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LEY DEL SENO Y
COSENO
Notación
A
Letras mayúsculas A,
B y C, representan a
los ángulos de un
triángulo, y letras
minúsculas a,b y c,
representan los lados.
b
c
C
a
B
Ley de los senos
Si ABC es un triángulo con lados a, b y c,
B
a
C
C
b
a
c
b
A
c
B
a
sen 

c
sen 
A

b
sen 
LEY DEL SENO
La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que
siempre se cumplen entre los lados y
ángulos de un triángulo cualquiera.
a
sen 

c
sen 

b
sen 
Aplicaciones
En el triángulo de la figura, C=102.3 grados,
B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los
ángulos y lados restantes.
C
b
a
A
c
B
Solución:
El tercer ángulo del triángulo es
A = 180 - B - C = 49 grados.
Por la ley de los senos tenemos que:
a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3
Usando que b = 27.4 se obtiene,
a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = 43.06 mts.
Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen 102.3 = 55.75 mts.
Ejercicios:
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente:
b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’.
2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas
de 115 kg y 215 kg es de 275 kg.
Encuentra el ángulo formado por las
direcciones de las dos componentes.
No veas las respuestas hasta que estés seguro
de tus resultados.
Respuestas a los ejercicios:
Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés
seguro de tus resultados.
1.
B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70 .
2.
 = 109° 5’ 33’’
LEY DEL COSENO
Sirve para resolver triángulos que NO son
Rectángulos.
Permite encontrar el valor de un lado de un
triángulo conociendo dos lado y el ángulo
formado entre estos dos lados
c² = a² + b² - 2a·b·cos α
a² = b² + c² - 2b·c·cos β
b² = a² + c² - 2a·c·cos φ
Encontrar los tres ángulos de un triángulo
cuyos lados son a= 80 m, b = 19 m., c=14 m.
B
a=8 mts.
C
c=14 mts.
b=19 mts.
A
Solución.
Por la ley de los cosenos tenemos que
Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82
+ 142 – 192) = -0.4508.
Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.
De hecho, B = 116.80 grados.
Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros
ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues
a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = 0.37582.
Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados.
Revisión del estudio individual
Dos nadadores se encuentran a 250 m
uno de otro. Ambos están nadando hacia
el mismo punto, que se halla a 423m del
primero y a 360m del otro.¿Qué ángulo
forman las direcciones de ambos?
Rta/  = 36,8o
Un barco está a 15 km directamente al sur
de un puerto. Si el barco navega al
nordeste 4,8 km,¿a qué distancia se
encuentra del puerto?
PBC = 450
P
C
PB = 15 km
PC = ?
BC = 4,8km
B
Ejercicio 1
Las distancias que hay entre tres ciudades (A,
B y C) colocadas en los vértices de un triángulo
son
AB = 165 km , AC = 72 km y BC =
185 km . La segunda está al Este de la primera
y la tercera está al Norte de la recta que une a
las dos primeras. ¿En qué dirección estará la
terceraC vista desde la primera?
N
NE
NO
O

A
165 km
B
E
SO
S
SE
Ejercicio 2
Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km de la
primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de la segunda en
dirección noroeste aproximadamente. Halla la dirección exacta a que se encuentra
la tercera ciudad respecto a cada una de las dos primeras.
N
C
NE
NO
O
E

A
15 km
B
SO
SE
S