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Maestría en la Enseñanza de las matemáticas
Alumna: Alejandra Muñoz Islas
Maestra: Laura Verónica Mendoza Sánchez.
Guadalajara, Jalisco.
1 de agosto de 2009
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, antes
que las matrices, que aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los
chinos fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo
que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación gaussiana.
PRIMEROS CÁLCULOS DE DETERMINANTES
En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de
un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por
Cardano en 1545, presentado como una regla para la resolución de sistemas de
dos ecuaciones con dos incógnitas.
La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien
años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemán Leibniz
otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente.
Cauchy fue el primero en emplear el término determinante
con su significado moderno
Definición Determinante
:
¡No debe
confundirse esta
notación con las
barras del valor
absoluto!
Sea A una matriz de
. Entonces el
determinante de A, denotado por
está dado por:
Donde A1k es
el cofactor
La expresión se llama expansión por cofactores.
Cálculo de un determinante de 2 x 2
Sea
entonces según la definición:
Cálculo de un determinante 3x3
Sea
Solución:
entonces según la definición:
Cálculo de un determinante 4x4
Sea
Solución:
por la definición el determinante es:
Es evidente que el cálculo del determinante de una matriz de
n x n puede ser tedioso.
Para calcular un determinante de 3 x 3 deben calcularse tres
determinantes de 2 x 2.
Para calcular un determinante de 4 x 4 deben calcularse cuatro
determinantes de 3 x 3
Para calcular un determinante de 5 x 5 deben calcularse cinco
determinantes de 4 x 4, que es lo mismo que calcular veinte
determinantes de 3 x 3.
Por fortuna existen técnicas que simplifican estos cálculos.
Sin embargo, existen algunas matrices para las que es
muy sencillo calcular los determinantes.
La matriz
Calcule el det A.
SOLUCIÓN.-
es triangular inferior.
Sea
una matriz de n x n
triangular superior o inferior. Entonces:
Esto es: el determinante de una matriz
triangular es igual al producto de sus
componentes en la diagonal.
1. Si
Calcule el determinante de las siguientes matrices, de acuerdo a
la definición dada.
5. Muestre que si A es triangular, entonces
si y sólo si todos los elementos en la diagonal de A son
diferentes de cero.
1. Álgebra Lineal. Stanley I. Grossman. McGraw – Hill,
quinta edición. 1996
2. http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem
%C3%A1tica)