Download Tema 3

TEMA 3. ENERGÍA MAGNÉTICA.
PROBLEMA 1. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN HILO CONDUCTOR.
PROBLEMA 2. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN INDUCTOR.
PROBLEMA 3. INDUCTANCIA TOROIDE.
PROBLEMA 4. ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO DE UN TOROIDE.
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING.
PROBLEMA 6. ENERGÍA DISIPADA Y CAMPO MAGNÉTICO INDUCIDO.
BIBLIOGRAFÍA
Antonio J. Barbero
C.A. Albacete
Marzo 2017
1
PROBLEMA 1. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN HILO CONDUCTOR.
Un hilo de cobre de radio R transporta la corriente i, que se encuentra uniformemente distribuida sobre su
sección recta. Calcular la energía magnética por unidad de longitud en el interior del hilo.
Datos numéricos: i = 5 A; m0 = 4p·10-7 N·A-2

ur

H

u
i

uz

u

ur
C

u

H

ur

H

uz

ur
r
Módulo: H 
i
2p R
2
r

H

Vector:
B  m0 H 
h
Energía magnética por
unidad de longitud 
Z
Elemento de volumen
en geometría cilíndrica
m
UB
 0 i2
h 16p
2p R
2p

U B  u B r  dV 
2
m0 i
r
2p R 2
Ley de Ampère

r u

m i 
B  0 2 r u
2p R
m0 i 2 2
u B r   2 4 r
8p R
2
R
 m0 i 2 2 
 2 4 r  h dr r d 
 8p R

0

0
d
i
B2
1  m0 i 
u B r  

r

2 m 0 2 m 0  2p R 2 
Densidad de energía
magnética (J·m-3):
Energía magnética dentro de
la longitud h de conductor 
dr
dV  h · dr · rd 
 H 2p r 
C
Campo B  el cobre es no magnético
Sección recta del conductor

u
r2
i 2
R
Simetría  módulo de H constante en todos los puntos de la curva C de radio r
R

uz

C

uz
r

Circulación del vector H
 
H ·dl  H dl
R
 m i2 
m i2  R4 
UB
 2p  02 4  r 3 dr  0 4  
4p R  4 
h
 8p R  0

U B 4p ·10 7 2

5  6.25·10 7 J·m 1
h
16p
Véase que el
resultado no
depende del radio
2
R del conductor
PROBLEMA 2. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN INDUCTOR.
Un inductor consiste en dos cortezas cilíndricas conductoras y concéntricas de muy pequeño espesor, de
radios r1 y r2, y ambas de la misma longitud h, siendo h >> r1, r2. La corteza interior transporta la corriente i
en sentido saliente de la página y la corteza exterior lleva la corriente de retorno –i en sentido opuesto (ver
esquema). Se supone que ambas corrientes están distribuidas uniformemente alrededor de las respectivas
circunferencias. Se pide: (a) Calcular la densidad de energía magnética en función de la distancia al eje
geométrico y la energía magnética almacenada en el inductor. (b) Calcular la inductancia de este inductor.
Datos numéricos: i = 10 A; r1 = 2 mm; r2 = 6 mm; h = 1.20 m; m0 = 4p·10-7 N·A-2
(a) Cálculo de energía magnética: tenemos que
determinar el campo magnético en el inductor.
h
r2
r1
i
Z
i
Sección recta
interior
C
r2
exterior

ur
r

uz

u 


H  H · u
uz
r1

u

ur

H
Consideremos la corriente encerrada por una circunferencia C de
radio r centrada en el eje del inductor, al cual llamamos eje Z.
Véase que si r < r1, entonces la corriente encerrada es igual a
cero, pues toda ella está distribuida sobre el contorno de la
circunferencia del conductor interior.
Véase también que si r > r2, entonces la corriente encerrada
también es cero, pues las corrientes de las dos cortezas
conductoras son de sentidos contrarios y la corriente neta es cero.
El único caso en que tendremos corriente neta no nula dentro de
la circunferencia de radio r es cuando r1 < r < r2, y aquí
aplicaremos la ley de Ampère.



