Download CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 2015

UNIVERSIDAD DE
ANTIOQUIA
¿EXISTE UN CRITERIO GENERAL DE
DIVISIBILIDAD?
Profesor: Grimaldo Oleas Liñán
2015
grimaldo.oleas@gmail.com
grimaldo.oleas@udea.edu.co
PRESENTACIÓN
Usualmente enunciamos y aplicamos mecánicamente criterios de
divisibilidad, sin reflexionar acerca de su justificación en la Teoría
Elemental de Números. Adicionalmente, en los textos de
Aritmética, es escasa la información acerca del tema.
Con apoyo en algunos teoremas básicos, presentaremos aquí los
criterios de divisibilidad comúnmente usados
(Por 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11), con su respectiva prueba, e
intentaremos enunciar y demostrar un criterio de
divisibilidad aplicable a cualquier número primo, de manera
sencilla, e inteligible para estudiantes de educación
básica y media
ELEMENTOS TEÓRICOS
Trabajaremos en el conjunto de los números naturales como universo de referencia, y sus dos operaciones básicas: ADICIÓN y MULTIPLIC
N  1, 2, 3,

ELEMENTOS TEÓRICOS
Nuestro universo de referencia será el conjunto de los números
enteros:
𝒁 = … , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
con sus dos operaciones básicas: ADICIÓN y MULTIPLICACIÓN, y
sus propiedades.
Un subconjunto importante de 𝒁 es el conjunto de los
números naturales:
𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
Definición
Sean a, b son enteros, con 𝒂 ≠ 𝟎. Se dice que a
divide a b, si existe al menos un entero 𝒄 , tal que
𝒃=𝒂∙𝒄
Expresiones equivalentes para “ a divide a b ” son:
a es divisor de b
b es múltiplo de a
b es divisible por a
Notación:
𝒂  𝒃 denota: a divide a b (b es divisible por a)
a ∤ b denota: a no divide a b (b no es divisible por a)
Ilustración:
• 𝟎 es divisible por cualquier número natural
• Todo número entero es divisible por 𝟏
• Si 𝒃 es divisible por 𝒂, entonces: 𝒃 es divisible por −𝒂,
y −𝒃 es divisible por 𝒂 y por −𝒂
• Todo entero no nulo, es divisible por sí mismo
Teorema 1 (Algoritmo de la división para números naturales)
Para a, b naturales, existen enteros no negativos únicos 𝒒,
𝒓, tales que:
𝒃 = 𝒒 ∙ 𝒂 + 𝒓,
con 𝒒 ≥ 𝟎 y 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝒂
𝒃: dividendo
𝒂: divisor
𝒒: cociente
𝒓: residuo
Teorema 2 (Propiedades básicas de la divisibilidad)
i. Para 𝒂, 𝒃, 𝒄 naturales, si 𝒂  𝒃, entonces: 𝒂  𝒃 + 𝒄 si y sólo si
𝒂𝒄
ii. Para 𝒂, 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , … , 𝒃𝒌 naturales, si 𝒂  𝒃𝟏 , 𝒂  𝒃𝟐 , … , 𝒂  𝒃𝒌 ,
entonces 𝒂  𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒌
iii. Para 𝒂, 𝒃, 𝒎 naturales, 𝒂  𝒃 si y sólo si 𝒎 ∙ 𝒂  𝒎 ∙ 𝒃
iv. Para 𝒂, 𝒃, 𝒄 naturales, si 𝒂  𝒃 y 𝒃  𝒄, entonces 𝒂  𝒄
v. Para 𝒂, 𝒃, 𝒄 naturales, si 𝒂  𝒃 ∙ 𝒄 y 𝒎. 𝒄. 𝒅 𝒂, 𝒃 = 𝟏,
entonces 𝒂  𝒄
Teorema 3 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟗)
Para todo 𝒏 entero no negativo, 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟗
Teorema 4 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟏𝟏)
Para todo 𝒏 entero no negativo:
• Si 𝒏 es par, entonces 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏
• Si 𝒏 es impar, entonces 𝟏𝟎𝒏 + 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏
Estos dos teoremas se prueban fácilmente, utilizando el
principio de inducción matemática
ACERCA DE LOS NÚMEROS PRIMOS
Definición (Número primo)
Un número natural es PRIMO, si tiene exactamente
dos divisores naturales: EL NÚMERO Y LA UNIDAD
Ilustración:
• 𝟏 no es primo: Tiene sólo un divisor natural: él mismo
• 𝟐 es primo: Tiene exactamente dos divisores naturales: 𝟏, 𝟐
• 𝟕 es primo: Tiene exactamente dos divisores naturales: 𝟏, 𝟕
• 𝟗 no es primo: Tiene tres divisores naturales: 𝟏, 𝟑, 𝟗
La primera mención de los números primos la hizo Euclides en
su obra LOS ELEMENTOS. Euclides define los números primos
y demuestra dos teoremas fundamentales:
• El conjunto de los números primos es infinito
• Todo número natural superior a 1, se puede descomponer,
de manera única, como producto de números primos
¿EXISTE UNA FÓRMULA PARA GENERAR
NÚMEROS PRIMOS?
