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PROBLEMAS RESUELTOS ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Potencial y campo eléctrico. Desplazamiento y polarización (2)
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A. J. Barbero
Departamento de Física Aplicada UCLM
Ultima actualización: 25/03/2014
1
1 Determinar la intensidad del campo eléctrico en el eje de un disco circular de
radio R sobre el que hay una densidad superficial de carga .
Z
P(0,0,z)
 
r  r '  z 2  r '2
V
dS '
 
r  r'

r
dS '  r ' dr ' d '
O
dr '

dS
'



r  r'
4 0
2 R

0 0
r'
z  r'
Para z  0
CÁLCULO DE LA INTEGRAL r’
R
r'



0
2
2
dr ' d ' 
u  z 2  r '2

r ' dr ' 

0 0

2 0

r ' dr ' d '
 
r  r'
z 2  R2  z
du
2

R
0

y


z
  
1 

E  u z
2
2
2 0 
z R 
1 1 / 2
1 u1 / 2
2
2
dr ' 
u
du


z

r
'
2
2 1 / 2
z 2  r '2
r'
2 R

 V
E  V  u z
z
   

z
1 

E  uz
2
2
2 0 
z R 
' 
r'
Para z  0
d '
4 0

V
4 0
O
R
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 z 2  r '2  z
2
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2 Una esfera dieléctrica de radio R tiene una polarización uniforme dada por


P  P0uz
Determinense las densidades superficial y volumétrica de carga de polarización
y la carga total sobre la superficie y dentro de la esfera.
Z

uz 

P0u z 
Cálculo de la densidad superficial de carga
 
 
 P  P  ur  P0uz  ur  P0 cos

ur
Carga superficial
Z
 
uz  ur  cos
 
uz u  cos90      sin 

 
u z  u  0
 

uz  ur  cos  u sin 

X
dS  r 2 sin   d  d
Elemento de superficie

Qs   P dS 


ur

uz
 2

P0 cos  r 2 sin   d  d
0 0

2

Qs  r 2 P0 cos  sin   d d  0

u
Y

u
y
M
a
0
0
g

n
cos  sin   d
e

0
t
u 2 sin 2  
 u  du 

 0 i
2
2 0
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du  cos  d
u  sin 
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
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
3
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


c
P

P
u
0
z
Cálculo de la densidad volumétrica de carga  P  P
t
 

uz  ur  cos  u sin  r
 1  2
1 
1 P
P sin   
P  2
r Pr 
 
i

r sin  
r sin  
r r
P  ur  P0 cos  u  P0 sin  c
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
1 
2rP0 cos
P0
1  2



2
 P  P   2
r P0 cos 
 P0 sin    

2 sin  cos a
2


r
r
sin



r sin 
r

r

d
PROBLEMA 2 (Continuación)
 





 P  P  0
y
Obviamente si la densidad volumétrica de carga es nula también es nula la carga volumétrica

QV   P dV  0
V
Si la carga volumétrica es nula, la carga superficial también es nula, por lo tanto la carga
total es nula. ¿Podría explicar si el hecho de que la densidad superficial de carga no sea
nula constituye o no una contradicción con esto?
¿Producirá esta esfera un campo eléctrico no nulo a su alrededor?
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3 Un cable coaxial está formado por dos conductores concéntricos de radios
a y b (b > a) separados por un dieléctrico de permitividad  . Se mantiene
una ddp V0 entre ambos conductores (siendo positivo el interno).
Determinar los vectores campo E y D entre los dos conductores y la
capacidad del cable coaxial por unidad de longitud.
Consideraremos el coaxial como un conjunto de dos cilindros concéntricos

b
a
ur
r
V
0
Teorema de Gauss aplicado al espacio entre dieléctricos

 
DdS  Q
Elegimos una superficie gaussiana concéntrica con los conductores
consistente en un cilindro de longitud arbitraria L y radio r (línea
discontinua). Puesto que el vector desplazamiento debe ser radial
por consideraciones de simetría, su flujo a través de esta gaussiana
es ...y esto debe igualarse a la carga libre Q encerrada por la gaussiana
D  2rL  Q   2aL
 es la densidad superficial de carga del conductor interno, que debe determinarse
  a 
El desplazamiento en función de  y r vale
D
r
ur
Vector unitario radial, sentido saliente
Para calcular la densidad superficial de carga  imponemos la condición de que la ddp entre
ambos conductores es conocida e igual a V0 (nótese que el conductor interno es el positivo)
a
b
 
 
 Edr  Edr  V0

b

a
Además, la relación entre
campo y desplazamiento es

 D
E

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PROBLEMA 3 (Continuación)
b
 
Edr  V0
a

 D
E

b

a

 a
dr  V0
 r
V0 

 a b
ln  

a
Desplazamiento y campo eléctrico
Cálculo de la capacidad
Q 1    1
C 
DdS
V0
V0 V0

2

D


D

E

E
b
D
a

D

E

D
y
C
2

L
b
ln  
a
M
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
E
V
0
2L
ur  ur Lrd 
b
b
ln
r
ln
 
0
 
a
a

b
a ln  
a

E

  V0  
V0 
D
ur E 
ur
b
b
r ln  
r ln  
a
 
a
  a 
D
ur
r
  V0
  V0  
dS
r
d
ur
L
conductor interno
6
4 Se introduce perpendicularmente una lámina dieléctrica plana en el campo
eléctrico uniforme de un condensador plano. El valor del campo en el
espacio libre es E0 y la permitividad del dieléctrico es . Suponiendo que la
presencia de la lámina dieléctrica no altera el campo original E0, determine
el campo eléctrico, el desplazamiento y la polarización del dieléctrico.
Ya que las superficies de separación son perpendiculares sólo
hay que considerar las componentes normales de los campos
En la superficie del dieléctrico no hay cargas libres, por
tanto deben conservarse las componentes normales del
vector desplazamiento eléctrico



Di  Diu  D0u

Di

D0


Di  D0
y
Relación del desplazamiento con el campo E en el vacío:




Di  D0   0 E0   0 E0u


D0   0 E0
u
Campo eléctrico dentro del dieléctrico:

 Di  0 
 E0u
Ei 


E0  E0u


El campo eléctrico dentro de la lámina
dieléctrica se reduce en un factor /0
El cociente r=/0 es la permeabilidad relativa (para medios diferentes del vacío r >1 pues  >0)




Vector polarización: Pi  Di   0 Ei   0 E0u   0
0 
   
E0u   0 1  0  E0u

  
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i
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a
d
(C/m2)
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