Download Diapositiva 1

Nathalie Ortega
Michelle Suira
Génesis Contreras
Joshua Howel
Edilma Ortega
Liz Lara
Introducción
El trabajo matemático
muchas veces nos
presenta expresiones
compuesta s por
polinomios, que
pueden ser extensos.
Al convertir un
polinomio en una
expresión con
factores (factorizar)
podremos
simplificarlo cuando
se encuentre en una
expresión racional,
reduciendo esta
ultima a una mínima
expresión
Contenido
Factorización
Importancia y aplicación del Algebra
Factor Común Monomio
Factor Común Polinomio
Factor Común por agrupación de Términos
Diferencia de cuadrado
Trinomio cuadrado Perfecto
A jugar con el algebra
Estas pitufialegre


En algebra, la factorización es expresar un objeto o número (por
ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como
producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso
de números debemos utilizar los números primos) que, al
multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el
número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se
factoriza como binomio conjugados(a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el
teorema fundamental de la aritmética y la factorización de
polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del
algebra
Algebra es la rama más importante de matemáticas. Su uso está en toda nuestra vida diaria. Ya que su
nombre significa “la reducción” (algebra viene del árabe al yabr) es muy útil para simplificar muchos
trabajos y cuentas que usamos en todas las cosas.
Para nosotros, algebra se aplica cuando hacemos las compras. Como ejemplo; si compramos 5 lápices
y 6 borradores, en nuestra mente se representa con 5a + 6b, y si nos da los valores/precios de a y b,
nos facilita más para sacar el total de los precios. Otro ejemplo seria hacer inventarios. Cuando hago
un inventario, podemos representar los artículos con una letra y numero para su cantidad, ósea 10x
puede significar 10 piezas de “x” cosa.
Así como los simples usos de ejemplos anteriores, el álgebra también se puede usar en casos más
complicados y su función es simplificarlos. También usamos algebra en estudio de otras cosas, como
calculo, geometría, física, química, estudio nuclear etc.
Siendo capaz de manejar algebra en nuestra vida, podremos ahorrar mucho tiempo de trabajo,
asegurar resultados más fiables.
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y
Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones
lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como
ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias
incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier
ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos
métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de
resolver algunas ecuaciones indeterminadas.
Es el monomio que está contenido en todos los términos del
polinomio considerado, esta formado por el M.C.D.
de los coeficientes y letras comunes elevadas a su menor
exponente.
Ejemplos de Factor común monomio
Factorizar 4a10 + 8a3
M.C.D. (4, 8) = 4
Variable común con su menor exponente: a3
Factor común monomio: 4a3
4a10 + 8a3 Luego se divide ------------ = a7 + 2 4a3
Entonces: 4a10 + 8a3 = 4a3(a7 + 2)
Factorizar x7 + x3
M.C.D. (1, 1) = 1
Variable común con su menor exponente: x3
Factor común monomio: x3
x7 + x3 Luego se divide --------- = x4 + 1 x3
Entonces: x7+ x3 = x3(x4 + 1)
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.
2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a
ser el segundo factor.
x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m)
Factorizar a(x + 3) + b(x + 3)
Factor común con su menor exponente: (x + 3) a(x + 3) + b(x +
3)
Luego se divide = a + b (x + 3)
Entonces: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)
Factorizar (2a - 3)(y + 1) - y - 1
Arreglando = (2a - 3)(y + 1) - (y + 1)
Factor común con su menor exponente: (y + 1) (2a - 3)(y + 1) - (y + 1)
Luego se divide= (2a - 3) - 1 = 2a - 3 - 1 = 2a - 4 (y + 1)
Entonces: (2a - 3)(y + 1) - y - 1 = (y + 1)(2a – 4)
Factorizar (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2
Factor común con su menor exponente: (a + 1)(y + 1) (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2
Luego se divide= (a + 1) - (y + 1) = (a + 1 - y - 1) = (a - y) (a + 1)(y + 1)
Entonces: (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 = (a + 1)(y + 1)(a - y)
Procedimiento para factorizar
1) Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en
primer lugar un factor común monomio y como
consecuencia un factor común polinomio.
2) 2) Se divide cada parte de la expresión entre el
factor común y el conjunto viene a ser el segundo
factor.
1): Factorizar ax + bx + aw + bw
Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)
Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)
Factor común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b)
Luego se divide= x + w (a + b)
2): Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y
Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)
Agrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )
Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)
Factor común polinomio: (x - 2y) 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)
Luego se divide = 2x + 4 (x - 2y)
Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)
3): Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n
Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )
Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )
Factor común polinomio: ( 2n + 8m ) 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )
Luego se divide = 2m + 8n ( 2n + 8m )
Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)
En una diferencia de dos cuadrados perfectos.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos.
2) 2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la
diferencia de ellas.
1) Factorizar 25x2 - 1
La raíz cuadrada de : 25x2 es 5x
La raíz cuadrada de : 1 es 1
Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)
2) Factorizar 16x2 - 36y4
La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x
La raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2
Luego 16x2 - 36y4 = (4x + 6y2)(4x - 6y2)
3) Factorizar 121a2b4c8 - 144d10e14
La raíz cuadrada de : 121a2b4c8 es 11ab2c4
La raíz cuadrada de : 144d10e14 es 12d5e7
Luego 121a2b4c8 - 144d10e14 = (11ab2c4 + 12d5e7)(11ab2c4 - 12d5e7)
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen
raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble
producto de las raíces del primero por el segundo. Para
solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar
los términos dejando de primero y de tercero los términos que
tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del
primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis,
separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al
cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
1: Factorizar x2 + 10x + 25
La raíz cuadrada de : x2 es x
La raíz cuadrada de : 25 es 5
El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x
Luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
3: Factorizar 81z2 - 180z + 100
La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z
La raíz cúbica de : 100 es 10
El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z
Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2
2: Factorizar 49y2 + 14y + 1
La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y
La raíz cuadrada de : 1 es 1
El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y
Luego 49y2 + 14y + 1 = (7y + 1)2
a2b - ab2 =
 6p2q + 24pq2 =
 x2 - 8x + 16 =
 16y2 + 24y + 9 =
 16x2 - 25y2 =
 144 - x2y2 =
 2x3 + 10x2 + x + 5 =
 px + py + qx + qy =
2x(a - 1) - 3y(a - 1)=
x(a + 9) - a – 9=

Al concluir este proyecto hemos reforzado nuestros conocimientos sobre el algebra.
Nos ha ayudado a entender aquellas pequeñas operaciones que nos era difícil resolver.
No dimos cuenta de donde se origino el algebra-factorización; y de los diferentes casos que
hemos dado.
Descubrimos las verdadera definición de lo que es factorización, y que la utilizamos en la vida
diaria de cada uno
 ab(a - b)
 6pq(p + 4q)
 (x - 4)2
 (4y + 3)2
 (4x - 5y)(4x + 5y)
 (12 + xy)(12 - xy)
 (2x2 + 1)(x + 5)
 (p + q)(x + y)
 = (a - 1)(2x - 3y)
 = (a + 9)(x - 1)