Intentos:
Los números de Fermat
Los números de Mersenne
Los números de Fermat
Pierre de Fermat, jurista y matemático francés, fue junto con René
Descartes, uno de los principales matemáticos de la primera mitad
del siglo XVII.
En Teoría de Números, ideó una fórmula (los números de Fermat):
𝑭𝒏 =
𝒏
𝟐
𝟐
+ 𝟏; para 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
Fermat encontró:
𝟐𝟎
𝑭𝟎 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑
𝟏
𝑭𝟏 = 𝟐 𝟐 + 𝟏 = 𝟓
𝟐
𝟐
𝑭𝟐 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟏𝟕
𝟑
𝑭𝟑 = 𝟐𝟐 + 𝟏 = 𝟐𝟓𝟕
𝟐𝟒
𝑭𝟒 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟕
Estos primeros cinco números de Fermat son primos.
Aparentemente estos resultados indujeron a Fermat a conjeturar
que todos los números de Fermat son primos
Transcurridos aproximadamente 66 años de la muerte de Fermat,
Leonhard Euler refutó la conjetura. Encontró:
𝟐𝟓
𝑭𝟓 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟒𝟐𝟗𝟒𝟗𝟔𝟕𝟐𝟗𝟕 = 𝟔𝟒𝟏 × 𝟔𝟕𝟎𝟎𝟒𝟏𝟕
¡𝑭𝟓 no es primo!
No obstante, los números de Fermat tienen otras propiedades
interesantes.
Se desconoce si hay más números primos de Fermat.
Los números de Mersenne
Marin Mersenne, monje francés del siglo XVII,
contemporáneo de Fermat, estudió diversos campos de la
Teología, la Matemática y la Música
Un número de Mersenne es un número natural de la forma:
𝑴𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏; para 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne
que es primo
Los primos de Mersenne, son números
primos que, al sumarles la unidad (1), se obtiene una
potencia de dos (2)
Poco antes de 1950, se encontró que para 𝒏 ≤ 𝟐𝟓𝟖, sólo
hay 12 primos de Mersenne. Para:
𝒏 𝝐 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗, 𝟑𝟏, 𝟔𝟏, 𝟖𝟗, 𝟏𝟎𝟕, 𝟏𝟐𝟕
En 1996 nació el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne
Prime Search), que provee un software para hallar primos de
Mersenne y ofrece premios para quienes vayan descubriendo
nuevos de estos primos.
Hasta enero de 2013, el mayor primo de Mersenne encontrado
(el número 48) es:
𝑴𝟓𝟕𝟖𝟖𝟓𝟏𝟔𝟏 = 𝟐𝟓𝟕𝟖𝟖𝟓𝟏𝟔𝟏 − 𝟏
Este número, de gran tamaño, tiene ¡ 𝟏𝟕. 𝟒𝟐𝟓. 𝟏𝟕𝟎 dígitos!
Se desconoce hasta ahora, si el conjunto de los primos de
Mersenne es infinito
¿CÓMO HALLAR LOS NÚMEROS PRIMOS
QUE NO SUPEREN UN NATURAL DADO?
LA CRIBA DE ERATÓSTENES
ERATÓSTENES
(284 A. C. – 192 A. C.)
Astrónomo, geógrafo, matemático y filósofo griego. Una de las
figuras más eminentes del gran siglo de la ciencia griega: el de
Euclides, Arquímedes, Apolonio
Fue el primero en calcular, con bastante aproximación, la
longitud de la circunferencia de la Tierra
Ideó un algoritmo para encontrar los números primos inferiores
o iguales a un número natural dado: La criba de Eratóstenes
Algoritmo:
Dado un número natural 𝑵, se forma una tabla con todos los números
naturales comprendidos entre 𝟏 y 𝑵
Procedimiento:
• Se tacha el número 1 (Por ser el primer natural no primo)
• Se tachan todos los múltiplos de 𝟐 mayores que 𝟐. El primero es 𝟐𝟐
• Se observa cuál es primer entero superior a 𝟐 que no ha sido tachado
(𝟑) y se tachan sus múltiplos mayores que él. El primero es 𝟑𝟐
• Se repite el proceso, el cual finaliza cuando el cuadrado del mayor
número confirmado como primo es mayor que 𝑵
Los números que no resulten tachados, son los primos
buscados
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51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
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CRITERIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD
Un número natural 𝑵 de 𝒏 + 𝟏 dígitos (por supuesto, con 𝒏
natural) tiene la siguiente forma:
𝑵 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 𝒂𝟎 (1)
Teniendo en cuenta el valor posicional de los dígitos en base 𝟏𝟎:
𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 𝒂𝒏 +𝟏𝟎𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟏 +𝟏𝟎𝒏−𝟐 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 𝒂𝟐 +𝟏𝟎𝟏 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 (2)
Divisibilidad por 2, 5, 10
En (1) denotemos:
𝑷 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 (3)
𝑷 se obtiene de 𝑵, suprimiendo el dígito de las unidades.