uz
u
uz

u
 
H ·dl  H dl  H 2p r   i


u
r
C
C
ur


El campo H tiene una única componente en la dirección
acimutal u , la cual está contenida en el plano perpendicular a la
3
dirección de la corriente que circula por el conductor
(transparencia siguiente).
PROBLEMA 2. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN INDUCTOR (continuación).
Un inductor consiste en dos cortezas cilíndricas conductoras y concéntricas de muy pequeño espesor, de
radios r1 y r2, y ambas de la misma longitud h, siendo h >> r1, r2. La corteza interior transporta la corriente i
en sentido saliente de la página y la corteza exterior lleva la corriente de retorno –i en sentido opuesto (ver
esquema). Se supone que ambas corrientes están distribuidas uniformemente alrededor de las respectivas
circunferencias. Se pide: (a) Calcular la densidad de energía magnética en función de la distancia al eje
geométrico y la energía magnética almacenada en el inductor. (b) Calcular la inductancia de este inductor.
Datos numéricos: i = 10 A; r1 = 2 mm; r2 = 6 mm; h = 1.20 m; m0 = 4p·10-7 N·A-2
Sección recta


(a) Continuación  véase la dirección de H  H · u
h
H
 
H
r2
r2
H ·dl  H dl  H 2p r   i
exterior

r1
C

r
C
Por simetría, el módulo del vector H es el
mismo en todos puntos de la circunferencia
C de radio r
Z

i
i 
Vector:
Módulo:
H

H

u
i
2p r
2p r
 m i 
m i
Una vez calculado H, el valor de B es 
B  m0 H  0
B  0 u
2p r
2p r
i
interior
C
r2

ur
r

uz

u 


H  H · u
uz
H
r1

u

ur

H
B2
1  m0 i 
u B r  



2 m 0 2 m 0  2p r 
2
interior
H

uz
Densidad de energía magnética (J·m-3):
exterior
r1
C

u

ur

uz

u

ur
m0 i 2
u B r   2 2
8p r
1.59 ·10 6
4 3
J·m
Sustituyendo numéricamente  u B r  
2
r
PROBLEMA 2. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN INDUCTOR (continuación 2).
Un inductor consiste en dos cortezas cilíndricas conductoras y concéntricas de muy pequeño espesor, de
radios r1 y r2, y ambas de la misma longitud h, siendo h >> r1, r2. La corteza interior transporta la corriente i
en sentido saliente de la página y la corteza exterior lleva la corriente de retorno –i en sentido opuesto (ver
esquema). Se supone que ambas corrientes están distribuidas uniformemente alrededor de las respectivas
circunferencias. Se pide: (a) Calcular la densidad de energía magnética en función de la distancia al eje
geométrico y la energía magnética almacenada en el inductor. (b) Calcular la inductancia de este inductor.
Datos numéricos: i = 10 A; r1 = 2 mm; r2 = 6 mm; h = 1.20 m; m0 = 4p·10-7 N·A-2
(a) Energía magnética almacenada: multiplicamos la densidad
de energía en cada punto por el volumen elemental a su
alrededor y sumamos:
h
r2
r1

U B  u B r  dV
i

U B  u B r  dV 
Z
r2
Z
i
UB 
r1
dV  h · dr · rd 
Elemento de volumen
r2
0
r1

 m0 i 2 
 2 2  h dr r d 
 8p r 
r 
m0 i 2
m
2p r h dr  0 i 2 h ln 2 
2
2
8p r
4p
 r1 
dr
r
d
UB 
h
Z

2p
r 
m0 2
i h ln 2   1.32 ·10 5 J
4p
 r1 
r
d
h
dr
5
PROBLEMA 2. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN INDUCTOR (continuación 3).
Un inductor consiste en dos cortezas cilíndricas conductoras y concéntricas de muy pequeño espesor, de
radios r1 y r2, y ambas de la misma longitud h, siendo h >> r1, r2. La corteza interior transporta la corriente i
en sentido saliente de la página y la corteza exterior lleva la corriente de retorno –i en sentido opuesto (ver
esquema). Se supone que ambas corrientes están distribuidas uniformemente alrededor de las respectivas
circunferencias. Se pide: (a) Calcular la densidad de energía magnética en función de la distancia al eje
geométrico y la energía magnética almacenada en el inductor. (b) Calcular la inductancia de este inductor.
Datos numéricos: i = 10 A; r1 = 2 mm; r2 = 6 mm; h = 1.20 m; m0 = 4p·10-7 N·A-2
(b) Cálculo de inductancia: procedimiento 1  cálculo flujo B
interior
C
r2
exterior
r

uz

ur

u 
i
r1
d
dr
Perspectiva
lateral
r2

H

ur
 m i 
B  0 u
2p r
h
r
r1
uz


H  H · u

uZ

u


dS  h · dr · u

u

ur
El flujo del vector B sólo es distinto de cero en la zona intermedia
r1 < r < r2, donde el propio campo B es distinto de cero.
 m i 
m i
B  m0 H  0
B  0 u
2p r
2p r
Calculamos primero el flujo de B a través de un elemento de área
dado por la sección rectangular recuadrada en rojo de la figura en
perspectiva lateral. El flujo del vector B sólo es distinto de cero en
la zona intermedia r1 < r < r2, donde el propio campo B es distinto
de cero.


