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TEMA 1. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES.
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (FILAMENTO).
PROBLEMA 2. CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO)
PROBLEMA 2b. CAMPO H EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO)
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES
PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA
BIBLIOGRAFÍA
APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EJE ESPIRA CIRCULAR
Antonio J. Barbero
C.A. Albacete
Febrero 2017
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN.
Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también
indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, el cual está hecho de un material magnético lineal
de permeabilidad relativa r. Determine:
a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.
b) Las corrientes de imanación en el tubo.
1. r1 < a
a) Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento
2. a  r2  b
Región 1. r1 < a
3. r3 > b
Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada
en el hilo de radio r1
a
b

 
H1dl  I
H1  2 r1  I
I

H1 
r2
r1

u
Región 2. a  r2  b

C4
Por la simetría del problema, el campo
H está en cada punto en la dirección del

unitario u



B
H2  2  M 2
0
 
H 2 dl  I
I
2 r1

u

M1  0


I 
B1  0 H1  0 u
2 r1
Dentro del material magnético
H 2  2 r2  I


I
B2  r 0 H 2  r 0 u
2 r2

H2 
I
2 r2

u

  1I u
M2  r

2 r2
2
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa).
a) Región 3 (exterior).
b) Corrientes de imanación

Región 3. r3 > b
H3  2 r3  I
 
H 3dl  I
H3 


I 
B3  0 H 3  0 u
2 r3
I
2 r3

u

M3  0
a
   1 M z M     M r M z   1  rM  M r 
  M  ur 



  u 

  u z 
z 
r 
r  r
 
 z
 r 
  1I
M 2  f (r2 )  r
2 r2
En la región 2 la forma de M es
M 2r  0
(resultado apartado anterior)
M2z  0
Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene
componentes r ni z.
b
El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo
porque la derivada de M2 respecto a z es cero.
I
r1


J m    M (A/m2)

 
Km  M  un (A/m)
El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo
porque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero.
r2
r3

u
Véase que


Jm    M  0
No hay corrientes volumétricas de imanación
3
C4
PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa 2).

 
Km  M  un
Densidades de corrientes superficiales de imanación


un  ur
En r2 = a

Km
r2 a

  1I u
   1I 

 M 2 (r2  a)  un  r
u   ur   r
z
2 a
2 a
En r2 = b

Km
a
r2 b
b
I
 
un  ur

ur

   1I   r  1I 
 M 2 (r2  b)  un  r
u  ur 
 uz 
2 b
2 b

u

uz

u

 ur

 uz
Corrientes de imanación
Superficie interna
Superficie externa
I m (a)  2 a 
r  1I  
2 a
r
 1I
  r  1I 
I m (a)  2 b  
 r  1I

 2 a 
Sobre la cara
externa r2 = b
Sobre la cara
interna r2 = a
4
C3
CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓN
PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B
Determinar el campo magnético en el eje
 de un cilindro recto imanado de radio 5R y
altura L, cuya imanación constante es M  M 0uz Representar gráficamente.
2.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO
Determinar el campo magnético en el eje
 de un cilindro recto imanado de radio R y
altura L, cuya imanación constante es M  M 0uz Representar gráficamente.


 
El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica 
J s  M  ur  M 0uz  ur  M 0u
por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es
M0 (A/m)
Z
Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan
la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a
(0,0,z)
una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en
z’ se encuentra a una distancia ( z  z ' )2  R2 del punto donde hay
que determinar el campo magnético.



M  M 0uz
u

uz

Js
L
El campo magnético de una espira
circular (radio R) que transporta la
corriente I en un punto z de su eje es
dz '

ur
z'
R
Y

u

uz
X

B

ur
L
Análogamente el campo creado en
z por cada una de las cintas que
transportan la corriente M0dz’ es

 0 R 2 M 0 dz ' u z
  2( z  z')  R 

dB 
2
0
L
 ( z  z')  R 
dz '
2
0
C5
2 3/ 2

1 
z

2 
R  z 2  R 2
2 3/ 2

0 M 0 
2

B

dB 

0 R 2 I
2 z2  R2


u
3/ 2 z


 0 R 2 M 0 dz ' u z
2 ( z  z' )2  R 2


 2
u z
2
2
2
( z  L)  R 
 z  R


 z  L 2  R 2 
z
zL
zL
Véase, por ejemplo http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/
6

3/ 2
PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B
B
0 M 0 
2
z
 2
2
 z  R

B
L
R
0 M 0
Imán (R, L)
R
 0.01
L
(discontinua)
0 M 0
2
El origen z/L = 0
es el polo sur. El
imán es la zona
gris 0 < z/L < 1.