Ahora:
𝑵 = 𝟏𝟎𝑷 + 𝒂𝟎 (4)
Claramente: 𝟏𝟎𝑷 es múltiplo de 𝟏𝟎. Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es
divisible por 𝟏𝟎 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟏𝟎. Pero, el único
dígito divisible por 10 es cero (0). En consecuencia:
Un número natural es divisible por 10, sii su dígito de las
unidades es cero (0)
Retomemos:
𝑵 = 𝟏𝟎𝑷 + 𝒂𝟎 (4)
Evidentemente: 𝟏𝟎𝑷 es múltiplo de 𝟓. Por tanto (Teorema
2), 𝑵 es divisible por 𝟓 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟓.
Pero, los únicos dígitos divisibles por 5 son: cero (0) y
cinco (5). Por tanto:
Un número natural es divisible por 5, sii su dígito de las
unidades es cero (0) o cinco (5)
Volvamos a:
𝑵 = 𝟏𝟎𝑷 + 𝒂𝟎 (4)
Es claro que: 𝟏𝟎𝑷 es múltiplo de 𝟐. Por tanto (Teorema 2),
𝑵 es divisible por 𝟐 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟐.
Pero, los únicos dígitos divisibles por 2 son: cero (0), dos
(2), cuatro (4), seis (6), ocho (8). Luego:
Un número natural es divisible por 2, sii su dígito de las
unidades es par
Divisibilidad por 3, 9
𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 𝒂𝒏 +𝟏𝟎𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟏 +𝟏𝟎𝒏−𝟐 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 𝒂𝟐 +𝟏𝟎𝟏 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 (2)
La expresión (2) puede transformarse en:
𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 − 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐 −𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝟏 − 𝟏 𝒂𝟏
+ 𝒂𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎
Denotemos:
𝑹 = 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 − 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐 −𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝟏 − 𝟏 𝒂𝟏
𝑺 = 𝒂𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎
𝑵=𝑹+𝑺
𝑺 es la suma de los dígitos de 𝑵 (llamada suma transversal de 𝑵)
Por el teorema 3: Cada sumando de 𝑹 es múltiplo de 𝟗. Luego
(Teorema 2): 𝑹 es divisible por 𝟗
Ademàs, por el teorema 2: 𝑹 es divisible por 𝟑.
En consecuencia:
• Un número natural es divisible por 9, sii su suma transversal
(S) es múltiplo de 9
• Un número natural es divisible por 3, sii su suma transversal
(S) es múltiplo de 3
ILUSTRACIÓN 1:
𝟏𝟕𝟗𝟖𝟓
Suma transversal: 𝟏 + 𝟕 + 𝟗 + 𝟖 + 𝟓 = 𝟑𝟎
𝟑𝟎 es divisible por 𝟑, mas no por 𝟗
Conclusión:
𝟏𝟕𝟗𝟖𝟓 es divisible por 𝟑, pero no lo es por 𝟗
ILUSTRACIÓN 2:
𝟏𝟕𝟗𝟖𝟐
Es divisible por 𝟑 y por 𝟗
Divisibilidad por 6
Teniendo en cuenta que la descomposición en factores
primos de 𝟔 es: 𝟔 = 𝟐 × 𝟑:
Un número natural es divisible por 𝟔, sii es divisible
por dos (𝟐) y por tres 𝟑)
De otro modo:
Un número natural es divisible por 𝟔, sii es par y su suma
trasversal es múltiplo de tres (3)
Divisibilidad por 4
Denotemos:
𝑹 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐
𝑺 = 𝒂𝟏 𝒂𝟎
• 𝑹 es el número obtenido al suprimir en 𝑵 los dos últimos
dígitos
• 𝑺 es el número formado por los dos últimos dígitos de 𝑵
𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 𝑹 + 𝑺
Es claro que 𝟏𝟎𝟎 𝑹 es múltiplo de cuatro 4). Por tanto (Teorema 2), 𝑵
es múltiplo de cuatro, si y sólo si 𝑺 es múltiplo de cuatro (4). Luego:
Un número natural es divisible por 4, sii el número formado por
sus dos últimos dígitos es múltiplo de cuatro (4)
ILUSTRACIÓN
𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟒
𝟖𝟒 = 𝟒 × 𝟐𝟏
𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟒 es divisible por 𝟒
𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟒 = 𝟒 × 𝟖𝟗𝟒𝟐𝟏
Divisibilidad por 8
Denotemos:
𝑻 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟑
𝑼 = 𝒂𝟐 𝒂𝟏 𝒂𝟎
• 𝑻 es el número obtenido al suprimir en 𝑵 los tres últimos dígitos
• 𝑼 es el número formado por los dos últimos dígitos de 𝑵
𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑻 + 𝑼
Es claro que 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑻 es múltiplo de ocho (8). Por tanto (Teorema 2), 𝑵