 
B · dS 


m0 i 
m ih
u · h · dr · u  0
2p r
2p
r2

r1
dr m 0 i h r2

ln
r
2p
r1
Flujo proporcional a la corriente, el coeficiente de
autoinducción es el coeficiente de proporcionalidad 
L
 1  m 0 i h r2 
 
ln 
i i  2p
r1 
L
m 0 h r2
ln
2p
r1
  Li
 2.646·10 7 H
PROBLEMA 2. ENERGÍA MAGNÉTICA EN UN INDUCTOR (continuación 4).
Un inductor consiste en dos cortezas cilíndricas conductoras y concéntricas de muy pequeño espesor, de
radios r1 y r2, y ambas de la misma longitud h, siendo h >> r1, r2. La corteza interior transporta la corriente i
en sentido saliente de la página y la corteza exterior lleva la corriente de retorno –i en sentido opuesto (ver
esquema). Se supone que ambas corrientes están distribuidas uniformemente alrededor de las respectivas
circunferencias. Se pide: (a) Calcular la densidad de energía magnética en función de la distancia al eje
geométrico y la energía magnética almacenada en el inductor. (b) Calcular la inductancia de este inductor.
Datos numéricos: i = 10 A; r1 = 2 mm; r2 = 6 mm; h = 1.20 m; m0 = 4p·10-7 N·A-2
(b) Cálculo de inductancia: procedimiento 2  a partir de UB
Cálculo apartado anterior
UB 
r 
m0 2
i h ln 2   1.32 ·10 5 J
4p
 r1 
Relación entre energía
magnética y autoinducción
UB 
L
UB 
1 2
Li
2
r  1
m0 2
i h ln 2   L i 2
4p
 r1  2
m 0 h r2
ln
 2.64 ·10 7 H
2p
r1
7
PROBLEMA 3. INDUCTANCIA TOROIDE.
Se quiere fabricar una inductancia de 600 mH utilizando como núcleo un toroide de sección rectangular
hecho de un material cuya permeabilidad es m = 250 m0. Calcular cuántas vueltas de cable será necesario
arrollar en torno al toroide.
h  20 mm
a  5 mm
Las dimensiones del toroide son las siguientes: r0  16 mm
7
a
Dato: m 0  4p 10 H/m
 en el interior
r0
h
El valor L = 600 mH dado en el enunciado es su coeficiente de autoinducción.
i
El coeficiente de autoinducción de un elemento de circuito es el cociente entre el

i
L
flujo magnético que produce la corriente que circula por él y la propia corriente.
i
 a
Resolveremos el problema si expresamos el flujo magnético en función de
m 2

N i h · ln1  
las características del elemento de circuito y lo dividimos por la corriente.
2p
 r0 
Anticipamos el resultado
Cálculo del número de espiras:
 a
 m 2
L 
N h · ln1  
i 2p
 r0 
N
N
2p L
 a
m h · ln1  
 r0 
2p · 0.6
5

250 ·4p 10 2·10 · ln1  
 16 
7
2
 1485
El problema consiste en calcular el
flujo magnético asociado a la
corriente i  esto se hace en el
anexo que sigue en las
transparencias siguientes, que
consideraremos detalladamente
después de que completemos el
cálculo del número de espiras
8
PROBLEMA 3. INDUCTANCIA TOROIDE. ANEXO. Cálculo flujo magnético.
Paso 1. Cálculo de campo magnético H dentro de toroide (N espiras) cuando circula la corriente i por el bobinado.
a
a
a
r0
i
H
H
Llamamos N al número de espiras del bobinado.
La ley de Ampère nos permite calcular el campo.
C es una circunferencia de radio
 
i
H ·dl  N i
r0  r  r0  a
h
h
i
i
C
i
a
r0
i
i
i
Vista desde arriba

u
H
i
i
r
r0  r  r0  a
Campo H en la sección rectangular
(vista lateral)

C
 
H ·dl  H dl  H 2p r   N i
Ampère
C
Los vectores H y dl son
paralelos en todos los puntos de
la circunferencia C de radio r
r
i
que atraviesa todas las espiras
C
i
r0


dl

 dl  2p r
C
El módulo del vector H es el
mismo en todos puntos de la
Su producto escalar circunferencia C de radio r
es igual al producto
Ni
de sus módulos
Módulo: H 
2p r
 Ni 
Vector: H 
u
2p r
Paso 2. Cálculo del campo magnético B una vez conocido H 
inmediato puesto que conocemos la permeabilidad del material.

