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1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
1. La geometría del espacio euclidiano
1.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales
1.2 Vectores
1.3 Operaciones elementales de los vectores
1.4 El producto escalar
1.5 El producto vectorial
1.6 Las ecuaciones de las líneas y de los planos
1.7 Superficies cilíndricas y superficies cuadráticas
Son los números que usamos
para contar
y para ordenar.
N= 1, 2,3,...
Son los números naturales,
unidos a los negativos de
los números naturales
y el cero.
Z= ..., 3, 2, 1, 0,1, 2,3,...
Son aquellos que se pueden expresar
como el cociente de dos números
a
enteros , con el denominador b
b
distinto de 0.
a

Q=  a, b  Z y b  0 
b

Los números reales es el conjunto de todos los números:
los positivos, los negativos y el cero.
- Los números reales incluyen a todos los enteros.
- Los números reales incluyen a todos los números racionales,
es decir, aquellos que se pueden poner como el cociente de
dos números enteros.
- También incluyen a los números irracionales, como  ,
2, e
que no pueden ser escrito como el cociente de dos números
enteros
p
Suponemos que 2  donde
q
p y q están reducidos a su mínima
expresión (no tiene factores comunes).
2
p
p
2   2  2  p 2  2q 2
q
q
 p 2 es par  p es par  p  2r
 p  4r  4r  2q  q  2r
2
2
2
 q es par  q es par
2
 p es par y q es par
¡¡¡Contradicción!!!
2
2
2
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden:
Terminar
Repetirse indefinidamente
Continuar para siempre
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden terminar.
Ejemplos:
-5
2
 0.4
5
3
 0.75
4
Todos los números reales pueden ser escritos como
un número decimal.
Los números decimales pueden repetirse
indefinidamente
Ejemplos:
1
 0.333333333333...
3
0.2121212121212121...
Todos los números reales pueden ser escritos como un número decimal.
Los números decimales pueden continuar para siempre.
Ejemplos:
 =3.1415926535897932384626433832795028841
97169399375105820974944592307816406286208
998628034825342117068...
e  2.7182818284590452353602874713526624977
57247093699959574966967627724076630353547
594571382178525166427...
2=1.414213562373095048801688724209698078
569671875376948073176679737990732478462107
038850387534327641573...
Ley de tricotomía
Para cualesquiera dos elementos a y b en R una y
solamente una de las siguientes relaciones se verifica:
a  b, a  b , a  b
Ley transitiva
Si a  b y b  c, entonces a  c
Si a  b, entonces, para todo c  R, a  c  b  c
Si a  b y 0  c, entonces ac  bc
R
El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud”
de un número, independientemente de su signo.
Si tenemos un número real x su valor absoluto se
escribe │x│.
•El valor absoluto de 7 es 7
•El valor absoluto de –π es π
•El valor absoluto de -3 es 3
El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor
absoluto, 20
Si a es un número real distinto de cero, entonces
o a o  a es positivo.
Aquél de los dos que es positivo es llamado
valor absoluto de a.
El valor absoluto de un número real a,
denotado por a , se define por la regla
a a
si
a0
si
a0
y
a  a
En la recta real, el valor absoluto de un
número es su distancia al 0 (al origen)
Valor absoluto
x
0
Intervalo abierto  a, b 
Es el conjunto de todos los números reales x,
tales que a  x  b.
Es decir,
 a, b    x  R a  x  b
Nota: El intervalo abierto no incluye "los extremos",
de ahí su nombre
a
b
Intervalo cerrado  a, b 
Es el conjunto de todos los números reales x,
tales que a  x  b.
Es decir,
 a, b   x  R a  x  b
Nota: El intervalo cerrado incluye "los extremos",
de ahí su nombre
a
b
Intervalo abierto-cerrado (a, b]
Es el conjunto de todos los números reales x,
tales que a  x  b.
Es decir,
(a, b]   x  R a  x  b
Nota: El intervalo cerrado no incluye el extremo
izquierdo y sí incluye el derecho
a
b
Intervalo abierto-cerrado [a, b)
Es el conjunto de todos los números reales x,
tales que a  x  b.
Es decir,
[a, b)   x  R a  x  b
Nota: El intervalo cerrado incluye el extremo
izquierdo y no incluye el derecho
a
b
 a,     x  R
x  a
[a, )   x  R x  a
 , a    x  R
x  a
(, a]   x  R x  a
 ,     x  R
Denotaremos como
iˆ, ˆj , kˆ
los vectores unitarios a lo largo de los ejes
X , Y,Z
Así un punto P estará representado por el
vector
r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
Z
k̂
ĵ
Y
iˆ
X
base cartesianos
iˆ  ˆj  0
ˆj  kˆ  0
son ortogonales entre si
kˆ  iˆ  0
Los vectores
base cartesianos
iˆ  iˆ  1
ˆj  ˆj  1
son unitarios
kˆ  kˆ  1
Los vectores
Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "derecha":
iˆ  ˆj  kˆ
Z
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj
k̂
ĵ
Y
iˆ
X
Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "derecha":
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj
Trivialmente se cumple también,
ˆj  ˆj  0 kˆ  kˆ  0
iˆ  iˆ  0
Z
r
k̂
ĵ
iˆ
P  x, y, z 
z
Y
x
y
X
r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
Si a  a1iˆ  a2 ˆj  a3kˆ y b  b1iˆ  b2 ˆj  b3kˆ
1) a  b   a1  b1  iˆ   a2  b2  ˆj   a3  b3  kˆ
2) a  b  a1b1  a2b2  a3b3
3) a  a  a  a
2
1
2
2
2
3
Si
a  a1iˆ  a2 ˆj  a3kˆ
y b  b1iˆ  b2 ˆj  b3kˆ
4)
kˆ
iˆ
ˆj
a  b  a1
a2
a3 
b1
b2
b3
  a2b3  a3b2  iˆ   a1b3  a3b1  ˆj   a1b2  a2b1  kˆ
 x r 
  