es múltiplo de ocho, si y sólo si 𝑼 es múltiplo de ocho (8). Luego:
Un número natural es divisible por 8, sii el número formado por
sus tres últimos dígitos es múltiplo de ocho (8)
ILUSTRACIÓN
𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟖
𝟔𝟖𝟖 = 𝟖 × 𝟖𝟔
𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟖 es divisible por 𝟖
𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟖 = 𝟖 × 𝟒𝟒𝟕𝟏𝟏
Divisibilidad por 11
Volvamos a las expresiones (1) y (2):
𝑵 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 𝒂𝟎 (1)
𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 𝒂𝒏 +𝟏𝟎𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟏 +𝟏𝟎𝒏−𝟐 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 𝒂𝟐 +𝟏𝟎𝟏 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 (2)
Consideremos dos casos en cuanto a la paridad del exponente 𝒏 en 𝟏𝟎𝒏 :
Caso 1: 𝒏 es par
Caso 2: 𝒏 es impar
Caso 1: n es par
𝑵 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 𝒂𝟎
Convención:
El dígito de las unidades, 𝒂𝟎 , ocupa el lugar CERO. Así:
• Los dígitos 𝒂𝒏 , 𝒂𝒏−𝟐 , … , 𝒂𝟐, 𝒂𝟎 ocupan lugares de orden PAR
• Los dígitos 𝒂𝒏−𝟏 , 𝒂𝒏−𝟑 , … , 𝒂𝟑, 𝒂𝟏 ocupan lugares de orden
IMPAR
Reorganicemos 𝑵 así:
𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 + 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐 −𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏 𝒂𝟏
+ 𝒂𝟎 +𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 − 𝒂𝟏 +𝒂𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏
Denotemos:
𝑳
= 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 + 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐 −𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐
+ 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏 𝒂𝟏
𝑫 = 𝒂𝟎 +𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 − 𝒂𝟏 +𝒂𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏
𝑵=𝑳+𝑫
𝑫 es la diferencia entre: La suma de los dígitos de 𝑵 que ocupan los lugares
de orden par y la suma de los dígitos de 𝑵 que ocupan los lugares de orden
impar
Claramente (Teorema 4), cada sumando de 𝑳 es múltiplo de 11. Por tanto, 𝑳
es múltiplo de 11. En consecuencia (Teorema 2): 𝑵 es múltiplo de 11, si y
sólo si 𝑫 es múltiplo de 11.
Resultado similar puede obtenerse en el caso 2 (𝒏 impar). Esto permite
enunciar:
Un número natural es divisible por 11, sii la diferencia entre la suma de los
dígitos que ocupan los lugares de orden impar y la suma de los dígitos que ocupan los
lugares de orden par, es un múltiplo de 11
ILUSTRACIÓN
𝟗𝟖𝟕𝟑𝟏𝟔
Suma de los dígitos que ocupan lugares de orden par: 𝟔 +
𝟑 + 𝟖 = 𝟏𝟕
Suma de los dígitos que ocupan lugares de orden impar: 𝟏 +
𝟕 + 𝟗 = 𝟏𝟕
La diferencia entre las dos sumas es cero (múltiplo de 𝟏𝟏)
𝟗𝟖𝟕𝟑𝟏𝟔 es múltiplo de 𝟏𝟏
Divisibilidad por 12
Dado que 𝟏𝟐 = 𝟑 × 𝟒 , podemos enunciar:
Un número natural es divisible por 12, sii es divisible por
tres (3) y por cuatro (4)
De otro modo:
Un número natural es divisible por 12, sii su suma transversal es divisible por
3, y el número formado por sus dos últimos dígitos es divisible por 4
ILUSTRACIÓN
𝟏𝟎𝟓𝟎𝟕𝟐
Al aplicar separadamente los criterios de divisibilidad por cuatro
(4) y por tres (𝟑), se obtiene:
El número es divisible por 𝟒: 𝟕𝟐 es divisible por 𝟒
El número es divisible por 𝟑. Su suma transversal es divisible por
𝟑: 𝟏 + 𝟓 + 𝟕 + 𝟐 = 𝟏𝟓
𝟏𝟎𝟓𝟎𝟕𝟐 es divisible por 𝟏𝟐
𝟏𝟎𝟓𝟎𝟕𝟐 = 𝟏𝟐 × 𝟖𝟕𝟓𝟔
¿EXISTE UN CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD,
APLICABLE A CUALQUIER NÚMERO PRIMO?
De la importancia de la descomposición de un número natural en
sus factores primos, se desprende la siguiente pregunta:
¿Existe un criterio general para determinar si un
número
natural es divisible por un número primo dado?
Intentaremos dar respuesta a este interrogante.
Sean: 𝒒 un número primo dado; 𝑵 un número natural.
¿Bajo qué condiciones es 𝑵 divisible por 𝒒?