( z  L) 2  R 2 
zL


z
z


1
0 M 0 

L
L
B

2
2 
2   z 2  R 2
 z  R 
    
  1    
  L   L 
L  L 
En el exterior del imán
pueden realizarse medidas
del campo B y verificar que
las mismas se ajustan a la
ecuación anterior.
R
 0.05
L
(continua)
Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L  cuando R << L (imán largo y estrecho)7
C2
DISPOSITIVO EXPERIMENTAL
100
80
B (mT)
60
40
20
0
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
z/L
8
C1
PROBLEMA 2b. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO H
Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un

cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: M  M 0uz
Representar gráficamente.
 M 
z
B 0 0 

2  z 2  R2

Dentro del imán 0  z/L 1


z
z


  M
1
zL


0
0
L
L
u z 


 uz
2
2
2
2
2
2
2
( z  L)  R 
z
R
z
R

  
     
  1    
  L   L 
L  L 
 
 
z
z
 
 
1


 1 
 
L
L
H
 M  M 0 uz  

 1
2
2
2
2 
2
0
   z  R
 z  R  
  1     
   L  L 




L  L  
 

B

 
z
z


 
1
 M 0 uz 
 
L
L
H

 2

2
2 
2   z 2  R 2
 z  R  

  1     
  L    L 
L  L  
    
Fuera del imán


z
z



1
 B M u 

L
L
H
 0 z

2
2
2
2 
0
2
 z  R 
  z    R 
  1    
  L   L 
L  L 
C2
0.5
0.4

B
0
 
 H M

B

H
R / L  0.25
unidades M 0 
0.3
0.2
0.1
-0.50
0
0.00
-0.1
z/L
0.50
1.00
1.50
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
Fuera del imán H tiene el mismo sentido
que B; dentro tiene sentido contrario.
9
PROBLEMA 2. Gráficas B y H
L
R
B
Gráficas de B y H
en función de z/L
R
 0.05
L
0 M 0
Unidades S.I.
B
M0, H
T
A·m-1
0 M 0
2


z
z


1
0 M 0 

L
L
B



2
2
2
2
2
 z  R 
  z    R 
  1    
  L   L 
L  L 
z
0
H

 
z
z

 
1
M 0 
 
L
L
H


  2
2
2
2
2
2   z  R
 z  R  
    
  1     
 L
L  L  
    L 
Dentro
Fuera
C1


z
z


1
M0 

L
L
H

2
2 
2   z 2  R 2
 z  R 
    
  1    
  L   L 
L  L 
1
R
 0.05
L
M0
2

2
M0
M0
2
0
1
z
10
L
2
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES
Dos cilindros indefinidos coaxiales, cuyos radios están indicados en la figura, son de un material
conductor, siendo sus respectivas permeabilidades 1 y 2. Por los cilindros circulan corrientes del
mismo valor (I) pero sentidos contrarios. Se suponen uniformes las densidades de corriente.
Calcular el campo magnético en función de la distancia al eje.
Z


J1  J1 u Z
1
b
Si las intensidades de corriente I son del
mismo valor, y las densidades de corriente
2
son uniformes, el valor absoluto del flujo
del vector J1 a través de la superficie del
conductor interno es igual a:
I


J1 
J 2  J 2  u Z 
 a2
Y
a
X
y el valor absoluto del flujo
del vector J2 a través de la
superficie
del
conductor
externo es igual a:
J2 
I
 b  a2

2

Una vez calculadas las densidades de corriente J1, J2 estamos en condiciones de calcular el campo magnético.
11
C3
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)
Z
r  r1  a


J1  J1 u Z
J1 
Conductor interno
Vista desde arriba, eje Z saliente
I
 a2

Densidad de corriente J1  J1 uZ
C1
b
C1

u
r1
a

Y

u
H1
a

r1
H1
X
X


El campo H  H1 sólo tiene


Ley de Ampère:

 
H ·dl  I enc
C1




H1·u ·dl·u  H1 dl  H1·2 r1  I enc  J1  r12
C1
C1

Campo B
C4
C1 es la circunferencia centrada
en el origen y de radio r1 e Ienc
es la corriente encerrada por C1.