 y   
x  r cos  , y  r sin 
r  0 , 0    2
r   x

   
   y 
r x y
2
2
y
,  =arctan
x
r  0 , 0    2
x   cos
y   sin 
zz
 0
0    2
 z 
 x 
   
y


   
z  z
   
x   cos
 0
y   sin 
0    2
zz
 z 
r̂
̂


ˆ
 x  r 
   
y


   
 z   
   
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
r0
0  
z  r cos
0    2
En este curso un
ESCALAR
será cualquier número real
En este curso un ESCALAR
será cualquier número real
Ejemplos de cantidades escalares:
•La temperatura
•La corriente eléctrica
•La presión
•El volumen
•La cantidad de carga
•La masa
•La energía
Es un conjunto ordenado de n cantidades:
 a1 , a2 , a3 
Los vectores son los elementos del
espacio euclidiano R
n
Es un conjunto ordenado de n cantidades:
 a1 , a2 , a3 
Son los elementos de R
n
En este curso usaremos la definición más limitada
y tradicional de un "objeto" que posee
magnitud, dirección y sentido
A los vectores los representaremos por
flechas en el espacio.
Pensaremos en el vector como la flecha misma
Un vector es una cantidad que tiene
magnitud, dirección y sentido.
Es un ente con 3 componentes:
 a1, a2 , a3 
-La posición de un objeto en movimiento
-Una fuerza
-El momento angular
-El campo electromagnético
El valor absoluto o magnitud de un
vector es su longitud, su tamaño.
Si el vector es A, su magnitud se
representa como
A
ó
A
Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 1
a es unitario si a  1
A los vectores unitarios los denotaremos
con un acento circunflejo ó "gorrito":
aˆ
Aquel cuya magnitud ó valor absoluto es 0
a es cero si a  0
Lo denotaremos como 0
a b
b
a
b
a b
a
1) Es conmutativa: a  b  b  a

 

