑡 = 15.0
𝑚
𝑠
+ 4.0
𝑚
𝑠2
2.0𝑠 = 23
𝑚
𝑠
2
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Solución
 b) Para calcular la posición en que se encuentra
el motociclista cuando su velocidad es 25 m/s
procedemos así:
 𝑣 2 = 𝑣𝑖 2 + 2𝑎 𝑥 − 𝑥𝑖
 𝑥 = 𝑥𝑖 +
𝑣 2 −𝑣𝑖 2
2𝑎
despejando x:
= 5.0𝑚 +
𝑚 2
25 𝑠 −
2
𝑚 2
15 𝑠
𝑚
4.0 2
𝑠
= 55𝑚
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Caída libre o tiro vertical
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Caída libre o tiro vertical
La aceleración que la gravedad imprime a los
cuerpos que caen cerca de su superficie es en
promedio (para una Tierra esférica y sin considerar
su rotación) :
𝑚
𝑎 = 𝑔 = 9.80 2
𝑠
El valor exacto varia sobre la superficie de la
Tierra, debido a su forma (geoide) y a las
anomalías locales. Dicha aceleración está dirigida
hacia abajo.
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Caída libre o tiro vertical
Las ecuaciones del MRUV toman la formas siguientes
(hacia arriba considerado positivo):
𝑎 = −𝑔
𝑣 = 𝑣𝑖 − 𝑔𝑡
1 2
𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑣𝑖 𝑡 − 𝑔𝑡
2
𝑣 2 = 𝑣𝑖 2 − 2𝑔 𝑦 − 𝑦𝑖
Cinemática
Movimiento Rectilíneo Uniforme Variado (MRUV)
 Caída libre o tiro vertical. Ejemplo
1. Si una pulga puede saltar 0.440 m hacia arriba
¿qué rapidez inicial tiene al separarse del suelo?
¿cuánto tiempo permanece en el aire?
2. Se deja caer un ladrillo desde la azotea de un
edificio. El tabique choca contra el suelo en 2.50 s.
Si se desprecia la resistencia del aire (caída libre)
a) ¿Qué altura tiene el edificio?
b) ¿Qué magnitud tiene la velocidad del ladrillo
justo antes de chocar contra el suelo?
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles
Si lanzamos un objeto al aire formando un ángulo
agudo con la horizontal, vemos que describe una
trayectoria curva y se mueve en un plano vertical
(sin considerar la rotación de la Tierra). Si además
no consideramos la resistencia del aire y el objeto
se mantiene cerca de la superficie, podemos hacer
las consideraciones de aceleración constante y
tratar de manera muy simple dicho movimiento. Se
trata en primer lugar de un movimiento en dos …
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles
… dimensiones y la posición y la velocidad se
tratan en su naturaleza vectorial.
El primero que planteó que la curva descrita era
una parábola fue Galileo, quien además planteó
que el movimiento se puede estudiar como la
combinación de un movimiento horizontal
uniforme y un movimiento vertical con aceleración
constante.
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles
La naturaleza vectorial la trataremos por medio de
las componentes cartesianas de los vectores
velocidad y posición
𝑉 = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗
𝑟 = 𝑥 𝑖 + 𝑦𝑗
𝑉𝑥 = 𝑉𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑉𝑦 = 𝑉𝑠𝑒𝑛𝛼
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles
Movimiento horizontal
𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑉𝑥𝑖 𝑡
Movimiento vertical
𝑉𝑦 = 𝑉𝑦𝑖 − 𝑔𝑡
1 2
𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑉𝑦𝑖 𝑡 − 𝑔𝑡
2
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles. Ejemplo
Solución. Datos
Vi =37.0 m/s
ángulo de salida = 53.1°
Vxi = Vi cosα = 37.0 m/s cos 53.1° = 22.2 m/s
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles. Ejemplo
Solución. Datos
Vyi = Vi senα = 37.0 m/s sen53.1° = 29.6 m/s
𝑥𝑖 = 0
𝑦𝑖 = 0
a) Las ecuaciones a utilizar son:
𝑥 = 𝑥𝑖 + 𝑉𝑥𝑖 𝑡
1 2
𝑦 = 𝑦𝑖 + 𝑉𝑦𝑖 𝑡 − 𝑔𝑡
2
Evaluando estas ecuaciones en t = 2.00 s tenemos:
x = 44.4 m
y =39.6 m
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles. Ejemplo
Solución.