B1  1 H 1
componente u ya que J1
sólo tiene componente Z.
 1

H1  J1 r1 u  1 I r1 u
2
2 a 2
 1

1
r 
B1  1 J1 r1 u 
1 I 12 u
2
2
a
Válido en
r  r1  a
12
Y
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)
a  r2  b
Z
J1 
I
 a2
J2 
I
 b  a2

2

Conductor externo
Vista desde arriba, eje Z saliente, corriente entrante

Densidad de corriente J 2  J 2  uZ 
C2
radio a
b


J 2  J 2  u Z 
a
r2

H2
C2

u
Y
Y

u

b
r2
H2
X
 
El campo H  H 2 sólo tiene
X

Ley de Ampère:

 
H ·dl  I enc
C2

C2 es la circunferencia centrada
en el origen y de radio r2 e Ienc
es la corriente encerrada por C2.

2


 2

H 2·u ·dl·u  H 2 dl  H 2·2 r2  I enc  J1  a 2  J 2  r22  a 2   I  I  r22  a 2   I
b a 


C2
C2

I  b 2  r22  1 

 u
H2 
2  b 2  a 2  r2
C4
Válido en
a  r2  b


Campo B2   2 H 2


componente u ya que J1 , J 2
sólo tienen componente Z.
 b 2  r22 
 2

2 
b

a



I  b 2  r22  1 

 u
B2   2
2  b 2  a 2 13
r2
PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar gráficamente conviene adimensionalizar en función de r/a
I
J1 
 a2
I
J2 
2
 b  a2


H1 


1 r1 
H1 
I
u
2 a 2

H2 

I  b 2  r22  1 

 u
H2 
2  b 2  a 2  r2
 r1  
 u
2 a  a 
I
 b / a 2  r2 / a 2  1 


u
2 a  b / a 2  1  r2 / a 
I
Zona externa r > a
Ejemplo: parámetro
J  A·m-2
H  A·m-1
1.2
Unidades
b
4
a
r a
H
Recordatorio
unidades S.I.
Zona interna r < a
r b
r b
1   
a a
r
0    1
a
1.0
I
2 a
0.8
0.6
H1
T  T (Wb·m-2 , kg·A-1·s-2)
  H·m-1, N·A-2 , kg·m·s-2·A-2)
H2
0.4
0.2
0.0
0.00
C3
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
r
14
a
PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA
Una esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de la
esfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·104 A/m. Calcular las densidades de
corriente de imanación.
Corrientes de imanación:


Volumétrica J m    M

 
Superficial K m  M  u N
(1)
Imanación uniforme

 M  0

Jm  0
Corte del cuadrante superior
derecho de la esfera hueca
Z
Tendremos dos corrientes superficiales,
una exterior (1) y otra interior (2).





u N  ur  sin  cos  u X  sin  sin  uY  cos  uZ

r1



u  sin   u X   cos  uY
1
2


K1  M sin  u
r1  0.10 m r2  0.05 m





K1  M sin  cos  uY  sin  sin   u X   M sin  sin   u X   sin  cos  uY 
(2)
Z







K 2  M   ur   M uZ   sin  cos  uX  sin  sin  uY  cos  uZ 


 
 

K 2   M sin  cos  u Z  u X  sin  sin  u Z  uY 
K 2  M r2 sin  u





K 2   M sin  cos  uY  sin  sin   u X   M sin  sin   u X   sin  cos  uY 
Solución numérica:
es función del
ángulo azimutal 
C3
M  2·104 A/m





u N  ur  sin  cos  u X  sin  sin  uY  cos  uZ 


K1  2 ·104 sin  u A·m 1


K 2  2 ·104 sin  u A·m 1

M

 ur

r2

 




K1  M  u r  M uZ  sin  cos  u X  sin  sin  uY  cos  uZ 

 
 