Sea 𝒌 ∙ 𝒒 (con 𝒌 natural), el menor múltiplo de 𝒒 que
difiere en uno (1) con algún múltiplo de 𝟏𝟎.
Sea 𝟏𝟎𝒄 (con 𝒄 natural) ese múltiplo de 𝟏𝟎
Nótese que 𝟐 y 𝟓 son los únicos números primos para los
cuales ello no es posible.
Existen dos posibilidades:
𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎𝒄 + 𝟏
𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎𝒄 − 𝟏
Recordemos las expresiones:
𝑵 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 𝒂𝟎 (1)
𝑷 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 (3)
𝑷 es el número resultante de suprimir en 𝑵 , el dígito
de las unidades. Así:
𝑵 = 𝟏𝟎𝑷 + 𝒂𝟎
Analicemos cada uno de los dos casos:
Caso 1:
𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎𝒄 + 𝟏
Sea:
𝑺 = 𝑷 − 𝒄 ∙ 𝒂𝟎
𝟏𝟎𝑺 = 𝟏𝟎𝑷 − 𝟏𝟎𝒄 𝒂𝟎
𝟏𝟎𝑺 = 𝟏𝟎𝑷 + 𝒂𝟎 − 𝟏𝟎𝒄 + 𝟏 𝒂𝟎
𝟏𝟎𝑺 = 𝑵 − 𝒌 ∙ 𝒒 𝒂𝟎
𝑵 = 𝟏𝟎𝑺 + 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒
Es evidente que 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒 es divisible por 𝒒 . Luego:
𝑵 es divisible por 𝒒, si y sólo si 𝟏𝟎𝑺 es divisible por 𝒒
Pero, 𝟏𝟎 no es divisible por 𝒒 (¿?). Por tanto:
𝑵 es divisible por 𝒒, sólo si 𝑺 es divisible por 𝒒.
Caso 2:
𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎𝒄 − 𝟏
Sea:
𝑺 = 𝑷 + 𝒄 ∙ 𝒂𝟎
𝟏𝟎𝑺 = 𝟏𝟎𝑷 + 𝟏𝟎𝒄 𝒂𝟎
𝟏𝟎𝑺 = 𝟏𝟎𝑷 + 𝒂𝟎 + 𝟏𝟎𝒄 − 𝟏 𝒂𝟎
𝟏𝟎𝑺 = 𝑵 + 𝒌 ∙ 𝒒 𝒂𝟎
𝑵 = 𝟏𝟎𝑺 − 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒
Es evidente que 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒 es divisible por 𝒒 . Luego:
𝑵 es divisible por 𝒒, sólo si 𝟏𝟎𝑺 es divisible por 𝒒
Pero, 𝟏𝟎 no es divisible por 𝒒 (¿?). Por tanto:
𝑵 es divisible por 𝒒, sólo si 𝑺 es divisible por 𝒒.
Teorema 5 (Criterio general de divisibilidad por números primos)
Consideremos: un número primo 𝒒 y un número natural 𝑵. Sea 𝒌 ∙
𝒒 (con 𝒌 natural), el menor múltiplo de 𝒒 que difiere en uno (𝟏)
con algún múltiplo de 𝟏𝟎. Sea 𝟏𝟎𝒄 (con 𝒄 natural) ese múltiplo de
𝟏𝟎. Denotemos 𝑺𝑵 , el número que resulta de suprimir en 𝑵 el
dígito de las unidades 𝒂𝟎 .
• Si 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎𝒄 + 𝟏 , entonces: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii
𝑺𝑵 − 𝒄 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 𝒒
• Si 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎𝒄 − 𝟏 , entonces: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii
𝑺𝑵 + 𝒄 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 𝒒
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD, PARA ALGUNOS PRIMOS
PARTICULARES
El Teorema 5, permite obtener, para cualquier
número primo impar, distinto de cinco (5), un criterio
de divisibilidad. He aquí algunos casos:
Divisibilidad por 7
𝟑 × 𝟕 = 𝟐𝟏
𝟑 × 𝟕 = 𝟐 × 𝟏𝟎 + 𝟏
𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟐
Estamos ante el primer caso del Teorema 5. Luego:
Un número natural es divisible por siete (7), sii al suprimir en el número, el
dígito de las unidades, y al resultado restarle dos veces dicho dígito, el
número obtenido es múltiplo de siete
ILUSTRACIÓN
𝟒𝟎𝟏𝟕𝟑
𝟒𝟎𝟏𝟕 − 𝟐 × 𝟑 = 𝟒𝟎𝟏𝟏
𝟒𝟎𝟏 − 𝟐 = 𝟑𝟗𝟗
𝟑𝟗 − 𝟏𝟖 = 𝟐𝟏
𝟐𝟏 es múltiplo de 𝟕
𝟒𝟎𝟏𝟕𝟑 es divisible por 𝟕
𝟒𝟎𝟏𝟕𝟑 = 𝟕 × 𝟓𝟕𝟑𝟗
Divisibilidad por 11
𝟏 × 𝟏𝟏 = 𝟏𝟎 + 𝟏
1× 𝟏𝟏 = 𝟏 × 𝟏𝟎 + 𝟏
𝒌 = 𝟏; 𝒄 = 𝟏
Estamos ante el primer caso del Teorema 5. Por tanto:
Un número natural es divisible por 11, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado restarle dicho dígito, el número obtenido es
