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Escuela de Verano 2013
Sistema Solar
Clase #3
Profesor: José Maza Sancho
9 Enero 2013
Resumen
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
Newton y la tercera ley de Kepler
Unidad astronómica de distancia
Sistema solar: grandes regularidades
Planetas terrestres y jovianos
Isaac Newton (1643-1727)
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
Isaac Newton (1643-1727) en su magistral
libro Principia Matematica de 1687
establece las bases de la mecánica y la
ley de gravitación universal.
Dos masas se atraen con una fuerza
proporcional a sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de sus distancias.
La ley de gravitación universal puede ser
deducida de la tercera ley de Kepler.
2
mv
F
r
2r
v
P
2 2
m  4 r
r


F

F

2
2
P r
P


Pero por la tercera ley de Kepler:
P r
2
3

Por lo tanto:
1
r
r
F 2  3  2
r
r
P
1
F  2
r

A partir de la ley de Newton se puede
deducir la forma general de la tercera ley
de Kepler.
2
1 1
mv
m1m 2
G 2
r1
r
2
2 2
mv
m1m 2
G 2
r2
r

Pero:
2r1
v1 
P
2r2
v2 
P

Por lo tanto:
4 r
Gm2
 2
P r
r
2 2
1
2
1
4 r
Gm1
 2
P r
r
2 2
2
2
2

Sumando ambas ecuaciones:
4
G
r  r2   2 m1  m2 
2 1
P
r

2
4 r  Gm1  m2 P
2 3
2
Forma General de la Tercera Ley de Kepler

Tercera ley de Kepler:
4 r  Gm1  m2 P
2 3
2




La forma general de la tercera ley de
Kepler sirve para calcular las masas.
Escribiendo la tercera ley para la órbita de
la Luna alrededor de la Tierra y para la
órbita de la Tierra alrededor del Sol se
puede determinar la masa del Sol en
masas terrestres.
La masa del Sol es 330.000 veces mayor
que la masa de la Tierra.
La masa de la Tierra es 81 veces la masa
de la Luna.



La distancia Tierra Sol se define como la
Unidad astronómica de distancia que
corresponde a 149.600.000 km.
El radio del Sol es de 696.000 km
Esto equivale a 109 veces el radio
terrestre.
Tamaños de la Tierra y el Sol.
Sistema Solar: Grandes
regularidades





El sistema solar está compuesto por el Sol y los
planetas.
El Sol contiene el 99,87% de la masa del
sistema solar.
La masa del Sol = 330.000 masas de la Tierra
Masa de Júpiter = 318 masas terrestres
Masa de todos los planetas equivale a 1,3
milésimas de la masa del Sol.




Todos los planetas orbitan alrededor del
Sol girando en sentido contrario a los
punteros de un reloj (vistos desde el
norte).
Todos los planetas giran “casi” en el
mismo plano.
Los planetas rotan en torno a un eje que
es “casi” perpendicular al plano de la
eclíptica.
La rotación de los planetas es contra reloj
vista desde el norte.





Se pueden distinguir dos familias de
planetas:
Planetas terrestres
Planetas jovianos.
Los planetas terrestres son pequeños,
rocosos, densos, cercanos al Sol
(Mercurio, Venus, La Tierra y Marte).
Los planetas jovianos son de hielo, poco
densos, de gran tamaño y lejanos al Sol:
Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno.
Momento angular





El Sol gira en 25 días.
La masa del sistema solar está en el Sol.
El momento angular del sistema solar está
en los planetas, principalmente los
planetas gigantes.
El momento angular de un sistema de
partículas se conserva, a menos que
actúen fuerzas externas.
La nebulosa solar primitiva depositó el
momento angular en los planetas y la
masa en el Sol.
Ley de Bode:


La gran separación existente entre la órbita de
Marte y de Júpiter llamó la atención de los
astrónomos desde los tiempos de Copérnico.
Kepler había utilizado el tetraedro para
representar ese gran espacio (por ser el
poliedro regular con una mayor razón entre el
radio de la esfera circunscrita y la esfera
inscrita).