 mNi
B  m H  9 u
2p r
PROBLEMA 3. INDUCTANCIA TOROIDE. ANEXO. Cálculo flujo magnético (continuación).
   Consideramos una fina tira de la sección
rectangular del toroide de altura h y base dr
Paso 3. Cálculo del flujo magnético
a
a
i
H
dr
r0
r
r0  a
a
r0
i
Flujo magnético
H
h
h
  mNi

d   B  dS 
u  h dr u
2p r
i
i
r0
i
C
i
a
i
i
i
i
d 
r0  r  r0  a
r0
S 
mNih
dr
2p r
h
u


dS  h dr u
i

 mNi
BmH 
u
2p r
m
Nih
2p
r0  a

r0
Vista desde arriba

u
 a
m
r a
dr m

N i h · ln1  

N i h · ln 0
2p
r 2p
r0
 r0 
Flujo magnético a través de las N
espiras de las que consta el bobinado:
H
i
r

d
S

Flujo magnético a través de una
espira de sección rectangular S  a  h
r
 Ni 
H
u
2p r
r0  r  r0  a

dl
  N S 
 a
m 2
N i h · ln1  
2p
 r0 
Resultado utilizado anteriormente
para calcular el número de espiras

 a
m 2
N i h · ln110
 
2p
 r0 
PROBLEMA 4. ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO DE UN TOROIDE.
Sea el toroide del problema anterior.
Calcular la energía almacenada en el campo magnético del mismo toroide cuando por el bobinado circula una
corriente i = 1 A y realizar una representación gráfica de la energía almacenada en función de la corriente.
Permeabilidad del material m = 250 m0. m 0  4p 10 7 H/m Espiras del toroide (solución anterior) N = 1485.
Las dimensiones del toroide son las siguientes: r0  16 mm
h  20 mm
a  5 mm

 mNi
Partimos del campo magnético calculado en el problema anterior B  m H 
u
2p r
Densidad de energía magnética
en el material del toroide (J·m-3):
B2
1 m N i
u B r  



2m
2 m  2p r 
2
m N 2 i2  1 
uB 
 
8p 2  r 2 

Energía magnética almacenada en el volumen del toroide: multiplicamos la densidad
de energía en cada punto por el volumen elemental a su alrededor y sumamos:

Z
2p
U B  u B r  dV 
dV  h · dr · rd 
r0  a
 
0
r0
 m N 2i 2 1 

 h dr r d 
2
2 
8
p
r


m N 2 i 2 h  r0  a 

UB 
ln
4p
r
 0 
r
d
h
dr
Elemento de
volumen del toroide
m N 2 i2 h

4p
Solución numérica:
U B  u B r  dV
r0  a

r0
dr
r
U B  0 .3 J
Comentario sobre la influencia del valor de la permeabilidad en el
resultado: si este toroide estuviese construido con un material de
permeabilidad m = m0 , entonces la energía almacenada sería 250 veces
menor, es decir, sólo 1.20·10-3 J.
11
PROBLEMA 4. ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO DE UN TOROIDE (2).
Sea el toroide del problema anterior.
Calcular la energía almacenada en el campo magnético del mismo toroide cuando por el bobinado circula una
corriente i = 1 A y realizar una representación gráfica de la energía almacenada en función de la corriente.
Permeabilidad del material m = 250 m0. m 0  4p 10 7 H/m Espiras del toroide (solución anterior) N = 1485.
Las dimensiones del toroide son las siguientes: r0  16 mm
h  20 mm
a  5 mm
Resolución alternativa: partimos de que la energía almacenada en un inductor se
puede expresar en función de la inductancia y de la corriente circulante como:
i (A)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
UB (J)
0,00
0,01
0,05
0,11
0,19
0,30
0,43
0,59
0,77
0,97
1,20
1,45
1,73
2,03
2,35
2,70
3,07
3,47
3,89
4,33
4,80
1 2
Li
2
1
U B  0.6 ·12  0.3 J
2
Energía almacenada en el campo magnético UB (J) 
Sabemos por el enunciado del problema anterior que L = 600 mH 
UB 
L  600 mH
i
Corriente i (A) 
i
12
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING.
Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras
por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por it   I 0 1  a t 
donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar:
(a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del
solenoide.
(b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico.
R  10 cm
n  103 m 1
(c) ¿Se verifica el teorema de Poynting?
a  0.01 s 1
I0  8 A
i
i
(a) Cálculo del campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio.
Puesto que hay una corriente variable, se generará un campo magnético variable y una variación de flujo
magnético en el solenoide, y tendremos un campo eléctrico inducido de acuerdo con la ley de Faraday.