K1  M sin  cos  u Z  u X  sin  sin  uZ  uY 

ur

K1


K1

Corriente superficial exterior
15
BIBLIOGRAFÍA
LIBROS
1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill
2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa.
3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley.
4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall.
5. López Rodríguez V, Montoya Lirola M. M, Pancorbo Castro M, Electromagnetismo II (UNED)
LIBROS DE PROBLEMAS
1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill.
2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial.
RECURSOS EN LA RED
http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos
VIDEOCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES
2013 
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=77474&ID_Sala=76108&hashData=
71d6396411f7f536ea668cf0de28846c
2014 
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=116587&ID_Sala=103003&hashDat
a=364de36d7171cc227ea7b6075edadbc8
2015 
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=151242&ID_Sala=125959&hashDat
a=d146bec73e3e339dcd182af3905d80fa
http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm
RECOMENDADOS
Eugene Khutoryansky. Electromagnetism - Maxwell’s laws.
Video en inglés, en su mayor parte subtitulado, con lo cual
puede seguirse sin problemas aunque se tenga alguna
dificultad con la comprensión oral. Muy recomendable.
2016 
http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php
?ID_Grabacion=194515&ID_Sala=151587&hashDat
a=3db7d3a5903588242624b9800346db0e
https://www.youtube.com/watch?v=9Tm2c6NJH4Y
Canal de física de Eugene Khutoryansky.
Contiene bastantes videos interesantes, incluido el anterior.
C3
https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky
16
APÉNDICE CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 𝐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE
EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA NORMAL AL PLANO DE LA ESPIRA
1.- Espira plana circular de radio R cuyo centro es nuestro origen de coordenadas
2.- La espira transporta la intensidad de corriente I. Consideramos un elemento de corriente.
3.- Este elemento de corriente 𝐼𝑑𝑙 genera un campo magnético 𝑑𝐵 en el punto (0,0,z)
4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart
𝑍
𝜃
5.- Véanse los ángulos
𝑑𝐵
𝑢𝑁

  0 I dl  r
dB 
4
r3
𝑍
𝑑𝐵𝑍
90 − 𝜃
90 − 𝜃
𝑟
𝑢𝑟
𝑧
𝑑𝐵
(0,0,z)
𝑢𝑍
𝑅
𝑢𝑁
𝑑𝜑
𝜑
𝑋
𝐼𝑑𝑙 = 𝐼𝑑𝑙 𝑢𝜑
I dl  I R d
𝑢𝜑
7.- El campo magnético 𝑑𝐵 en el punto (0,0,z) tiene una
componente dirigida según el eje Z y otra paralela al plano XY.
𝑑𝐵𝑋𝑌
𝑌
𝑌
𝜃
𝑋
𝑢𝑟
𝑢𝑍
𝜃
𝜑
6.- La dirección del campo 𝑑𝐵 en
el punto (0,0,z) es normal al plano
que determinan los vectores 𝐼𝑑 𝑙 y
𝑢𝑟 . El vector unitario en esa
dirección es 𝑢𝑁 .

 
u N  u  ur
17
El vector unitario 𝑢𝜑 determina en cada punto de la circunferencia la dirección local de la tangente. El elemento de corriente
𝐼𝑑𝑙 tiene en cada punto esa misma dirección y sentido.
APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 𝐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE
CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA….
(Cont.)

  0 I dl  r  I R d    0 I R d 
8.- Expresamos 𝑑𝐵 en función del vector unitario 𝑢𝑁 dB 
uN
 0
u  ur 
3
4 r 2
4
r
4 r 2
9.- Para obtener el campo 𝐵
10.- Observando la figura debemos notar que el campo
debemos integrar 𝑑𝐵  véase que
magnético en (0,0,z) no tendrá componente neta en dirección
la componente 𝑑𝐵𝑍 es igual a
paralela al plano XY, porque cada componente 𝑑𝐵𝑋𝑌 se verá
cancelada por la simétrica que apunta en dirección opuesta


 0 I R d
𝑍
dBZ 
cos  u Z
(la que corresponde al ángulo 𝜑 + 𝜋). Por tanto el campo 𝐵
4 r 2
𝜃
𝑑𝐵 será igual a


 I R d
dBZ  0
cos  u Z
2
4 r


𝑢𝑁
R
B  dBZ
cos  

𝑍
r
  0 I dl  r
𝑑𝐵𝑍
dB 
4
r3
90 − 𝜃

90 − 𝜃
𝑟
𝑢𝑟
𝑧
𝑑𝐵
𝑢𝑟
𝑌
𝑌
𝑑𝜑
𝜑
𝑋
𝜃
𝑋
𝑑𝐵𝑋𝑌
𝑢𝑁
𝑢𝑍
𝑅
𝑢𝑍
𝜃
𝐼𝑑𝑙 = 𝐼𝑑𝑙 𝑢𝜑
I dl  I R d
 
B 0
4
𝑢𝜑

Integramos: B 


dBZ 
  2

 0

 0 I R d
cos  u Z
2
4 r
r  R2  z2
  2
  2
 0
 0

𝜑
0 I R 2 
I R d R 
u

uZ
Z
r2 r
4 r 3
 d
 

I R2
B 0
uZ
3
/
2
2 R 2  z 2 18

