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Generadores de traslaciones en
presencia de un campo
magnético
Dr. Gerardo F. Torres del Castillo
Dorely Alicia Rosete Álvarez
Resumen
Se analiza el caso de una partícula cargada inmersa en un campo
magnético, con el fin de entender el efecto que tienen los generadores de
traslaciones sobre el sistema, es decir, la manera en cómo afecta a la
posición y al momento cinemático que posee la partícula. Por definición,
una traslación añade una constante a las coordenadas cartesianas de la
partícula; por otra parte, habría que definir el efecto que tiene una
traslación sobre su momento cinemático (hay que recordar que cuando está
presente un campo magnético, el momento cinemático y el momento
canónico no coinciden).
Transformación canónica pasiva
Transformación canónica activa
Mecánica Clásica
La lagrangiana para una partícula cargada inmersa en un campo
magnético esta dada por:
1 2 q
mv  A  v,
2
c
(1)
L
q
 mxi  Ai .
xi
c
(2)
L
Pi 
Por lo tanto los paréntesis de Poisson fundamentales son:
x , x  0,
i
j
x , P   
i
j
ij
P , P   0
,
i
j
(3)
Haciendo uso de las ecuaciones (2) y (3), se encuentra:
x , x  0, x , p   , p , p 
i
j
i
j
ij
i
j
q
 εijk Bk
c
(4)
dA
 A,G
d
(5)

dxi
 xi , Pj   ij
d j


dxi
 xi , p j  ij ,
ds j
xi  s j ij  xi0
dPi
 Pi , Pj   0
d j


dpi
q
 pi , p j  εijk Bk
ds j
c
q
pi   ijk s j Bk  pi 0
c
(6)
(7)
Traslación activa
m ,q
y
r
r´
x
z
Traslaciones Pasivas
S´
y
m ,q
x
z
Ahora, si tomamos a Gk como generador de traslaciones:
dp i
 p i , Gk   0
ds
dxi
 xi , Gk    ik ,
ds
0
p , p , G p
i
j
k
q
 ijl Bl , Gk 
c
Bl
q
  ijl
c
xk
j
  
, Gk , p i  Gk , p i , p j
(8)


(9)
Haciendo uso de las ecuaciones (2), (3) y (6) uno encuentra que:
q
Gi  p i   ijk Bk
c
¿Si el campo magnético no es uniforme?
xi  xi  a
pi  pi
(10)
4
f qi , pi 
g qi . pi 
2
1
3
f qi , pi 
g qi . pi 
0