S es el area
encerrada
por C
C
R
r

 

E·dl  
t
C


B  m0 n i u Z

u

 
B·dS
S
L
it   I 0 1  a t 



B  m0 n i uZ  m0 n I 0 1-a t  uZ
Cálculo de la derivada del flujo magnético a través de un círculo de radio r


Consideramos que el sentido positivo para dS es  uZ, lo cual a su vez
implica que consideramos positivo el sentido de giro antihorario.


t

u
Al tratarse de un solenoide muy
largo el campo magnético es



 
 


B·dS   m0 nI 0uZ 1  at  dS   m0 nI 0uZ  a  p r 2uZ
t
S
S
 




B·dS   m0 nI 0uZ  a  p r 2uZ  m0 nI 0 a p r 2
t S
n espiras por unidad de
longitud: si hay N espiras 
en la longitud L 

n
N
L
13
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING (Continuación).
Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras
por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por it   I 0 1  a t 
donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar:
(a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del
solenoide.
(b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico.
R  10 cm
n  103 m 1
(c) ¿Se verifica el teorema de Poynting?
a  0.01 s 1
I0  8 A
Continúa apartado (a)


t

i
i


 
 


B·dS   m0 nI 0uZ 1  at  dS   m0 nI 0uZ  a  p r 2uZ
t
S
S
 




B·dS   m0 nI 0uZ  a  p r 2uZ  m0 nI 0 a p r 2
t S

Si r  R la derivada del flujo magnético es 

t
Si r  R la derivada del flujo magnético es  
(solo hay flujo dentro del solenoide)


t
 
B·dS  m0 nI 0 a p r 2
S
 
B·dS  m0 nI 0 a p R 2
S
Cálculo del campo eléctrico inducido a lo largo de una circunferencia de radio r
Por la simetría cilíndrica del problema, el campo eléctrico
inducido



E  E u
debe estar dirigido según la dirección tangente u


C
 
E·dl 

C
 
E u dl 

C


E u dl u  E

C
dl  E 2p r
14
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING (Continuación 2).
Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras
por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por it   I 0 1  a t 
donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar:
(a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del
solenoide.
(b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico.
R  10 cm
n  103 m 1
(c) ¿Se verifica el teorema de Poynting?
a  0.01 s 1
I0  8 A
Continúa apartado (a)
Fuerza electromotriz




 

E·dl  
t
C
 
E·dl  E 2p r

 
B·dS
S
Variación flujo magnético

t
Si r  R la derivada del flujo magnético es  
Si
Si
rR
2
E 2p r  m 0 nI 0 a p r
rR
E 2p r  m0 nI 0 a p R
2
E 
m 0 nI 0 a
r
2
m0 nI 0 aR 2 1
E 
2
r


t
(solo hay flujo dentro del solenoide)
Campo eléctrico inducido:
i



B  m0 n i uZ  m0 n I 0 1-a t  uZ
Si r  R la derivada del flujo magnético es 
C
i
R
r
S
 
B·dS  m0 nI 0 a p R 2
S

E u
rR

B
 
B·dS  m0 nI 0 a p r 2

u
I0

u
15

E u
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING (Continuación 3).
Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras
por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por it   I 0 1  a t 
donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar:
(a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del
solenoide.
(b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico.
R  10 cm
n  103 m 1
(c) ¿Se verifica el teorema de Poynting?
a  0.01 s 1
I0  8 A
Campo eléctrico inducido:
Si
Si
rR
2
E 2p r  m 0 nI 0 a p r
rR
E 2p r  m0 nI 0 a p R
2
E 
E 
m 0 nI 0 a
2

B
m0 nI 0 aR 2 1
R
r
r
i

E u
rR
r
2
i

u
I0

u

E u
Interpretación del resultado: como el campo magnético disminuye con el tiempo, lo cual debilita el flujo
magnético  el campo eléctrico inducido tiene sentido antihorario, porque de esa manera se opone a la
disminución de flujo magnético.
Si
Si
rR
rR


m nI a 
E  E u  0 0 r u
2


m0 nI 0 aR 2 1 
E  E u 
u
2
r
Si
rR


m nI a 
E  E u  0 0 R u
2
16
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING (Continuación 4).
Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras
por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por it   I 0 1  a t 
donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar:
(a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del
solenoide.
(b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico.
R  10 cm
n  103 m 1
(c) ¿Se verifica el teorema de Poynting?
a  0.01 s 1
I0  8 A
Apartado (b) Vector de Poynting para r = R
rR