2) Es asociativa: a  b  c  a  b  c
Así que podemos poner
a b c
Se define
 
a  b  a  b
donde  b tiene la misma magnitud que b ,
y la misma dirección, pero sentido inverso.
b
a
a b
b
a b
a b
a
El producto del escalar por el vector a es
a
Es un vector cuya longitud es  a ,
tiene la misma dirección que a ,
y el sentido es el de a si  >0
y el inverso que a si   0
a
a
Si llamamos  al ángulo que hacen
los vectores a y b ,
se define el producto escalar
(interno ó punto) como
a  b  a b cos   ab cos 
a

b
Lo podemos ver como
a  b  a cos   b  b cos   a
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a

b
a  b  a cos  b  b cos  a
Es la proyección de uno de los dos en el otro,
por la magnitud de ese otro
a
a


b
p
p
cos   p  a cos 
a
1) Si a  1, entonces a  b  b cos que es la
proyección de b en la dirección de a
1) Si a  1, entonces a  b  b cos que es la
proyección de b en la dirección de a
2) Si a  b entonces  =0  cos   1 y se tiene a  a  a  a 2
2
1) Si a  1, entonces a  b  b cos  que es la
proyección de b en la dirección de a
2) Si a  b entonces  =0  cos   1 y se tiene a  a  a  a 2
2
3) El producto escalar es conmutativo a  b  b  a
1) Si a  1, entonces a  b  b cos  que es la
proyección de b en la dirección de a
2) Si a  b entonces  =0  cos   1 y se tiene a  a  a  a 2
2
3) El producto escalar es conmutativo a  b  b  a
4) El producto escalar es distributivo respecto a la suma


a  b  c  a b  a c
Si el producto escalar, a  b  a b cos ,
de dos vectores es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son perpendiculares (ortogonales),
es decir,   90  / 2  ó 70  3 / 2 
Si dos vectores son ortogonales, entonces su
producto escalar es cero
a  b  a b sin 
a b
a 
b
Si llamamos  al ángulo que hacen los vectores
a y b,
se define el producto vectorial o cruz, de la siguiente manera:
1)
a  b  a b sin 
2) Su dirección es perpendicular al plano formado
por los vectores a y b
3) El sentido del vector está definido por el avance
de un tornillo que va de a a b (por la regla de la
mano derecha)
a  b  a b sin 
a b
a 
b
a  b  a b sin  es el área
de este paralelogramo
a b
a

b
1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:
a  b  b  a
2) El producto vectorial es distributivo respecto
a la suma


a b  c  ab  a c
3) Para todo vector a  a  0
Si el producto vectorial de dos vectores
a  b  a b sin 
es cero, entonces
1) Al menos uno de los dos es cero
ó
2) Los vectores son paralelos
es decir,   0  0  ó 180  
Si dos vectores son paralelos, entonces su
producto vectorial es cero
Y
y2  y1
y  y1 
( x  x1 )
x2  x1
x2, y2
x1, y1
X
Es el ángulo que la recta hace con la parte positiva del eje X
Y
m
tan
X
Es el ángulo que la recta hace con la parte positiva del eje X
Y
m
tan
X
Y
y
y1
m
tan
mx
x1
x1 , y1
X
Y
m
tan
X
b
y
mx
b
ax  by  c  0
donde
a, b y c son números reales.
3
2x  3y  4  0
2
1
4
3
2
1
1
1
2
2


L  P0  ta t  R
Las ecuación
P  P0  ta
se llama ecuación vectorial
de la recta.


L  P0  ta t  R
P0  1, 1,1

a   2, 1, 2 
L  P0  ta t  R

L  1, 1,1  t  2, 1, 2  t  R 
P0  1, 1,1
a   2, 1, 2 
L  1, 1,1  t  2, 1, 2  t  R 
Ecuaciones paramétricas:
x  1  2t
y  1  t
z  1  2t
L  1, 1,1  t  2, 1, 2  t  R 
x  1  2t
y  1  t
z  1  2t
De la segunda despejamos t ,
t  1  y
y sustituimos en las otras dos
x  1  2  1  y   1  2 y
z  1  2  1  y   3  2 y
x  1  2t
y  1  t
x  1  2 y
z  1  2t
z  3  2y
x  2y 1  0
2y  z  3  0
Las ecuación
P  P0  ta
se llama ecuación vectorial
de la recta.
P  P0  ta
 x, y, z    x0 , y0 , z0   t (ax , a y , az )
x  x0  tax ; y  y0  ta y ; z  z0  ta z
x  x0
y  y0
z  z0
t
; t
; t
ax
ay
az
x  x0 y  y0 z  z0


