Download varianza -según -"de 0"

MÓDULO DE ESTADÍSTICA
Medidas de Dispersión
Objetivo
Al finalizar el módulo de medidas de dispersión, el
estudiante será capaz de:
• hallar el rango, varianza y desviación estándar
de un conjunto de datos.
Medidas de dispersión:
Las medidas de dispersión describen la
variabilidad entre un conjunto de datos. Al
estar cercanos los valores de los datos,
carecen de dispersión. A mayor dispersión,
mayor es la diferencia entre los datos.
Las medidas de dispersión son: rango (alcance), varianza,
desviación estándar.
• Rango (alcance) = La diferencia entre el valor máximo de
un conjunto de datos y el mínimo.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 – 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
Ejemplo 1:
Determinar el rango de las estaturas de seis
estudiantes:
162cm, 176cm, 180cm, 182cm, 178 cm y 175cm
Debemos buscar el valor mayor = 180 cm, el valor
menor = 162 cm.
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = (180 – 162) 𝑐𝑚 = 18 𝑐𝑚.
Hay una gran dispersión de datos.
Ejemplo 2:
Determinar el rango de las propinas de un mesero durante
nueve días de labor. Si los datos son:
$20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28
Hallar el valor mayor = $36, el valor menor = $20, entonces
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = $36 − $20 = $16
Entonces hay una dispersión alta de datos.
Ejemplo 3:
Encontrar el rango de los sueldos semanales de once
trabajadores
$350, $280, $450, $373, $470, $450, $300, $500,
$490, y $430
Determinar el valor mayor = $490, el valor menor =
$280, entonces
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = $490 − $280 = $210.
Hay una dispersión alta de sueldos.
Varianza y desviación estándar
La desviación estándar se determina cuando se ha
encontrado la varianza. Luego, la desviación estándar
indica cómo cada dato se acerca o se aleja de la media.
Si los datos se están trabajando en una población, la
varianza tiene como fórmula lo siguiente:
𝜎 2=
𝑥 −x̅ 2
,
𝑛
Donde varianza = 𝜎 2 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝜇,̅ el número de datos = n.
Pero si es una muestra sería
𝑠2=
𝑥 −𝑥̅ 2
𝑛−1
Cambia el símbolo de la varianza en la muestra y se
trabaja con un dato menos.
Donde varianza = 𝑠 2 , 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑥,̅ el número de datos = n.
Ejemplo 1:
Determinar la varianza y desviación estándar de las
estaturas de seis estudiantes seleccionados
aleatoriamente de un grupo. Sus medidas son:
162𝑐𝑚, 176𝑐𝑚, 180𝑐𝑚, 182𝑐𝑚, 178 𝑐𝑚 𝑦 175𝑐𝑚
Coloquemos los datos en una tabla, busquemos la media,
debemos restar cada dato de la media y esa diferencia se
eleva al cuadrado.
Luego, debemos sumar esos cuadrados y se dividirán por
la cantidad de datos menos 1, ya que es una muestra.
Solución:
Media: sumar todas las x y dividirlas
por 6.
1053
𝑥̅ =
= 175.5
6
Luego cada dato debe ser restado por
esa
Media obtenida.
Cada diferencia debe ser elevada al
cuadrado.
2
𝑥
−
𝑥
̅
251.5 251.5
2
𝑠 =
=
=
𝑛 −1
6 −1
5
= 50.3
𝑠 2 = 50.3
x
(x - 𝐱)
162
-13.5
182.25
176
0.5
0.25
180
4.5
20.25
182
6.5
42.25
178
2.5
6.25
175
-0.5
0.25
1053
𝐱 − 𝐱
251.5
𝟐
Desviación estándar siempre será la raíz cuadrada
de la varianza.
En el ejemplo anterior la varianza fue:
𝑠 2 = 50.3 cm
Entonces la desviación estándar será:
𝑠=
𝑠2
𝑠 = 50.3 = ±7.09𝑐𝑚
Ejemplo 2:
Determinar la varianza y desviación estándar de las
propinas de un mesero por nueve días. Si los
Datos son: $20, $21, $24, $24, $23, $28, $24, $36, $28
𝟐
𝒙
𝒙 − 𝒙
20
-5.3
28.09
21
-4.3
18.49
24
-1.3
1.69
24
-1.3
1.69
23
-2.3
5.29
28
2.7
7.29
24
-1.3
1.69
36
10.7
114.49
28
2.7
7.29
228
𝒙 − 𝒙
186.01
Solución:
Como esto no es un muestra se deberá utilizar la
siguiente fórmula:
𝑥 −𝑥̅ 2
𝑛
2 186.01
𝜎 =
= 20.67
9
𝜎 2=
La desviación estándar será
𝜎 = 20.67
𝜎 = ±4.55
Lo cual implica que cada propina se aleja o se acerca
de la media entre $4.55
Ejemplo 4:
Veamos la siguiente información de un
estudio llevado a cabo en un laboratorio. Se
recoge la información de crecimiento de
bacterias sembradas en placas por
segundos.
Placas
Compañía A
Compañía B
1
6.5
4.2
2
6.6
5.4
3
6.7
5.8
4
6.8
6.2
5
7.1
6.7
6
7.3
7.7
7
7.4
7.7
8
7.7
8.5
9
7.7
9.3
10
7.7
10
Se desea determinar cuán confiable son los resultados. Se
determina la media, mediana, moda y desviación estándar
de cada compañía.
Compañía A:
Media = 7.15 seg.
Mediana = 7.2 seg.
Moda = 7.7 seg.
Desviación Estándar =
0.476678 seg.
Compañía B:
Media = 7.15 seg
Mediana = 7.2 seg
Moda = 7.7 seg
Desviación estándar =
1.821629 seg
La desviación estándar de la compañía A es menor que la
desviación estándar de la compañía B. Por tanto, los datos
de la compañía A están más homogéneos y son más
confiables.