Campo H


m nI a 
E  E u  0 0 R u
2
i



B  m0 n i uZ  m0 n I 0 1-a t  uZ

 B


H
 n i u Z  n I 0 1-a t  uZ
Vector de Poynting
m0
  

B 
 
m nI a
S  E  H  E u  u Z  0 0 R · nI 0 1-at  u  u Z
m0
2
¡No confundir con la superficie
S a través de la que hemos
calculado el flujo antes!
 m0 n 2 I 02

S
a 1-at R ur
2

B 
H uZ 
uZ


A  A ur

uz

u

ur
i
m0

uz
El módulo del vector de Poynting nos da la
densidad de potencia (potencia a través de la
unidad de superficie) en la dirección E  H
i

u

ur

E u
  
S  EH
i
17
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING (Continuación 5).
Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras
por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por it   I 0 1  a t 
donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar:
(a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del
solenoide.
(b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico.
R  10 cm
n  103 m 1
(c) ¿Se verifica el teorema de Poynting?
a  0.01 s 1
I0  8 A
 m0 n 2 I 02

S
a 1-at R ur
2
En nuestro caso, su significado es la energía que sale por
segundo y por metro cuadrado a través de la superficie
lateral del solenoide: véase que la energía contenida en el
volumen del solenoide disminuye a medida que decrece la
intensidad de corriente que origina el campo magnético
dentro del solenoide, ya que la energía por unidad de
volumen (densidad de energía) está dada por
1   1
1
u  H ·B  m 0 H 2  m 0 n 2 I 02 1  a t 2 (J·m-3 en el S.I.)
2
2
2


A  A ur
i

B 
H uZ 
uZ
m0

uz
El módulo del vector de Poynting nos da la
densidad de potencia (potencia a través de la
unidad de superficie) en la dirección E  H
i

u

ur

E u
  
S  EH

uz

u

ur
i
18
i
PROBLEMA 5. ENERGÍA y VECTOR DE POYNTING (Continuación 6).
Un solenoide largo en comparación con su radio R tiene n espiras
por metro de longitud. Por él se hace pasar una corriente dada por it   I 0 1  a t 
donde el tiempo se expresa en segundos. Determinar:
(a) El campo eléctrico inducido en cualquier punto del espacio, dentro y fuera del
solenoide.
(b) El vector de Poynting a la distancia R del eje del solenoide. Significado físico.
R  10 cm
n  103 m 1
(c) ¿Se verifica el teorema de Poynting?
a  0.01 s 1
I0  8 A
i
i
Apartado (c) Teorema de Poynting para r = R
Debemos comprobar si el flujo del vector de
Poynting a través de la superficie lateral de radio R
y altura L (una “rodaja” del solenoide) coincide o no
con la variación temporal de la energía almacenada
por unidad de volumen en su interior.
Flujo del vector de Poynting a través


de la superficie lateral de área A  2p R L ur
 m0 n 2 I 02

S
a 1-at R ur
2
R
L
  m n2 I 2


 S  S·A  0 0 a 1-at R ur ·2p R L ur
2
 S  p m0 n 2 I 02 a 1-at R 2 L
Teorema de Poynting:
dU
S 
0
dt
Variación por unidad de tiempo de la
energía almacenada en el volumen V  p R 2 L
u
1
m 0 n 2 I 02 1-a t 2
2
U  uV 
1
m0 n 2 I 02 1-a t 2 p R 2 L
2
dU 1
d
2
 m0 n 2 I 02p R 2 L 1-a t 
dt 2
dt
dU 1
 m 0 n 2 I 02p R 2 L 2 a 1-a t 
dt 2
dU
 p m0 n 2 I 02 a 1-a t R 2 L
dt
Verificado
19
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido
Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las
líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a
aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT.
(a) Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético.
(b) Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco.
(c) Hallar el momento magnético inducido en el disco.
(d) Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los
6
1
apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre   58.11·10 S·m
(a) El aumento del campo magnético ocurre a un ritmo constante, así pues lo expresaremos como Bt   B0 1  kt 
 500  100 1  k 
Para t = 1 s el valor del campo es 500 mT
 1 k  5
 k  4 s 1
Por lo tanto el vector campo 𝐵 en función del tiempo puede expresarse como



B  B0 1  kt  u Z T   0.1 1  4t  u Z T  donde consideramos la dirección del campo magnético como eje Z positivo
El campo 𝐵 se extiende en toda
la región que ocupa el disco