ax
ay
az
x  x0 y  y0 z  z0
P  P0  ta 


ax
ay
az
x  x0 y  y0

ax
ay
x  x0 z  z0
;

ax
az
a y x  a y x0  ax y  ax y0 ; az x  az x0  ax z  ax z0
a y x  ax y  a y x0  ax y0  0 ; az x  ax z  az x0  ax z0  0
P  P0  ta

x  x0 y  y0 z  z0


ax
ay
az

a y x  ax y  a y x0  ax y0  0 ; az x  ax z  az x0  ax z0  0
El plano está definido por la
ecuación vectorial
nˆ  P0 P  0
Como
P0 P   x  x0  iˆ   y  y0  ˆj   z  z0  kˆ
y si
nˆ  Aiˆ  Bjˆ  Ckˆ
tenemos


nˆ  P0 P  Aiˆ  Bjˆ  Ckˆ   x  x0  iˆ   y  y0  ˆj   z  z0  kˆ 
 A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0  
Ax  By  Cz  D
donde D  Ax0  By0  Cz0
La ecuación del plano es
Ax  By  Cz  D
Toda ecuación de estas es
un plano
La ecuación
P  P0  ua  vb
se llama ecuación vectorial
del plano.
P  P0  ua  vb
 x, y, z    x0 , y0 , z0   s  a1 , a2 , a3   t  b1 , b2 , b3 

x  x0  ua1  vb1
y  y0  ua2  vb2
z  z0  ua3  vb3
Consideremos el plano

P = P0  ua  vb u , v  R

Cualquier vector no nulo ortogonal
a ambos, a y b , es un vector
normal a P .

Consideremos el plano P =
 P0  ua  vb u, v  R

Cualquier vector no nulo ortogonal a ambos,
a y b , es un vector normal a P .
Por lo tanto, a  b es un vector normal,
o simplemente una normal, al plano P .
Además, toda normal a P es paralela
a a  b.
Si nˆ es una normal al plano

P=
 P0  ua  vb u , v  R
entonces





P=
 P nˆ  P  P0  0
y P es el único plano que pasa
por P0 con normal nˆ.
Para todo vector distinto de cero nˆ
y todo punto P0 ,


nˆ  P  P0  0,
es una ecuación vectorial de un plano
que pasa por P0 y que tiene a nˆ
como normal.
Toda ecuación vectorial
nˆ  P  d
con nˆ  0
es la ecuación de un plano,
que tiene a nˆ como normal.
Toda ecuación vectorial nˆ  P  d con nˆ  0 es la
ecuación de un plano, que tiene a nˆ como normal.
Sea nˆ   a, b, c   0 y P   x, y, z  , entonces
nˆ  P  d
se escribe como
ax  by  cz  d
El conjunto
P   x, y, z  ax  by  cz  d 
es un plano con normal nˆ   a, b, c  , y
ax  by  cz  d
se llama ecuación del plano P .
Encontrar la ecuación del plano
que es perpendicular a la linea
x  3t  5, y  7  2t , z  8  t
y que pasa por el punto
(1, 1, 2)
Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la linea
x  3t  5, y  7  2t , z  8  t
y que pasa por el punto (1, 1, 2)
8
6
4
Z
2
5
X
0
0
0
5
Y
5
5
10
15
Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la linea
x  3t  5, y  7  2t , z  8  t y que pasa por el punto (1, 1, 2)
x  3t  5, y  7  2t , z  8  t

x   5, 7,8   t  3, 2, 1
Así que el vector normal al
plano es
nˆ   3, 2, 1
Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular a la linea
x  3t  5, y  7  2t , z  8  t y que pasa por el punto (1, 1, 2)
nˆ   3, 2, 1
La ecuación es
 3, 2, 1   ( x, y, z )  (1, 1, 2)  
 3, 2, 1  ( x  1, y  1, z  2) 
 3  3 x  2 y  z  0
3x  2 y  z  3