Las componentes de la velocidad serían:
𝑚
𝑉𝑦 = 𝑉𝑦𝑖 − 𝑔𝑡 = 10.0
𝑠
𝑚
𝑉𝑥 = 𝑉𝑥𝑖 = 22.2
𝑠
𝑚
2
2
𝑉 = 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦 = 24.3
𝑠
𝑉𝑦
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
= 24.2°
𝑉𝑥
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles. Ejemplo
Solución.
b) La altura máxima se calcula así: sabemos que en el
instante de la altura máxima la velocidad vertical es
cero.
𝑉𝑦 = 𝑉𝑦𝑖 − 𝑔𝑡𝑠 = 0
𝑉𝑦𝑖
𝑡𝑠 =
= 3.02 𝑠
𝑔
Con este dato calculamos la altura
1
𝐻 = 𝑉𝑦𝑖 𝑡𝑠 − 𝑔𝑡𝑠 2 = 44.7 𝑚
2
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles. Ejemplo
Solución.
c) El alcance se obtiene en dos pasos: primero
calculamos en que momento la altura es cero y
luego calculamos cuanto ha viajado en el
movimiento horizontal.
1
𝑦 = 0 = 𝑉𝑦𝑖 𝑡𝑣 − 𝑔𝑡𝑣 2
2
Se obtiene dos valores uno el instante t = 0 y el
2𝑉𝑦𝑖
otro 𝑡𝑣 =
= 6.04 𝑠
𝑔
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Proyectiles. Ejemplo
Solución.
c) El alcance del proyectil sobre terreno horizontal
es:
𝑅 = 𝑉𝑥𝑖 𝑡𝑣 = 134 𝑚
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Cuando una partícula se mueve en un circulo con
rapidez constante, tiene un movimiento circular
uniforme.
Ejemplos :Un automóvil que da vuelta a una curva
de radio constante con rapidez constante, un
satélite en orbita circular, etc.
No hay componente de la aceleración paralela
(tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidez
cambiaria.
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Movimiento Circular Uniforme (MCU)
El vector aceleración es perpendicular (normal) a
la trayectoria y, por lo tanto, se dirige hacia
adentro (!nunca hacia fuera!) al centro de la
trayectoria circular.
Esto causa el cambio en la dirección de la
velocidad, sin cambiar la rapidez. Esta Aceleración
viene dada por:
𝑎𝑐𝑒𝑛 =
𝑣2
𝑅
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Movimiento Circular Uniforme (MCU)
En conclusión, en el movimiento circular uniforme,
la magnitud a de la aceleración instantánea es igual
al cuadrado de la velocidad v dividido entre el radio
R del circulo; su dirección es perpendicular a 𝑣 y
hacia adentro sobre el radio..
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Movimiento Circular Uniforme (MCU)
También podemos expresar la magnitud de la
aceleración en un movimiento circular uniforme en
términos del periodo T del movimiento, el tiempo de
una revolución (una vuelta completa al circulo).
2𝜋𝑅
𝑣=
𝑇
Por lo que
4𝜋 2 𝑅
𝑎𝑐𝑒𝑛 =
𝑇2
Cinemática
Movimiento bidimensionales
 Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Ejemplo:
En un juego mecánico, los pasajeros viajan con
rapidez constante en un circulo de 5.0 m de radio,
dando una vuelta completa cada 4.0 s. ¿Qué
aceleración tienen?
𝑚
𝑎𝑐𝑒𝑛 = 12 2
𝑠