B  B0 1  kt  u Z

j
𝑢𝜑
R
e

E
r

E

j
dr
𝑢𝜑
El campo eléctrico inducido origina corriente 

inducida de acuerdo con la ley de Ohm: j   E
El aumento de campo magnético producirá
un campo eléctrico inducido en el disco de
cobre conductor (ley de Faraday)



B
  kB0 u Z
 E  
t
Como la derivada de 𝐵 solo tiene
componente Z  el rotacional de 𝐸 sólo
tiene componente Z y por simetría el campo
𝐸 sólo tiene componente acimutal. Es decir,
el campo eléctrico está sobre el plano del
disco y en cada punto va en dirección
opuesta al vector unitario 𝑢𝜑 debido al signo
20
negativo introducido por la ley de Faraday.
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación)
Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las
líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a
aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT.
(a) Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético.
(b) Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco.
(c) Hallar el momento magnético inducido en el disco.
(d) Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los
6
1
apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre   58.11·10 S·m
Determinamos el módulo del campo eléctrico a partir de la ley de Faraday





E·u ·dl·u  
t




B0 1  kt ·u Z ·dS·u Z


E dl  kB0 dS

S

 

E·dl  
t

 
B·dS
S
E·2p r  kB0p r 2
S
Módulo de 𝐸 constante por simetría

dS
Se extiende a la
superficie
encerrada por Γ


B  B0 1  kt  u Z
𝑢𝜑 𝑑𝑙
R

e

E

j
dr
r 𝑑𝑙

j
Corte sección
normal al disco
dr

E
𝑢𝜑


1
E   kB0 r u  Campo eléctrico
2



1
j   E    kB0 r u  Corriente
2


E  0.2 r  u  V·m 1






j  1.16 ·107 r  u  A·m 2
r
𝑢𝜑


1
j    kB0 r u
2
21
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación 2)
Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las
líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a
aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT.
(a) Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético.
(b) Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco.
(c) Hallar el momento magnético inducido en el disco.
(d) Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los
6
1
apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre   58.11·10 S·m
Potencia disipada por el elemento de volumen cilíndrico: anillo de radio r, anchura dr y espesor e
 
  1
 
 1
dW  j·E dV     kB0 r u    kB0 r u  e 2p r dr 
 2
 2

dV  e 2p r dr


1
E   kB0 r u
2



1
j   E    kB0 r u
2


B  B0 1  kt  u Z
R

e

E

j

r 0
1
1
p  e k 2 B02 r 3dr  p  e k 2 B02 R 4
2
8
dr
𝑢𝜑
1
1
2 2 2
2
W  p  e k 2 B02 R 4   k B0 R e p R
8
8

Volumen del disco
W 1
  k 2 B02 R 2
V 8
 (S/m) =
5,81E+07
B0 (T) =
0,1
k (s-1) =
R (m) =
e (m) =
4
0,04
2,00E-04
Pot/vol (W/m3) =
1,86E+03
W
 1.86·103 W·m 3
V
Potencia disipada por m3

j
𝑢𝜑

j
r 𝑑𝑙
Corte sección
normal al disco
dr

E
W 


dS
𝑢𝜑 𝑑𝑙
r R


1
j    kB0 r u
2
3
Potencia disipada por el disco 
V (m ) = 1,0053E-06
22
Pot (W) =
1,87E-03
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación 3)
Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las
líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a
aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT.
(a) Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético.
(b) Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco.
(c) Hallar el momento magnético inducido en el disco.
(d) Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los
6
1
apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre   58.11·10 S·m
(b) Campo magnético inducido en el centro del disco.
La trayectoria cerrada Γ en la que hemos considerado
antes la circulación del campo eléctrico constituye un
elemento de circuito por el que circula la intensidad
1
dI  j e dr   kB0 r e dr
2


B  B0 1  kt  u Z
R

E

j

j
dr
𝑢𝜑

j
𝐵𝑖
r

e

E
𝑢𝜑


1
j    kB0 r u
2
dr
𝑢𝜑
Este elemento de circuito, ya que el espesor e
m dI
del disco es muy pequeño, puede aproximarse
dBi  0
2r
a una espira de radio r que generará en su
centro un campo magnético inducido igual a
Ya hemos visto que el sentido de la corriente 𝑗 es
horario, y en consecuencia el vector campo magnético
inducido por cada uno de estos circuitos elementales
apuntará hacia abajo (sentido negativo del eje Z). La
suma de todos los campos elementales nos dará el
campo inducido total en el origen, el cual se opone al
aumento del campo existente conforme con la ley de
R
R
Faraday.
m 0 dI 1
Bi 
 m 0 kB0 e dr
 2r
0
4