Kepler llegó a sugerir la existencia de un
planeta desconocido en esa gran laguna
entre Marte y Júpiter.
En su búsqueda de la armonía en el
sistema solar Kepler llegó a la tercera ley
del movimiento planetario, que relaciona
semi-ejes mayores y períodos de
revolución, pero no encontró la “armonía”
de los semi-ejes entre sí.


En el siglo XVIII el alemán J. Daniel
Titius (1729-1796), profesor de física en
Wittenberg, encontró una relación
numérica que reproduce con una buena
aproximación los semi-ejes mayores de
las órbitas planetarias.
La publicó en 1772 en una nota a pie de
página en un libro que tradujo.



Esta serie pasó inadvertida hasta que
Johan Elert Bode (1747-1826), director
del Observatorio de Berlín, la dio a
conocer en 1778
ahora es referida como la “ley de TitiusBode”, o simplemente como ley de Bode,
doble error pues no es una “ley” ni
tampoco es de Bode.

Partiendo de una sucesión formada por el
número 0 y los términos de una
progresión geométrica de razón 2 y primer
término 3 (0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,
...), si le agregamos 4 a cada término y
luego dividimos por 10, resulta la serie:
0,4 0,7 1,0 1,6 2,8 5,2 10,0 19,6 38,8
...


Esta serie representa muy bien las
distancias de los planetas al Sol, desde
Mercurio hasta Saturno, empezando en
orden desde el primer término, pero
omitiendo el quinto.
[Las distancias media al Sol son: Mercurio
0,39; Venus 0,72; La Tierra 1,0; Marte:
1,52; Júpiter 5,20; Saturno: 9,54].
Planeta
Distancia
Ley de Bode
Mercurio
0,39
0,4
Venus
0,72
0,7
Tierra
1,0
1,0
Marte
1,52
1,6
????
2,8
Júpiter
5,20
5,2
Saturno
9,54
10,0
Planeta
Distancia
Ley de Bode
Mercurio
0,39
0,4
Venus
0,72
0,7
Tierra
1,0
1,0
Marte
1,52
1,6
????
2,8
Júpiter
5,20
5,2
Saturno
9,54
10,0
Urano
19,18
19,6
Problema 1:


Calcular la razón entre la masa del Sol y
la masa de la Tierra, sabiendo que la
masa de la Luna es 1/81 de la masa
terrestre.
La tercera ley de Kepler para el
movimiento de la Tierra alrededor del Sol
se puede escribir:
4  150 10
2
  G  M
6 3
 mT   365,25
2
Sol

La tercera ley de Kepler para el movimiento de la Luna
alrededor de la Tierra se puede escribir
4  384.000  G  mT  mL   27,3
3
2
2
Dividiendo ambas ecuaciones:
59,6 10 
6
M Sol

mT  1 1
Por lo tanto:
M Sol
mT
179,0

81
 337.000
Problema 2


Calcular la altura sobre la Tierra de un
satélite geoestacionario:
R: La tercera ley de Kepler para el giro de
la Luna en torno a la Tierra es:
4  384.000  G  mT  mL   27
3
2
2
La tercera ley de Kepler para el giro del satélite
alrededor de la Tierra
4  X  G  mT  mSatélite  1
2
3
2

Dividiendo ambas ecuaciones resulta
(despreciando las masas de la Luna y del
satélite, frente a la masa de la Tierra):
384.000 3 27 2

   
 X   1 


384.000
9
X
384.000
X
 42.670km
9


Esa es la distancia desde el centro de la
Tierra hasta el satélite. Para saber la
altura hay que restar el radio terrestre,
6.378 kilómetros por lo cual la respuesta
es que la altura sobre la superficie
terrestre de un satélite geoestacionario es
de 36.292 km. o sea 36.300 km.
La distancia al centro equivale a 6,7 radios
terrestres y la atura a 5,7
Tierra
Marte
Mercurio
Pluton
Tierra
Pluton
Sol
Tierra
Pluton
Sol
Sirio
Jupiter tiene 1 pixel
La Tierra no es visible en esta escala
Arturo
Sol – 1 pixel
Jupiter es invisible en
esta escala