múltiplo de 11
ILUSTRACIÓN
𝟗𝟖𝟑𝟗𝟓
𝟗𝟖𝟑𝟗 − 𝟓 = 𝟗𝟖𝟑𝟒
𝟗𝟖𝟑 − 𝟒 = 𝟗𝟕𝟗
𝟗𝟕 − 𝟗 = 𝟖𝟖
𝟖𝟖 es múltiplo de 𝟏𝟏
𝟗𝟖𝟑𝟗𝟓 es divisible por 𝟏𝟏
𝟗𝟖𝟑𝟗𝟓 = 𝟏𝟏 × 𝟖𝟗𝟒𝟓
Es evidente que el primer criterio de divisibilidad por 𝟏𝟏 es más
sencillo de aplicar, no obstante la complejidad de su deducción
Divisibilidad por 13
𝟑 × 𝟏𝟑 = 𝟑𝟗
𝟑 × 𝟏𝟑 = 𝟒 × 𝟏𝟎 − 𝟏
𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟒
Estamos ante el segundo caso del Teorema 5. En
consecuencia:
Un número natural es divisible por 13, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado sumarle cuatro veces dicho dígito, el número
obtenido es múltiplo de 13
ILUSTRACIÓN
𝟖𝟗𝟗𝟔
𝟖𝟗𝟗 + 𝟒 × 𝟔 = 𝟗𝟐𝟑
𝟗𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟒
𝟏𝟎 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟔
𝟐𝟔 es múltiplo de 𝟏𝟑
𝟖𝟗𝟗𝟔 es divisible por 𝟏𝟑
𝟖𝟗𝟗𝟔 = 𝟏𝟑 × 𝟔𝟗𝟐
Divisibilidad por 17
𝟑 × 𝟏𝟕 = 𝟓𝟏
𝟑 × 𝟏𝟕 = 𝟓 × 𝟏𝟎 + 𝟏
𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟓
Estamos ante el primer caso del Teorema 5. Esto implica:
Un número natural es divisible por 17, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado restarle cinco veces dicho dígito, el número
obtenido es múltiplo de 17
ILUSTRACIÓN
𝟗𝟕𝟒𝟒𝟒
𝟗𝟕𝟒𝟒 − (𝟓 × 𝟒) = 𝟗𝟕𝟐𝟒
𝟗𝟕𝟐 − 𝟐𝟎 = 𝟗𝟓𝟐
𝟗𝟓 − 𝟏𝟎 = 𝟖𝟓
𝟖 − 𝟐𝟓 = −𝟏𝟕
−𝟏𝟕 es múltiplo de 𝟏𝟕
𝟗𝟕𝟒𝟒𝟒 es divisible por 𝟏𝟕
𝟗𝟕𝟒𝟒𝟒 = 𝟏𝟕 × 𝟓𝟕𝟑𝟐
Divisibilidad por 19
𝟏 × 𝟏𝟗 = 𝟏𝟗
𝟏 × 𝟏𝟗 = 𝟐 × 𝟏𝟎 − 𝟏
𝒌 = 𝟏; 𝒄 = 𝟐
Estamos ante el segundo caso del Teorema 5. Luego:
Un número natural es divisible por 19, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado sumarle dos veces dicho dígito, el número
obtenido es múltiplo de 19
ILUSTRACIÓN
𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎𝟖
𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎 + 𝟐 × 𝟖 = 𝟏𝟑𝟗𝟒𝟔
𝟏𝟑𝟗𝟒 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟒𝟎𝟔
𝟏𝟒𝟎 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟓𝟐
𝟏𝟓 + 𝟒 = 𝟏𝟗
𝟏𝟗 es múltiplo de 𝟏𝟗
𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎𝟖 es divisible por 𝟏𝟗
𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎𝟖 = 𝟏𝟗 × 𝟕𝟑𝟑𝟐
Divisibilidad por 23
𝟑 × 𝟐𝟑 = 𝟔𝟗
𝟑 × 𝟐𝟑 = 𝟕 × 𝟏𝟎 − 𝟏
𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟕
Estamos ante el segundo caso del Teorema 5. En
consecuencia:
Un número natural es divisible por 23, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado sumarle siete veces dicho dígito, el número
obtenido es múltiplo de 23
ILUSTRACIÓN
𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒𝟒
𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒 + 𝟕 × 𝟒 = 𝟏𝟎𝟗𝟎𝟐
𝟏𝟎𝟗𝟎 + 𝟏𝟒 = 𝟏𝟏𝟎𝟒
𝟏𝟏𝟎 + 𝟐𝟖 = 𝟏𝟑𝟖
𝟏𝟑 + 𝟓𝟔 = 𝟔𝟗
𝟔𝟗 es múltiplo de 𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒𝟒 es divisible por 𝟐𝟑
𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟒𝟕𝟐𝟖
Divisibilidad por 31
𝟏 × 𝟑𝟏 = 𝟑𝟏
𝟏 × 𝟑𝟏 = 𝟑 × 𝟏𝟎 + 𝟏
𝒌 = 𝟏; 𝒄 = 𝟑
Estamos ante el primer caso del Teorema 5. Por tanto:
Un número natural es divisible por 31, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado restarle tres veces dicho dígito, el número
obtenido es múltiplo de 31
ILUSTRACIÓN
𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕𝟔
𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕 − 𝟑 × 𝟔 = 𝟏𝟖𝟐𝟓𝟗
𝟏𝟖𝟐𝟓 − 𝟐𝟕 = 𝟏𝟕𝟗𝟖
𝟏𝟕𝟗 − 𝟐𝟒 = 𝟏𝟓𝟓
𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 = 𝟎
𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕𝟔 es divisible por 𝟑1
𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕𝟔 = 𝟑𝟏 × 𝟓𝟖𝟗𝟔
Divisibilidad por 97
3× 𝟗𝟕 = 𝟐𝟗𝟏
3× 𝟗𝟕 = 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎 + 𝟏
𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟐𝟗
Estamos ante el primer caso del Teorema 5. Por tanto:
Un número natural es divisible por 97, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado restarle 29 veces dicho dígito, el número
obtenido es múltiplo de 97
ILUSTRACIÓN
𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑𝟖
𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑 − 𝟐𝟗 × 𝟖 = 𝟐𝟐𝟔𝟎𝟏
𝟐𝟐𝟔𝟎 − 𝟐𝟗 = 𝟐𝟐𝟑𝟏
𝟐𝟐𝟑 − 𝟐𝟗 = 𝟏𝟗𝟒
𝟏𝟗 − 𝟏𝟏𝟔 = −𝟗𝟕
−𝟗𝟕 es múltiplo de 𝟗𝟕
𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑𝟖 es divisible por 𝟗𝟕
𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑𝟖 = 𝟗𝟕 × 𝟐𝟑𝟓𝟒
DISCRIMINANTE PARA DIVISIBILIDAD
Con base en el enunciado del Teorema 5, para cada número
primo 𝒒, y cada número natural 𝑵, podemos definir un
discriminante para divisibilidad, al que denotaremos
𝑫𝑵 𝒒 , aplicable a la luz del enunciado del teorema:
• 𝑫𝑵 𝒒 = 𝑺𝑵 − 𝒄 ∙ 𝒂𝟎
• 𝑫𝑵 𝒒 = 𝑺𝑵 + 𝒄 ∙ 𝒂𝟎
Aplicación: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii 𝑫𝑵 𝒒 es divisible por 𝒒
LISTADO DE DISCRIMINANTES DE
DIVISIBILIDAD, PARA LOS NÚMERO PRIMOS
INFERIORES A 𝟏𝟎𝟎 Y SUPERIORES A 𝟓
Primo
(𝒒)
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
Discriminante
𝑫𝑵 𝒒
𝑺𝑵 − 𝟐𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟒𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟓𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟐𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟕𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟑𝟐𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟑𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟏𝟏𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟒𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟐𝒂𝟎
Primo
(𝒒)
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
Discriminante
𝑫𝑵 𝒒
𝑺𝑵 − 𝟏𝟒𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟏𝟔𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟔𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟔𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟐𝟎𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟕𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟐𝟐𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟖𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟐𝟓𝒂𝟎
𝑺𝑵 + 𝟗𝒂𝟎
𝑺𝑵 − 𝟐𝟗𝒂𝟎
PROBLEMAS RESUELTOS
Encuentre todos los números de
cinco cifras, de la forma 𝟑𝟒𝒙𝟓𝒚,
divisibles por 36.
SOLUCIÒN:
Dado que 𝟑𝟔 = 𝟒 × 𝟗, debemos tener en
cuenta los criterios de divisibilidad por 4 y por
9:
• Un número es divisible por 4, si el número
formado por sus dos últimos dígitos es
múltiplo de 4
• Un número es divisible por 9, si su suma
transversal (la suma de sus dígitos) es
múltiplo de 9.
Por el primer criterio, el número 𝟓𝒚 debe ser múltiplo
de 4. Los únicos números de esta forma que son
múltiplos de 4 son:
𝟓𝟐 4 × 13 ; 𝟓𝟔 4 × 14
En el primer caso, 𝒚 = 𝟐.
Ahora el número es de la forma: 𝟑𝟒𝒙𝟓𝟐.
Por el criterio de divisibilidad por 9: 𝟑 + 𝟒 + 𝒙 + 𝟓 +
𝟐 = 𝒙 + 𝟏𝟒, debe ser múltiplo de 9.El único dígito que
satisface esta condición es: 𝒙 = 𝟒.