0
 1

Bi  m 0 kB0 eR  u Z 
4


Bi  5.84·10 5  u Z  T 
23
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación 4)
Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las
líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a
aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT.
(a) Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético.
(b) Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco.
(c) Hallar el momento magnético inducido en el disco.
(d) Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los
6
1
apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre   58.11·10 S·m
(c) Momento magnético inducido.
Cada elemento de volumen que conduce la intensidad dI es un circuito elemental genera un momento
magnético igual al producto de la corriente por el área y orientado según el eje Z negativo, ya que la




p
corriente 𝑗 es de sentido horario
dm  p r 2 dI  u   p r 2  j e dr  u    e kB r 3 dr  u 
Z
Z
2
0
Z
R
1
dI  j e dr   kB0 r e dr
2
𝑢𝜑
R
e

dm


B  B0 1  kt  u Z


j
E
dr
r

E

j

j
dr
𝑢𝜑


1
j    kB0 r u
2
𝑢𝜑
 p

m   e kB0  u Z  r 3 dr
2

0
 p

m   e kB0 R 4  u Z 
8


m  4.7 ·10 3  u Z  A·m 2
(d) Si el disco fuese de un metal peor conductor que el
cobre, el valor de  sería menor; y puesto que todos los
resultados anteriores son proporcionales a , la
potencia disipada, el campo magnético inducido en el
centro y el momento magnético inducido serían más
pequeños que los que hemos calculado. Evidentemente,
ocurriría justo lo contrario si el disco estuviese hecho
de un conductor mejor que el cobre: en tal caso
24 los
valores numéricos serían mayores.
BIBLIOGRAFÍA
LIBROS
1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill
2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.
3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.
4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.
5. López Rodríguez V, Montoya Lirola M. M, Pancorbo Castro M, Electromagnetismo II (UNED)
LIBROS DE PROBLEMAS
1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill.
2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial.
WEBCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES
RECURSOS EN LA RED
http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos
http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm
2013 
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=77474&ID_Sala=76108&hashData=
71d6396411f7f536ea668cf0de28846c
2014 
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=116587&ID_Sala=103003&hashDat
a=364de36d7171cc227ea7b6075edadbc8
2015 
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=151242&ID_Sala=125959&hashDat
a=d146bec73e3e339dcd182af3905d80fa
Descarga ppt’s
Problemas resueltos MIT
http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/coursenotes/modules/guide11.pdf
https://www.coursehero.com/file/8627631/MIT8-02SC-challenge-prob22/
Problema de vector de Poynting en esta presentación:
webconferencia 2015 (problema 1)
Problema de energía magnética en coordenadas esféricas:
webconferencia tema 3 de 2016 (problema 5 - minuto 40)
2016 
Tema 1
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacio
n.php?ID_Grabacion=191703&ID_Sala=15055
4&hashData=894e2ef754fb3d7bee2c406df2c1f
3b4
2016 
Tema 3
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=194515&ID_Sala=151587&hashDat
a=3db7d3a5903588242624b9800346db0e
25
RECURSOS CURSO 2016-17
ENLACES A WEBCONFERENCIAS CURSO 2016-17
Esta página se añade como comentario a fecha 10-03-2017 debido a las incidencias técnicas ocurridas durante
las webconferencias del tema 1 y del tema 3 (09-03-2017).
Resumen de incidencias:
Webconferencia del tema 1, miércoles 22-02-2017  El micrófono no funcionaba y no fue posible
habilitarlo, por lo que los alumnos no oían nada y no se grabó la videoconferencia. El enlace a la presentación
del tema 1 es el siguiente:
http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2_2013/EMO2%20Tema1%20170222%20AJB%20Febrero
%202017.pptx
Webconferencia del tema 3, jueves 09-03-2017  En el transcurso de la webconferencia se produjeron dos
interrupciones en la grabación por ´pérdidas de conexión con el servidor. Al retomar la conexión se prosiguió
grabando, quedando en total tres grabaciones sucesivas cuyos enlaces se indican a continuación.
Conexión inicial
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=239329&ID_Sala=
175722&hashData=651aea4a8322366a96639b0687ef77ac
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=239346&ID_Sala=
Conexión 2 175722&hashData=6535fa64d3d782565b3948aac5b80021
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=239380&ID_Sala=
Conexión 3 175722&hashData=8c5e24dd62acbf5b8188367bab865f02
26