Se obtiene así que uno de los números buscados es:
𝟑𝟒𝟒𝟓𝟐.
En el segundo caso, 𝒚 = 𝟔.
Por el criterio de divisibilidad por 9: 𝟑 + 𝟒 + 𝒙 + 𝟓 + 𝟔 =
𝒙 + 𝟏𝟖, debe ser múltiplo de 9. Hay dos dígitos que
satisfacen esta condición: 𝒙 = 𝟎; 𝒙 = 𝟗.
Tenemos así, dos nuevos números que satisfacen lo exigido
en el enunciado:
𝟑𝟒𝟎𝟓𝟔; 𝟑𝟒𝟗𝟓𝟔.
El problema tiene tres soluciones: 𝟑𝟒𝟒𝟓𝟐; 𝟑𝟒𝟎𝟓𝟔; 𝟑𝟒𝟗𝟓𝟔.
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1
Divisibilidad por 37
Teniendo en cuenta la tabla de discriminantes para divisibilidad:
Un número natural es divisible por 37, sii al suprimir en el número, el dígito
de las unidades, y al resultado restarle 11 veces dicho dígito, el número
obtenido es múltiplo de 37
Números de cifras iguales
El anterior criterio permite deducir que todo número
de tres dígitos, todos iguales, es divisible por 𝟑𝟕
Este resultado puede generalizarse así:
Si un número natural tiene todos sus dígitos iguales y
el número de sus dígitos es múltiplo de tres, entonces
dicho natural es divisible por 37
Ilustración:
𝟓𝟓𝟓, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 son divisibles por 37
Demuéstrelo
Problema 2
Más sobre divisibilidad por 𝟑𝟕
Una rotación de un número natural, es el número que
se obtiene al trasladar el dígito de las unidades al
primer lugar. Ejemplo:
𝑵 = 𝟏𝟒𝟖
𝑵𝟏 = 𝟖𝟏𝟒
𝑵𝟐 = 𝟒𝟖𝟏
𝑵𝟏 y 𝑵𝟐 son rotaciones de 𝑵
Al aplicar a 𝟏𝟒𝟖 el criterio de divisibilidad por 𝟑𝟕, se
obtiene:
𝟏𝟒 − 𝟏𝟏 × 𝟖 = −𝟕𝟒
−𝟕𝟒 es múltiplo de 𝟑𝟕
Luego, 𝟏𝟒𝟖 es divisible por 𝟑𝟕
Lo mismo ocurre con sus rotaciones: 𝑵𝟏 y 𝑵𝟐
Otro caso:
𝑵 = 𝟖𝟓𝟏
𝑵𝟏 = 𝟏𝟖𝟓
𝑵𝟐 = 𝟓𝟏𝟖
𝑵 y sus dos rotaciones: 𝑵𝟏 y 𝑵𝟐 son divisibles por 𝟑𝟕
Conjetura:
Si un número natural de tres (3) dígitos, es divisible por
𝟑𝟕, entonces sus rotaciones son, también, divisibles por
𝟑𝟕
Demuestre o refute esta conjetura.
Problema 3
Números palíndromos
Un número es palíndromo (capicúa), si al invertir el
orden de sus dígitos, su valor no se altera. Ejemplos:
𝟑𝟑, 𝟒𝟓𝟓𝟒, 𝟕𝟓𝟖𝟖𝟕𝟓 son palíndromos.
Aplicando el primer criterio de divisibilidad por 𝟏𝟏,
puede demostrarse:
Todo número palíndromo, cuyo número de dígitos sea
par, es divisible por 𝟏𝟏
Preguntas abiertas
1. Dado cualquier número natural m (no necesariamente primo):
• ¿Existe un criterio de divisibilidad por m, si el dígito de las unidades de
m es𝟏?
• ¿Y si el dígito de las unidades es 𝟑?
• ¿Y si es 𝟕?
• ¿Y si es 𝟗?
2. Dado cualquier número natural m, ¿existe un criterio general de
divisibilidad por m, si el dígito de las unidades de m es 𝟓 o un número
par?
3. ¿Qué conjetura puede hacerse acerca de la divisibilidad por 𝟏𝟏de las
rotaciones de los múltiplos de 𝟏𝟏?
REFERENCIAS:
• Jiménez B. Luis R, et al: Teoría de números para principiantes (U. Nal., Bogotá)
• Un criterio de divisibilidad por cualquier entero terminado en 1. En:
http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/curiosidad_02.html
• Pascal y la teoría de los números. En:
http://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/044043.pdf
• Divisibilidad. En:
http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad
• Apuntes de Matemática Discreta (Universidad de Cádiz). En:
http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion10.pdf
• Divisibilidad en Z. En:
http://imerl.fing.edu.uy/matdisc2/divisibilidad_1.pdf
•
Murray-Lasso, Marco: Sobre la deducción de los criterios de divisibilidad. En: Revista de Ingeniería;
UNAM; Vol. 67, No.3.